Theorem climshft 15749

Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by NM, 16-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
climshft	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem climshft

Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 shift 𝑀) = (𝐹 shift 𝑀))
2	1	breq1d 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ (𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))
3		breq1 5105	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
4	2, 3	bibi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝑓 ⇝ 𝐴) ↔ ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴)))
5	4	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝑓 ⇝ 𝐴)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))))
6		znegcl 12735	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℤ)
7		ovex 7454	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 shift 𝑀) ∈ V
8	7	climshftlem 15747	. . . . . 6 ⊢ ( -𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴))
9	6, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴))
10		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
11		ovexd 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ∈ V)
12		vex 3454	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑓 ∈ V)
14		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
15		zcn 12702	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
16		eluzelcn 12981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
17	12	shftcan1 15242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀)‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
18	15, 16, 17	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀)‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
19	10, 11, 13, 14, 18	climeq 15740	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝑓 ⇝ 𝐴))
20	9, 19	sylibd 242	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 → 𝑓 ⇝ 𝐴))
21	12	climshftlem 15747	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑓 ⇝ 𝐴 → (𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))
22	20, 21	impbid 215	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝑓 ⇝ 𝐴))
23	5, 22	vtoclg 3517	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴)))
24	23	impcom 413	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202   -cneg 11546  ℤcz 12697  ℤ_≥cuz 12969   shift cshi 15225   ⇝ cli 15657

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-shft 15226  df-clim 15661

This theorem is used by:  climshft2  15755  isershft  15837  cvgrat  16058  eftlub  16283  dvradcnv2  45425  binomcxplemnotnn0  45434