Theorem climshft 15609

Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by NM, 16-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
climshft	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem climshft

Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 shift 𝑀) = (𝐹 shift 𝑀))
2	1	breq1d 5158	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ (𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))
3		breq1 5151	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
4	2, 3	bibi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝑓 ⇝ 𝐴) ↔ ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴)))
5	4	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝑓 ⇝ 𝐴)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))))
6		znegcl 12650	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℤ)
7		ovex 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 shift 𝑀) ∈ V
8	7	climshftlem 15607	. . . . . 6 ⊢ (-𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴))
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴))
10		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
11		ovexd 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ∈ V)
12		vex 3482	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑓 ∈ V)
14		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
15		zcn 12616	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
16		eluzelcn 12888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
17	12	shftcan1 15119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀)‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
18	15, 16, 17	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀)‘𝑘) = (𝑓‘𝑘))
19	10, 11, 13, 14, 18	climeq 15600	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((𝑓 shift 𝑀) shift -𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝑓 ⇝ 𝐴))
20	9, 19	sylibd 239	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 → 𝑓 ⇝ 𝐴))
21	12	climshftlem 15607	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑓 ⇝ 𝐴 → (𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))
22	20, 21	impbid 212	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑓 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝑓 ⇝ 𝐴))
23	5, 22	vtoclg 3554	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴)))
24	23	impcom 407	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  -cneg 11491  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876   shift cshi 15102   ⇝ cli 15517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-shft 15103  df-clim 15521

This theorem is referenced by:  climshft2  15615  isershft  15697  cvgrat  15916  eftlub  16142  dvradcnv2  44343  binomcxplemnotnn0  44352