MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climshft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climshft 14921
Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by NM, 16-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
climshft ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))

Proof of Theorem climshft
Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7152 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 shift 𝑀) = (𝐹 shift 𝑀))
21breq1d 5067 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ (𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))
3 breq1 5060 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝐴𝐹𝐴))
42, 3bibi12d 347 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝑓𝐴) ↔ ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝐹𝐴)))
54imbi2d 342 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝑓𝐴)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))))
6 znegcl 12005 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℤ)
7 ovex 7178 . . . . . . 7 (𝑓 shift 𝑀) ∈ V
87climshftlem 14919 . . . . . 6 (-𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴))
96, 8syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴))
10 eqid 2818 . . . . . 6 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
11 ovexd 7180 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ∈ V)
12 vex 3495 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
1312a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑓 ∈ V)
14 id 22 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
15 zcn 11974 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
16 eluzelcn 12243 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
1712shftcan1 14430 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀)‘𝑘) = (𝑓𝑘))
1815, 16, 17syl2an 595 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀)‘𝑘) = (𝑓𝑘))
1910, 11, 13, 14, 18climeq 14912 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴𝑓𝐴))
209, 19sylibd 240 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝑓𝐴))
2112climshftlem 14919 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑓𝐴 → (𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))
2220, 21impbid 213 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝑓𝐴))
235, 22vtoclg 3565 . 2 (𝐹𝑉 → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝐹𝐴)))
2423impcom 408 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  -cneg 10859  cz 11969  cuz 12231   shift cshi 14413  cli 14829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-shft 14414  df-clim 14833
This theorem is referenced by:  climshft2  14927  isershft  15008  cvgrat  15227  eftlub  15450  dvradcnv2  40556  binomcxplemnotnn0  40565
  Copyright terms: Public domain W3C validator