MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leibpilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leibpilem2 24959
Description: The Leibniz formula for π. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leibpi.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
leibpilem2.2 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘), 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))
leibpilem2.3 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
leibpilem2 (seq0( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑛,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem leibpilem2
StepHypRef Expression
1 leibpi.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
2 2cn 11347 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
3 nn0cn 11549 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
4 mulcl 10273 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
6 ax-1cn 10247 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
7 pncan 10541 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
85, 6, 7sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
98oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
10 2ne0 11383 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
11 divcan3 10965 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
122, 10, 11mp3an23 1577 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
133, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
149, 13eqtrd 2799 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = 𝑛)
1514oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) = (-1↑𝑛))
1615oveq1d 6857 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
1716mpteq2ia 4899 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
181, 17eqtr4i 2790 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
19 seqeq3 13013 . . . 4 (𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1))) → seq0( + , 𝐹) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))))
2018, 19ax-mp 5 . . 3 seq0( + , 𝐹) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1))))
2120breq1i 4816 . 2 (seq0( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))) ⇝ 𝐴)
22 neg1rr 11394 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ
23 reexpcl 13084 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑛) ∈ ℝ)
2422, 23mpan 681 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑛) ∈ ℝ)
25 2nn0 11557 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
26 nn0mulcl 11576 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
2725, 26mpan 681 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
28 nn0p1nn 11579 . . . . . . . . 9 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
3024, 29nndivred 11326 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
3130recnd 10322 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
3216, 31eqeltrd 2844 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
3332adantl 473 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
34 oveq1 6849 . . . . . . 7 (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑘 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
3534oveq1d 6857 . . . . . 6 (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → ((𝑘 − 1) / 2) = ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2))
3635oveq2d 6858 . . . . 5 (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → (-1↑((𝑘 − 1) / 2)) = (-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)))
37 id 22 . . . . 5 (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → 𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1))
3836, 37oveq12d 6860 . . . 4 (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘) = ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
3933, 38iserodd 15819 . . 3 (⊤ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))) ⇝ 𝐴))
4039mptru 1660 . 2 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))) ⇝ 𝐴)
41 addid2 10473 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℂ → (0 + 𝑛) = 𝑛)
4241adantl 473 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (0 + 𝑛) = 𝑛)
43 0cnd 10286 . . . . . . 7 (⊤ → 0 ∈ ℂ)
44 1eluzge0 11932 . . . . . . . 8 1 ∈ (ℤ‘0)
4544a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ (ℤ‘0))
46 1nn0 11556 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
47 leibpilem2.2 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘), 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))
48 0cnd 10286 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘)) → 0 ∈ ℂ)
49 ioran 1006 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘) ↔ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘))
50 leibpilem1 24958 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘)) → (𝑘 ∈ ℕ ∧ ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
5150simprd 489 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘)) → ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
52 reexpcl 13084 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-1 ∈ ℝ ∧ ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑘 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
5322, 51, 52sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘)) → (-1↑((𝑘 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
5450simpld 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5553, 54nndivred 11326 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘)) → ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘) ∈ ℝ)
5655recnd 10322 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘)) → ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘) ∈ ℂ)
5749, 56sylan2b 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘)) → ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘) ∈ ℂ)
5848, 57ifclda 4277 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → if((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘), 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)) ∈ ℂ)
5947, 58fmpti 6572 . . . . . . . . 9 𝐺:ℕ0⟶ℂ
6059ffvelrni 6548 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℕ0 → (𝐺‘1) ∈ ℂ)
6146, 60mp1i 13 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐺‘1) ∈ ℂ)
62 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 − 1))) → 𝑛 ∈ (0...(1 − 1)))
63 1m1e0 11344 . . . . . . . . . . . 12 (1 − 1) = 0
6463oveq2i 6853 . . . . . . . . . . 11 (0...(1 − 1)) = (0...0)
6562, 64syl6eleq 2854 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 − 1))) → 𝑛 ∈ (0...0))
66 elfz1eq 12559 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0...0) → 𝑛 = 0)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 − 1))) → 𝑛 = 0)
6867fveq2d 6379 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 − 1))) → (𝐺𝑛) = (𝐺‘0))
69 0nn0 11555 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
70 iftrue 4249 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘) → if((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘), 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)) = 0)
7170orcs 901 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → if((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘), 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)) = 0)
72 c0ex 10287 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
7371, 47, 72fvmpt 6471 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 → (𝐺‘0) = 0)
7469, 73ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐺‘0) = 0
7568, 74syl6eq 2815 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 − 1))) → (𝐺𝑛) = 0)
7642, 43, 45, 61, 75seqid 13053 . . . . . 6 (⊤ → (seq0( + , 𝐺) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( + , 𝐺))
77 1zzd 11655 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
78 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
79 nnuz 11923 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
8078, 79syl6eleqr 2855 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
81 nnne0 11310 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
8281neneqd 2942 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ¬ 𝑛 = 0)
83 biorf 960 . . . . . . . . . . 11 𝑛 = 0 → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛)))
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛)))
8584ifbid 4265 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)) = if((𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)))
86 breq2 4813 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → (2 ∥ 𝑘 ↔ 2 ∥ 𝑛))
87 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
8887oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 − 1) / 2) = ((𝑛 − 1) / 2))
8988oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (-1↑((𝑘 − 1) / 2)) = (-1↑((𝑛 − 1) / 2)))
90 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛𝑘 = 𝑛)
9189, 90oveq12d 6860 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘) = ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛))
9286, 91ifbieq2d 4268 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)))
93 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))
94 ovex 6874 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛) ∈ V
9572, 94ifex 4291 . . . . . . . . . 10 if(2 ∥ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)) ∈ V
9692, 93, 95fvmpt 6471 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)))
97 nnnn0 11546 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
98 eqeq1 2769 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
9998, 86orbi12d 942 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘) ↔ (𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛)))
10099, 91ifbieq2d 4268 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → if((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘), 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)) = if((𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)))
10172, 94ifex 4291 . . . . . . . . . . 11 if((𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)) ∈ V
102100, 47, 101fvmpt 6471 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑛) = if((𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)))
10397, 102syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐺𝑛) = if((𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)))
10485, 96, 1033eqtr4d 2809 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))‘𝑛) = (𝐺𝑛))
10580, 104syl 17 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))‘𝑛) = (𝐺𝑛))
10677, 105seqfeq 13033 . . . . . 6 (⊤ → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))) = seq1( + , 𝐺))
10776, 106eqtr4d 2802 . . . . 5 (⊤ → (seq0( + , 𝐺) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))))
108107mptru 1660 . . . 4 (seq0( + , 𝐺) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘))))
109108breq1i 4816 . . 3 ((seq0( + , 𝐺) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))) ⇝ 𝐴)
110 1z 11654 . . . 4 1 ∈ ℤ
111 seqex 13010 . . . 4 seq0( + , 𝐺) ∈ V
112 climres 14591 . . . 4 ((1 ∈ ℤ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ V) → ((seq0( + , 𝐺) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴))
113110, 111, 112mp2an 683 . . 3 ((seq0( + , 𝐺) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴)
114109, 113bitr3i 268 . 2 (seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴)
11521, 40, 1143bitri 288 1 (seq0( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 197  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wtru 1653  wcel 2155  wne 2937  Vcvv 3350  ifcif 4243   class class class wbr 4809  cmpt 4888  cres 5279  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  0cn0 11538  cz 11624  cuz 11886  ...cfz 12533  seqcseq 13008  cexp 13067  cli 14500  cdvds 15265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-dvds 15266
This theorem is referenced by:  leibpi  24960
  Copyright terms: Public domain W3C validator