Theorem divcnvshft 15778

Description: Limit of a ratio function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcnvshft.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
divcnvshft.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
divcnvshft.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcnvshft.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
divcnvshft.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
divcnvshft.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
divcnvshft	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem divcnvshft

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcnvshft.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcnv 15776	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
4		nnssz 12510	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
5		resmpt 5996	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))
7		nnuz 12790	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
8	7	reseq2i 5935	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ ℕ) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1))
9	6, 8	eqtr3i 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1))
10	9	breq1i 5105	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0 ↔ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 0)
11		1z 12521	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		zex 12497	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
13	12	mptex 7169	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V
14		climres 15498	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V) → (((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0))
15	11, 13, 14	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
16	10, 15	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
17	3, 16	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
18		divcnvshft.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
19		divcnvshft.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
20		divcnvshft.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
21		divcnvshft.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
22	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V)
23		uzssz 12772	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
24	18, 23	eqsstri 3980	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
25	24	sseli 3929	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
26	25	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
27	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℤ)
28	26, 27	zaddcld 12600	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ)
29		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → (𝐴 / 𝑚) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
30		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))
31		ovex 7391	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)) ∈ V
32	29, 30, 31	fvmpt 6941	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
33	28, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
34		divcnvshft.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
35	33, 34	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐹‘𝑘))
36	18, 19, 20, 21, 22, 35	climshft2 15505	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0))
37	17, 36	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   / cdiv 11794  ℕcn 12145  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751   ⇝ cli 15407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-rlim 15412

This theorem is referenced by:  trireciplem  15785  lgamcvg2  27021  binomcxplemrat  44591