MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leibpilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leibpilem2 26789
Description: The Leibniz formula for π. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leibpi.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
leibpilem2.2 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘), 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))
leibpilem2.3 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
leibpilem2 (seq0( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑛,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem leibpilem2
StepHypRef Expression
1 leibpi.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
2 2cn 12284 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
3 nn0cn 12479 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
4 mulcl 11190 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
6 ax-1cn 11164 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
7 pncan 11463 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
85, 6, 7sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
98oveq1d 7416 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
10 2ne0 12313 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
11 divcan3 11895 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
122, 10, 11mp3an23 1449 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
133, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
149, 13eqtrd 2764 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = 𝑛)
1514oveq2d 7417 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) = (-1↑𝑛))
1615oveq1d 7416 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
1716mpteq2ia 5241 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
181, 17eqtr4i 2755 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
19 seqeq3 13968 . . . 4 (𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1))) → seq0( + , 𝐹) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))))
2018, 19ax-mp 5 . . 3 seq0( + , 𝐹) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1))))
2120breq1i 5145 . 2 (seq0( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))) ⇝ 𝐴)
22 neg1rr 12324 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ
23 reexpcl 14041 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑛) ∈ ℝ)
2422, 23mpan 687 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑛) ∈ ℝ)
25 2nn0 12486 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
26 nn0mulcl 12505 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
2725, 26mpan 687 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
28 nn0p1nn 12508 . . . . . . . . 9 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
3024, 29nndivred 12263 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
3130recnd 11239 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
3216, 31eqeltrd 2825 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
3332adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
34 oveq1 7408 . . . . . . 7 (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑘 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
3534oveq1d 7416 . . . . . 6 (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → ((𝑘 − 1) / 2) = ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2))
3635oveq2d 7417 . . . . 5 (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → (-1↑((𝑘 − 1) / 2)) = (-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)))
37 id 22 . . . . 5 (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → 𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1))
3836, 37oveq12d 7419 . . . 4 (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘) = ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
3933, 38iserodd 16767 . . 3 (⊤ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))) ⇝ 𝐴))
4039mptru 1540 . 2 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))) ⇝ 𝐴)
41 addlid 11394 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℂ → (0 + 𝑛) = 𝑛)
4241adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (0 + 𝑛) = 𝑛)
43 0cnd 11204 . . . . . . 7 (⊤ → 0 ∈ ℂ)
44 1eluzge0 12873 . . . . . . . 8 1 ∈ (ℤ‘0)
4544a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ (ℤ‘0))
46 1nn0 12485 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
47 leibpilem2.2 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘), 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))
48 0cnd 11204 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘)) → 0 ∈ ℂ)
49 ioran 980 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘) ↔ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘))
50 leibpilem1 26788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘)) → (𝑘 ∈ ℕ ∧ ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
5150simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘)) → ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
52 reexpcl 14041 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-1 ∈ ℝ ∧ ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑘 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
5322, 51, 52sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘)) → (-1↑((𝑘 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
5450simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5553, 54nndivred 12263 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘)) → ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘) ∈ ℝ)
5655recnd 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘)) → ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘) ∈ ℂ)
5749, 56sylan2b 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘)) → ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘) ∈ ℂ)
5848, 57ifclda 4555 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → if((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘), 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)) ∈ ℂ)
