MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climshftlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climshftlem 14592
Description: A shifted function converges if the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
climshft.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
climshftlem (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹𝐴 → (𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem climshftlem
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zaddcl 11664 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝑀) ∈ ℤ)
21ancoms 450 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝑀) ∈ ℤ)
3 eluzsub 11916 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))) → (𝑛𝑀) ∈ (ℤ𝑘))
433com12 1153 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))) → (𝑛𝑀) ∈ (ℤ𝑘))
543expa 1147 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))) → (𝑛𝑀) ∈ (ℤ𝑘))
6 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑛𝑀) → (𝐹𝑚) = (𝐹‘(𝑛𝑀)))
76eleq1d 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛𝑀) → ((𝐹𝑚) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑛𝑀)) ∈ ℂ))
86fvoveq1d 6864 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑛𝑀) → (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)))
98breq1d 4819 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛𝑀) → ((abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥))
107, 9anbi12d 624 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛𝑀) → (((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
1110rspcv 3457 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑀) ∈ (ℤ𝑘) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ((𝐹‘(𝑛𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
125, 11syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ((𝐹‘(𝑛𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
13 zcn 11629 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
14 eluzelcn 11898 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀)) → 𝑛 ∈ ℂ)
15 climshft.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 ∈ V
1615shftval 14101 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) = (𝐹‘(𝑛𝑀)))
1716eleq1d 2829 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑛𝑀)) ∈ ℂ))
1816fvoveq1d 6864 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)))
1918breq1d 4819 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥))
2017, 19anbi12d 624 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
2113, 14, 20syl2an 589 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))) → ((((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
2221adantlr 706 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))) → ((((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
2312, 22sylibrd 250 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → (((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
2423ralrimdva 3116 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
25 fveq2 6375 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑘 + 𝑀) → (ℤ𝑚) = (ℤ‘(𝑘 + 𝑀)))
2625raleqdv 3292 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 𝑀) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
2726rspcev 3461 . . . . . 6 (((𝑘 + 𝑀) ∈ ℤ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥))
282, 24, 27syl6an 674 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
2928rexlimdva 3178 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
3029ralimdv 3110 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
3130anim2d 605 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥))))
3215a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ V)
33 eqidd 2766 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑚))
3432, 33clim 14512 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥))))
35 ovexd 6876 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 shift 𝑀) ∈ V)
36 eqidd 2766 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) = ((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛))
3735, 36clim 14512 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥))))
3831, 34, 373imtr4d 285 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹𝐴 → (𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187   + caddc 10192   < clt 10328  cmin 10520  cz 11624  cuz 11886  +crp 12028   shift cshi 14093  abscabs 14261  cli 14502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-shft 14094  df-clim 14506
This theorem is referenced by:  climshft  14594
  Copyright terms: Public domain W3C validator