Theorem climshftlem 15520

Description: A shifted function converges if the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
climshft.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
climshftlem	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 ⇝ 𝐴 → (𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem climshftlem

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zaddcl 12604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝑀) ∈ ℤ)
2	1	ancoms 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝑀) ∈ ℤ)
3		eluzsub 12854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → (𝑛 − 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4	3	3com12 1123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → (𝑛 − 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	4	3expa 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → (𝑛 − 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 𝑀) → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘(𝑛 − 𝑀)))
7	6	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 𝑀) → ((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ))
8	6	fvoveq1d 7433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 𝑀) → (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)))
9	8	breq1d 5158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 𝑀) → ((abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥))
10	7, 9	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 𝑀) → (((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
11	10	rspcv 3608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 − 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑘) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
12	5, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
13		zcn 12565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
14		eluzelcn 12836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀)) → 𝑛 ∈ ℂ)
15		climshft.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 ∈ V
16	15	shftval 15023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) = (𝐹‘(𝑛 − 𝑀)))
17	16	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ))
18	16	fvoveq1d 7433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)))
19	18	breq1d 5158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥))
20	17, 19	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
21	13, 14, 20	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → ((((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
22	21	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → ((((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
23	12, 22	sylibrd 258	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → (((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
24	23	ralrimdva 3154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
25		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 𝑀) → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀)))
26	25	raleqdv 3325	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 𝑀) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
27	26	rspcev 3612	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 + 𝑀) ∈ ℤ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥))
28	2, 24, 27	syl6an 682	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
29	28	rexlimdva 3155	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
30	29	ralimdv 3169	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
31	30	anim2d 612	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥))))
32	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ V)
33		eqidd 2733	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑚))
34	32, 33	clim 15440	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥))))
35		ovexd 7446	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 shift 𝑀) ∈ V)
36		eqidd 2733	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) = ((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛))
37	35, 36	clim 15440	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥))))
38	31, 34, 37	3imtr4d 293	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 ⇝ 𝐴 → (𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3474   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℂcc 11110   + caddc 11115   < clt 11250   − cmin 11446  ℤcz 12560  ℤ_≥cuz 12824  ℝ⁺crp 12976   shift cshi 15015  abscabs 15183   ⇝ cli 15430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-shft 15016  df-clim 15434

This theorem is referenced by:  climshft  15522