5947, 58fmpti 7103 . . . . . . . . 9 𝐺:ℕ0⟶ℂ
6059ffvelcdmi 7075 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℕ0 → (𝐺‘1) ∈ ℂ)
6146, 60mp1i 13 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐺‘1) ∈ ℂ)
62 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 − 1))) → 𝑛 ∈ (0...(1 − 1)))
63 1m1e0 12281 . . . . . . . . . . . 12 (1 − 1) = 0
6463oveq2i 7412 . . . . . . . . . . 11 (0...(1 − 1)) = (0...0)
6562, 64eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 − 1))) → 𝑛 ∈ (0...0))
66 elfz1eq 13509 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0...0) → 𝑛 = 0)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 − 1))) → 𝑛 = 0)
6867fveq2d 6885 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 − 1))) → (𝐺𝑛) = (𝐺‘0))
69 0nn0 12484 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
70 iftrue 4526 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘) → if((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘), 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)) = 0)
7170orcs 872 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → if((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘), 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)) = 0)
72 c0ex 11205 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
7371, 47, 72fvmpt 6988 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 → (𝐺‘0) = 0)
7469, 73ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐺‘0) = 0
7568, 74eqtrdi 2780 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 − 1))) → (𝐺𝑛) = 0)
7642, 43, 45, 61, 75seqid 14010 . . . . . 6 (⊤ → (seq0( + , 𝐺) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( + , 𝐺))
77 1zzd 12590 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
78 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
79 nnuz 12862 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
8078, 79eleqtrrdi 2836 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
81 nnne0 12243 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
8281neneqd 2937 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ¬ 𝑛 = 0)
83 biorf 933 . . . . . . . . . . 11 𝑛 = 0 → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛)))
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛)))
8584ifbid 4543 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)) = if((𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)))
86 breq2 5142 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → (2 ∥ 𝑘 ↔ 2 ∥ 𝑛))
87 oveq1 7408 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
8887oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 − 1) / 2) = ((𝑛 − 1) / 2))
8988oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (-1↑((𝑘 − 1) / 2)) = (-1↑((𝑛 − 1) / 2)))
90 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛𝑘 = 𝑛)
9189, 90oveq12d 7419 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘) = ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛))
9286, 91ifbieq2d 4546 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)))
93 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))
94 ovex 7434 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛) ∈ V
9572, 94ifex 4570 . . . . . . . . . 10 if(2 ∥ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)) ∈ V
9692, 93, 95fvmpt 6988 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)))
97 nnnn0 12476 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
98 eqeq1 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
9998, 86orbi12d 915 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘) ↔ (𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛)))
10099, 91ifbieq2d 4546 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → if((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘), 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)) = if((𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)))
10172, 94ifex 4570 . . . . . . . . . . 11 if((𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)) ∈ V
102100, 47, 101fvmpt 6988 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑛) = if((𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)))
10397, 102syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐺𝑛) = if((𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)))
10485, 96, 1033eqtr4d 2774 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))‘𝑛) = (𝐺𝑛))
10580, 104syl 17 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))‘𝑛) = (𝐺𝑛))
10677, 105seqfeq 13990 . . . . . 6 (⊤ → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))) = seq1( + , 𝐺))
10776, 106eqtr4d 2767 . . . . 5 (⊤ → (seq0( + , 𝐺) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))))
108107mptru 1540 . . . 4 (seq0( + , 𝐺) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘))))
109108breq1i 5145 . . 3 ((seq0( + , 𝐺) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))) ⇝ 𝐴)
110 1z 12589 . . . 4 1 ∈ ℤ
111 seqex 13965 . . . 4 seq0( + , 𝐺) ∈ V
112 climres 15516 . . . 4 ((1 ∈ ℤ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ V) → ((seq0( + , 𝐺) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴))
113110, 111, 112mp2an 689 . . 3 ((seq0( + , 𝐺) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴)
114109, 113bitr3i 277 . 2 (seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴)
11521, 40, 1143bitri 297 1 (seq0( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 395  wo 844   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098  wne 2932  Vcvv 3466  ifcif 4520   class class class wbr 5138  cmpt 5221  cres 5668  cfv 6533  (class class class)co 7401  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11868  cn 12209  2c2 12264  0cn0 12469  cz 12555  cuz 12819  ...cfz 13481  seqcseq 13963  cexp 14024  cli 15425  cdvds 16194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-dvds 16195
This theorem is referenced by:  leibpi  26790
  Copyright terms: Public domain W3C validator