MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climshftlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climshftlem 14512
Description: A shifted function converges if the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
climshft.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
climshftlem (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹𝐴 → (𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem climshftlem
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zaddcl 11618 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝑀) ∈ ℤ)
21ancoms 455 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝑀) ∈ ℤ)
3 eluzsub 11917 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))) → (𝑛𝑀) ∈ (ℤ𝑘))
433com12 1117 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))) → (𝑛𝑀) ∈ (ℤ𝑘))
543expa 1111 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))) → (𝑛𝑀) ∈ (ℤ𝑘))
6 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑛𝑀) → (𝐹𝑚) = (𝐹‘(𝑛𝑀)))
76eleq1d 2835 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛𝑀) → ((𝐹𝑚) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑛𝑀)) ∈ ℂ))
86fvoveq1d 6814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑛𝑀) → (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)))
98breq1d 4796 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛𝑀) → ((abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥))
107, 9anbi12d 608 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛𝑀) → (((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
1110rspcv 3456 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑀) ∈ (ℤ𝑘) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ((𝐹‘(𝑛𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
125, 11syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ((𝐹‘(𝑛𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
13 zcn 11583 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
14 eluzelcn 11899 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀)) → 𝑛 ∈ ℂ)
15 climshft.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 ∈ V
1615shftval 14021 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) = (𝐹‘(𝑛𝑀)))
1716eleq1d 2835 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑛𝑀)) ∈ ℂ))
1816fvoveq1d 6814 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)))
1918breq1d 4796 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥))
2017, 19anbi12d 608 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
2113, 14, 20syl2an 575 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))) → ((((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
2221adantlr 686 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))) → ((((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
2312, 22sylibrd 249 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → (((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
2423ralrimdva 3118 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
25 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑘 + 𝑀) → (ℤ𝑚) = (ℤ‘(𝑘 + 𝑀)))
2625raleqdv 3293 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 𝑀) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
2726rspcev 3460 . . . . . 6 (((𝑘 + 𝑀) ∈ ℤ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥))
282, 24, 27syl6an 655 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
2928rexlimdva 3179 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
3029ralimdv 3112 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
3130anim2d 591 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥))))
3215a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ V)
33 eqidd 2772 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑚))
3432, 33clim 14432 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥))))
35 ovexd 6824 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 shift 𝑀) ∈ V)
36 eqidd 2772 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) = ((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛))
3735, 36clim 14432 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥))))
3831, 34, 373imtr4d 283 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹𝐴 → (𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3351   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135   + caddc 10140   < clt 10275  cmin 10467  cz 11578  cuz 11887  +crp 12034   shift cshi 14013  abscabs 14181  cli 14422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-shft 14014  df-clim 14426
This theorem is referenced by:  climshft  14514
  Copyright terms: Public domain W3C validator