MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodrblem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodrblem2 15813
Description: Lemma for prodrb 15814. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodrb.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
prodrb.5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
prodrb.6 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
prodrb.7 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁))
Assertion
Ref Expression
prodrblem2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodrblem2
StepHypRef Expression
1 prodrb.5 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
21adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 seqex 13907 . . 3 seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V
4 climres 15456 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐶))
52, 3, 4sylancl 586 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐶))
6 prodrb.7 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁))
7 prodmo.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
8 prodmo.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
98adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
117, 9, 10prodrblem 15811 . . . 4 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))
126, 11mpidan 687 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))
1312breq1d 5115 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝐶))
145, 13bitr3d 280 1 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cres 5635  cfv 6496  cc 11048  1c1 11051   · cmul 11055  cz 12498  cuz 12762  seqcseq 13905  cli 15365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-inf2 9576  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-n0 12413  df-z 12499  df-uz 12763  df-fz 13424  df-seq 13906  df-clim 15369
This theorem is referenced by:  prodrb  15814
  Copyright terms: Public domain W3C validator