Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodrblem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodrblem2 15281
 Description: Lemma for prodrb 15282. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodrb.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
prodrb.5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
prodrb.6 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
prodrb.7 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁))
Assertion
Ref Expression
prodrblem2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodrblem2
StepHypRef Expression
1 prodrb.5 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
21adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 seqex 13370 . . 3 seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V
4 climres 14928 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐶))
52, 3, 4sylancl 589 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐶))
6 prodrb.7 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁))
7 prodmo.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
8 prodmo.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
98adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
117, 9, 10prodrblem 15279 . . . 4 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))
126, 11mpidan 688 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))
1312breq1d 5043 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝐶))
145, 13bitr3d 284 1 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444   ⊆ wss 3884  ifcif 4428   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   ↾ cres 5525  ‘cfv 6328  ℂcc 10528  1c1 10531   · cmul 10535  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  seqcseq 13368   ⇝ cli 14837 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-seq 13369  df-clim 14841 This theorem is referenced by:  prodrb  15282
 Copyright terms: Public domain W3C validator