Theorem prodrblem2 15984

Description: Lemma for prodrb 15985. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodrb.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
prodrb.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
prodrb.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
prodrb.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
prodrblem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodrblem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodrb.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		seqex 14038	. . 3 ⊢ seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V
4		climres 15625	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐶))
5	2, 3, 4	sylancl 597	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐶))
6		prodrb.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
7		prodmo.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
8		prodmo.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11	7, 9, 10	prodrblem 15982	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))
12	6, 11	mpidan 701	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))
13	12	breq1d 5123	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝐶))
14	5, 13	bitr3d 284	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  ifcif 4492   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196   ↾ cres 5664  ‘cfv 6537  ℂcc 11097  1c1 11100   · cmul 11104  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  seqcseq 14036   ⇝ cli 15534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-seq 14037  df-clim 15538

This theorem is referenced by:  prodrb  15985