Theorem divcnvshft 15567

Description: Limit of a ratio function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcnvshft.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
divcnvshft.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
divcnvshft.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcnvshft.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
divcnvshft.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
divcnvshft.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
divcnvshft	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem divcnvshft

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcnvshft.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcnv 15565	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
4		nnssz 12340	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
5		resmpt 5945	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))
7		nnuz 12621	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
8	7	reseq2i 5888	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ ℕ) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1))
9	6, 8	eqtr3i 2768	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1))
10	9	breq1i 5081	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0 ↔ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 0)
11		1z 12350	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		zex 12328	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
13	12	mptex 7099	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V
14		climres 15284	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V) → (((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0))
15	11, 13, 14	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
16	10, 15	bitri 274	. . 3 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
17	3, 16	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
18		divcnvshft.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
19		divcnvshft.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
20		divcnvshft.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
21		divcnvshft.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
22	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V)
23		uzssz 12603	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
24	18, 23	eqsstri 3955	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
25	24	sseli 3917	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
26	25	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
27	20	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℤ)
28	26, 27	zaddcld 12430	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ)
29		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → (𝐴 / 𝑚) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
30		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))
31		ovex 7308	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)) ∈ V
32	29, 30, 31	fvmpt 6875	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
33	28, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
34		divcnvshft.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
35	33, 34	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐹‘𝑘))
36	18, 19, 20, 21, 22, 35	climshft2 15291	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0))
37	17, 36	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157   ↾ cres 5591  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   / cdiv 11632  ℕcn 11973  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582   ⇝ cli 15193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198

This theorem is referenced by:  trireciplem  15574  lgamcvg2  26204  binomcxplemrat  41968