Theorem climshftlem 15497

Description: A shifted function converges if the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
climshft.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
climshftlem	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 ⇝ 𝐴 → (𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem climshftlem

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zaddcl 12531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝑀) ∈ ℤ)
2	1	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝑀) ∈ ℤ)
3		eluzsub 12781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → (𝑛 − 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4	3	3com12 1123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → (𝑛 − 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	4	3expa 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → (𝑛 − 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 𝑀) → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘(𝑛 − 𝑀)))
7	6	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 𝑀) → ((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ))
8	6	fvoveq1d 7380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 𝑀) → (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)))
9	8	breq1d 5108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 𝑀) → ((abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥))
10	7, 9	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 𝑀) → (((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
11	10	rspcv 3572	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 − 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑘) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
12	5, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
13		zcn 12493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
14		eluzelcn 12763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀)) → 𝑛 ∈ ℂ)
15		climshft.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 ∈ V
16	15	shftval 14997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) = (𝐹‘(𝑛 − 𝑀)))
17	16	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ))
18	16	fvoveq1d 7380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)))
19	18	breq1d 5108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥))
20	17, 19	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
21	13, 14, 20	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → ((((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
22	21	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → ((((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
23	12, 22	sylibrd 259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → (((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
24	23	ralrimdva 3136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
25		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 𝑀) → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀)))
26	25	raleqdv 3296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 𝑀) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
27	26	rspcev 3576	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 + 𝑀) ∈ ℤ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥))
28	2, 24, 27	syl6an 684	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
29	28	rexlimdva 3137	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
30	29	ralimdv 3150	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
31	30	anim2d 612	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥))))
32	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ V)
33		eqidd 2737	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑚))
34	32, 33	clim 15417	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥))))
35		ovexd 7393	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 shift 𝑀) ∈ V)
36		eqidd 2737	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) = ((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛))
37	35, 36	clim 15417	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥))))
38	31, 34, 37	3imtr4d 294	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 ⇝ 𝐴 → (𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3440   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   + caddc 11029   < clt 11166   − cmin 11364  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ℝ⁺crp 12905   shift cshi 14989  abscabs 15157   ⇝ cli 15407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-shft 14990  df-clim 15411

This theorem is referenced by:  climshft  15499