Theorem climshft 15529

Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by NM, 16-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
climshft	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem climshft

Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 shift 𝑀) = (𝐹 shift 𝑀))
2	1	breq1d 5082	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ (𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))
3		breq1 5075	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
4	2, 3	bibi12d 346	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝑓 ⇝ 𝐴) ↔ ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴)))
5	4	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝑓 ⇝ 𝐴)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))))
6		znegcl 12553	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℤ)
7		ovex 7389	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 shift 𝑀) ∈ V
8	7	climshftlem 15527	. . . . . 6 ⊢ (-𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴))
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴))
10		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
11		ovexd 7391	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ∈ V)
12		vex 3435	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑓 ∈ V)
14		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
15		zcn 12520	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
16		eluzelcn 12791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
17	12	shftcan1 15036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀)‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
18	15, 16, 17	syl2an 602	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀)‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
19	10, 11, 13, 14, 18	climeq 15520	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝑓 ⇝ 𝐴))
20	9, 19	sylibd 240	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 → 𝑓 ⇝ 𝐴))
21	12	climshftlem 15527	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑓 ⇝ 𝐴 → (𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))
22	20, 21	impbid 213	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝑓 ⇝ 𝐴))
23	5, 22	vtoclg 3500	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴)))
24	23	impcom 408	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  -cneg 11369  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779   shift cshi 15019   ⇝ cli 15437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-shft 15020  df-clim 15441

This theorem is referenced by:  climshft2  15535  isershft  15617  cvgrat  15839  eftlub  16067  dvradcnv2  44791  binomcxplemnotnn0  44800