MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leibpilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leibpilem2 26891
Description: The Leibniz formula for Ο€. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leibpi.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))
leibpilem2.2 𝐺 = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))
leibpilem2.3 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
leibpilem2 (seq0( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛   𝑛,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜,𝑛)   𝐹(π‘˜,𝑛)   𝐺(π‘˜)

Proof of Theorem leibpilem2
StepHypRef Expression
1 leibpi.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))
2 2cn 12317 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„‚
3 nn0cn 12512 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
4 mulcl 11222 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„‚) β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„‚)
52, 3, 4sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„‚)
6 ax-1cn 11196 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„‚
7 pncan 11496 . . . . . . . . . . 11 (((2 Β· 𝑛) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) = (2 Β· 𝑛))
85, 6, 7sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) = (2 Β· 𝑛))
98oveq1d 7431 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2) = ((2 Β· 𝑛) / 2))
10 2ne0 12346 . . . . . . . . . . 11 2 β‰  0
11 divcan3 11928 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ ((2 Β· 𝑛) / 2) = 𝑛)
122, 10, 11mp3an23 1449 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· 𝑛) / 2) = 𝑛)
133, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· 𝑛) / 2) = 𝑛)
149, 13eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2) = 𝑛)
1514oveq2d 7432 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) = (-1↑𝑛))
1615oveq1d 7431 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) / ((2 Β· 𝑛) + 1)) = ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))
1716mpteq2ia 5246 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) / ((2 Β· 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))
181, 17eqtr4i 2756 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))
19 seqeq3 14003 . . . 4 (𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) / ((2 Β· 𝑛) + 1))) β†’ seq0( + , 𝐹) = seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))))
2018, 19ax-mp 5 . . 3 seq0( + , 𝐹) = seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) / ((2 Β· 𝑛) + 1))))
2120breq1i 5150 . 2 (seq0( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) ⇝ 𝐴)
22 neg1rr 12357 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ
23 reexpcl 14075 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-1↑𝑛) ∈ ℝ)
2422, 23mpan 688 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (-1↑𝑛) ∈ ℝ)
25 2nn0 12519 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•0
26 nn0mulcl 12538 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•0)
2725, 26mpan 688 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•0)
28 nn0p1nn 12541 . . . . . . . . 9 ((2 Β· 𝑛) ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) ∈ β„•)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) ∈ β„•)
3024, 29nndivred 12296 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
3130recnd 11272 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)) ∈ β„‚)
3216, 31eqeltrd 2825 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) / ((2 Β· 𝑛) + 1)) ∈ β„‚)
3332adantl 480 . . . 4 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) / ((2 Β· 𝑛) + 1)) ∈ β„‚)
34 oveq1 7423 . . . . . . 7 (π‘˜ = ((2 Β· 𝑛) + 1) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) = (((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1))
3534oveq1d 7431 . . . . . 6 (π‘˜ = ((2 Β· 𝑛) + 1) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 2) = ((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2))
3635oveq2d 7432 . . . . 5 (π‘˜ = ((2 Β· 𝑛) + 1) β†’ (-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) = (-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)))
37 id 22 . . . . 5 (π‘˜ = ((2 Β· 𝑛) + 1) β†’ π‘˜ = ((2 Β· 𝑛) + 1))
3836, 37oveq12d 7434 . . . 4 (π‘˜ = ((2 Β· 𝑛) + 1) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) = ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))
3933, 38iserodd 16803 . . 3 (⊀ β†’ (seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ⇝ 𝐴))
4039mptru 1540 . 2 (seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ⇝ 𝐴)
41 addlid 11427 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„‚ β†’ (0 + 𝑛) = 𝑛)
4241adantl 480 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„‚) β†’ (0 + 𝑛) = 𝑛)
43 0cnd 11237 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 0 ∈ β„‚)
44 1eluzge0 12906 . . . . . . . 8 1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0)
4544a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
46 1nn0 12518 . . . . . . . 8 1 ∈ β„•0
47 leibpilem2.2 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))
48 0cnd 11237 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ 0 ∈ β„‚)
49 ioran 981 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ (π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜) ↔ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜))
50 leibpilem1 26890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ∧ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0))
5150simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0)
52 reexpcl 14075 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-1 ∈ ℝ ∧ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) ∈ ℝ)
5322, 51, 52sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ (-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) ∈ ℝ)
5450simpld 493 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
5553, 54nndivred 12296 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) ∈ ℝ)
5655recnd 11272 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) ∈ β„‚)
5749, 56sylan2b 592 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ Β¬ (π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) ∈ β„‚)
5848, 57ifclda 4559 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) ∈ β„‚)
5947, 58fmpti 7117 . . . . . . . . 9 𝐺:β„•0βŸΆβ„‚
