Theorem divcnvshft 15797

Description: Limit of a ratio function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcnvshft.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
divcnvshft.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
divcnvshft.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcnvshft.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
divcnvshft.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
divcnvshft.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
divcnvshft	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem divcnvshft

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcnvshft.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcnv 15795	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
4		nnssz 12576	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
5		resmpt 6035	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))
7		nnuz 12861	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
8	7	reseq2i 5976	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ ℕ) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1))
9	6, 8	eqtr3i 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1))
10	9	breq1i 5154	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0 ↔ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 0)
11		1z 12588	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		zex 12563	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
13	12	mptex 7221	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V
14		climres 15515	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V) → (((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0))
15	11, 13, 14	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
16	10, 15	bitri 274	. . 3 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
17	3, 16	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
18		divcnvshft.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
19		divcnvshft.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
20		divcnvshft.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
21		divcnvshft.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
22	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V)
23		uzssz 12839	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
24	18, 23	eqsstri 4015	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
25	24	sseli 3977	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
26	25	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
27	20	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℤ)
28	26, 27	zaddcld 12666	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ)
29		oveq2 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → (𝐴 / 𝑚) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
30		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))
31		ovex 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)) ∈ V
32	29, 30, 31	fvmpt 6995	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
33	28, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
34		divcnvshft.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
35	33, 34	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐹‘𝑘))
36	18, 19, 20, 21, 22, 35	climshft2 15522	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0))
37	17, 36	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   ↾ cres 5677  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   / cdiv 11867  ℕcn 12208  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818   ⇝ cli 15424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429

This theorem is referenced by:  trireciplem  15804  lgamcvg2  26548  binomcxplemrat  43094