MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climshft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climshft 15394
Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by NM, 16-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
climshft ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))

Proof of Theorem climshft
Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7357 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 shift 𝑀) = (𝐹 shift 𝑀))
21breq1d 5114 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ (𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))
3 breq1 5107 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝐴𝐹𝐴))
42, 3bibi12d 346 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝑓𝐴) ↔ ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝐹𝐴)))
54imbi2d 341 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝑓𝐴)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))))
6 znegcl 12472 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℤ)
7 ovex 7383 . . . . . . 7 (𝑓 shift 𝑀) ∈ V
87climshftlem 15392 . . . . . 6 (-𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴))
96, 8syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴))
10 eqid 2738 . . . . . 6 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
11 ovexd 7385 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ∈ V)
12 vex 3448 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
1312a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑓 ∈ V)
14 id 22 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
15 zcn 12438 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
16 eluzelcn 12709 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
1712shftcan1 14903 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀)‘𝑘) = (𝑓𝑘))
1815, 16, 17syl2an 597 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀)‘𝑘) = (𝑓𝑘))
1910, 11, 13, 14, 18climeq 15385 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴𝑓𝐴))
209, 19sylibd 238 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝑓𝐴))
2112climshftlem 15392 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑓𝐴 → (𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))
2220, 21impbid 211 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝑓𝐴))
235, 22vtoclg 3524 . 2 (𝐹𝑉 → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝐹𝐴)))
2423impcom 409 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3444   class class class wbr 5104  cfv 6492  (class class class)co 7350  cc 10983  -cneg 11320  cz 12433  cuz 12697   shift cshi 14886  cli 15302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12698  df-shft 14887  df-clim 15306
This theorem is referenced by:  climshft2  15400  isershft  15484  cvgrat  15704  eftlub  15927  dvradcnv2  42428  binomcxplemnotnn0  42437
  Copyright terms: Public domain W3C validator