6059ffvelcdmi 7088 . . . . . . . 8 (1 ∈ β„•0 β†’ (πΊβ€˜1) ∈ β„‚)
6146, 60mp1i 13 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (πΊβ€˜1) ∈ β„‚)
62 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 βˆ’ 1))) β†’ 𝑛 ∈ (0...(1 βˆ’ 1)))
63 1m1e0 12314 . . . . . . . . . . . 12 (1 βˆ’ 1) = 0
6463oveq2i 7427 . . . . . . . . . . 11 (0...(1 βˆ’ 1)) = (0...0)
6562, 64eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 βˆ’ 1))) β†’ 𝑛 ∈ (0...0))
66 elfz1eq 13544 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0...0) β†’ 𝑛 = 0)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 βˆ’ 1))) β†’ 𝑛 = 0)
6867fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 βˆ’ 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜0))
69 0nn0 12517 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„•0
70 iftrue 4530 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜) β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) = 0)
7170orcs 873 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 0 β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) = 0)
72 c0ex 11238 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
7371, 47, 72fvmpt 7000 . . . . . . . . 9 (0 ∈ β„•0 β†’ (πΊβ€˜0) = 0)
7469, 73ax-mp 5 . . . . . . . 8 (πΊβ€˜0) = 0
7568, 74eqtrdi 2781 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 βˆ’ 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = 0)
7642, 43, 45, 61, 75seqid 14044 . . . . . 6 (⊀ β†’ (seq0( + , 𝐺) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1)) = seq1( + , 𝐺))
77 1zzd 12623 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
78 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
79 nnuz 12895 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
8078, 79eleqtrrdi 2836 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
81 nnne0 12276 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 β‰  0)
8281neneqd 2935 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ Β¬ 𝑛 = 0)
83 biorf 934 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ 𝑛 = 0 β†’ (2 βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑛 = 0 ∨ 2 βˆ₯ 𝑛)))
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑛 = 0 ∨ 2 βˆ₯ 𝑛)))
8584ifbid 4547 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) / 𝑛)) = if((𝑛 = 0 ∨ 2 βˆ₯ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) / 𝑛)))
86 breq2 5147 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (2 βˆ₯ π‘˜ ↔ 2 βˆ₯ 𝑛))
87 oveq1 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) = (𝑛 βˆ’ 1))
8887oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 2) = ((𝑛 βˆ’ 1) / 2))
8988oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) = (-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)))
90 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑛 β†’ π‘˜ = 𝑛)
9189, 90oveq12d 7434 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) = ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) / 𝑛))
9286, 91ifbieq2d 4550 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑛 β†’ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) = if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) / 𝑛)))
93 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))
94 ovex 7449 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) / 𝑛) ∈ V
9572, 94ifex 4574 . . . . . . . . . 10 if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) / 𝑛)) ∈ V
9692, 93, 95fvmpt 7000 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘›) = if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) / 𝑛)))
97 nnnn0 12509 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
98 eqeq1 2729 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘˜ = 0 ↔ 𝑛 = 0))
9998, 86orbi12d 916 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜) ↔ (𝑛 = 0 ∨ 2 βˆ₯ 𝑛)))
10099, 91ifbieq2d 4550 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑛 β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) = if((𝑛 = 0 ∨ 2 βˆ₯ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) / 𝑛)))
10172, 94ifex 4574 . . . . . . . . . . 11 if((𝑛 = 0 ∨ 2 βˆ₯ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) / 𝑛)) ∈ V
102100, 47, 101fvmpt 7000 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (πΊβ€˜π‘›) = if((𝑛 = 0 ∨ 2 βˆ₯ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) / 𝑛)))
10397, 102syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘›) = if((𝑛 = 0 ∨ 2 βˆ₯ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) / 𝑛)))
10485, 96, 1033eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›))
10580, 104syl 17 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›))
10677, 105seqfeq 14024 . . . . . 6 (⊀ β†’ seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) = seq1( + , 𝐺))
10776, 106eqtr4d 2768 . . . . 5 (⊀ β†’ (seq0( + , 𝐺) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1)) = seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))))
108107mptru 1540 . . . 4 (seq0( + , 𝐺) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1)) = seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜))))
109108breq1i 5150 . . 3 ((seq0( + , 𝐺) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1)) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ⇝ 𝐴)
110 1z 12622 . . . 4 1 ∈ β„€
111 seqex 14000 . . . 4 seq0( + , 𝐺) ∈ V
112 climres 15551 . . . 4 ((1 ∈ β„€ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ V) β†’ ((seq0( + , 𝐺) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1)) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴))
113110, 111, 112mp2an 690 . . 3 ((seq0( + , 𝐺) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1)) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴)
114109, 113bitr3i 276 . 2 (seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴)
11521, 40, 1143bitri 296 1 (seq0( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  Vcvv 3463  ifcif 4524   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143   βˆ’ cmin 11474  -cneg 11475   / cdiv 11901  β„•cn 12242  2c2 12297  β„•0cn0 12502  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  ...cfz 13516  seqcseq 13998  β†‘cexp 14058   ⇝ cli 15460   βˆ₯ cdvds 16230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-dvds 16231
This theorem is referenced by:  leibpi  26892
  Copyright terms: Public domain W3C validator