MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodrblem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodrblem2 15933
Description: Lemma for prodrb 15934. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodrb.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
prodrb.5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
prodrb.6 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
prodrb.7 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁))
Assertion
Ref Expression
prodrblem2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodrblem2
StepHypRef Expression
1 prodrb.5 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
21adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 seqex 14023 . . 3 seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V
4 climres 15577 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐶))
52, 3, 4sylancl 584 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐶))
6 prodrb.7 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁))
7 prodmo.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
8 prodmo.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
98adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10 simpr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
117, 9, 10prodrblem 15931 . . . 4 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))
126, 11mpidan 687 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))
1312breq1d 5163 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝐶))
145, 13bitr3d 280 1 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  wss 3947  ifcif 4533   class class class wbr 5153  cmpt 5236  cres 5684  cfv 6554  cc 11156  1c1 11159   · cmul 11163  cz 12610  cuz 12874  seqcseq 14021  cli 15486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-seq 14022  df-clim 15490
This theorem is referenced by:  prodrb  15934
  Copyright terms: Public domain W3C validator