MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leibpilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leibpilem2 26828
Description: The Leibniz formula for Ο€. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leibpi.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))
leibpilem2.2 𝐺 = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))
leibpilem2.3 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
leibpilem2 (seq0( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛   𝑛,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜,𝑛)   𝐹(π‘˜,𝑛)   𝐺(π‘˜)

Proof of Theorem leibpilem2
StepHypRef Expression
1 leibpi.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))
2 2cn 12291 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„‚
3 nn0cn 12486 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
4 mulcl 11196 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„‚) β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„‚)
52, 3, 4sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„‚)
6 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„‚
7 pncan 11470 . . . . . . . . . . 11 (((2 Β· 𝑛) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) = (2 Β· 𝑛))
85, 6, 7sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) = (2 Β· 𝑛))
98oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2) = ((2 Β· 𝑛) / 2))
10 2ne0 12320 . . . . . . . . . . 11 2 β‰  0
11 divcan3 11902 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ ((2 Β· 𝑛) / 2) = 𝑛)
122, 10, 11mp3an23 1449 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· 𝑛) / 2) = 𝑛)
133, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· 𝑛) / 2) = 𝑛)
149, 13eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2) = 𝑛)
1514oveq2d 7421 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) = (-1↑𝑛))
1615oveq1d 7420 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) / ((2 Β· 𝑛) + 1)) = ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))
1716mpteq2ia 5244 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) / ((2 Β· 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))
181, 17eqtr4i 2757 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))
19 seqeq3 13977 . . . 4 (𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) / ((2 Β· 𝑛) + 1))) β†’ seq0( + , 𝐹) = seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))))
2018, 19ax-mp 5 . . 3 seq0( + , 𝐹) = seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) / ((2 Β· 𝑛) + 1))))
2120breq1i 5148 . 2 (seq0( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) ⇝ 𝐴)
22 neg1rr 12331 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ
23 reexpcl 14049 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (-1↑𝑛) ∈ ℝ)
2422, 23mpan 687 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (-1↑𝑛) ∈ ℝ)
25 2nn0 12493 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•0
26 nn0mulcl 12512 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•0)
2725, 26mpan 687 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•0)
28 nn0p1nn 12515 . . . . . . . . 9 ((2 Β· 𝑛) ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) ∈ β„•)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) ∈ β„•)
3024, 29nndivred 12270 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
3130recnd 11246 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)) ∈ β„‚)
3216, 31eqeltrd 2827 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) / ((2 Β· 𝑛) + 1)) ∈ β„‚)
3332adantl 481 . . . 4 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) / ((2 Β· 𝑛) + 1)) ∈ β„‚)
34 oveq1 7412 . . . . . . 7 (π‘˜ = ((2 Β· 𝑛) + 1) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) = (((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1))
3534oveq1d 7420 . . . . . 6 (π‘˜ = ((2 Β· 𝑛) + 1) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 2) = ((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2))
3635oveq2d 7421 . . . . 5 (π‘˜ = ((2 Β· 𝑛) + 1) β†’ (-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) = (-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)))
37 id 22 . . . . 5 (π‘˜ = ((2 Β· 𝑛) + 1) β†’ π‘˜ = ((2 Β· 𝑛) + 1))
3836, 37oveq12d 7423 . . . 4 (π‘˜ = ((2 Β· 𝑛) + 1) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) = ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))
3933, 38iserodd 16777 . . 3 (⊀ β†’ (seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ⇝ 𝐴))
4039mptru 1540 . 2 (seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑((((2 Β· 𝑛) + 1) βˆ’ 1) / 2)) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ⇝ 𝐴)
41 addlid 11401 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„‚ β†’ (0 + 𝑛) = 𝑛)
4241adantl 481 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„‚) β†’ (0 + 𝑛) = 𝑛)
43 0cnd 11211 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 0 ∈ β„‚)
44 1eluzge0 12880 . . . . . . . 8 1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0)
4544a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 1 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
46 1nn0 12492 . . . . . . . 8 1 ∈ β„•0
47 leibpilem2.2 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))
48 0cnd 11211 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ 0 ∈ β„‚)
49 ioran 980 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ (π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜) ↔ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜))
50 leibpilem1 26827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ∧ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0))
5150simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0)
52 reexpcl 14049 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-1 ∈ ℝ ∧ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) ∈ ℝ)
5322, 51, 52sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ (-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) ∈ ℝ)
5450simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
5553, 54nndivred 12270 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) ∈ ℝ)
5655recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) ∈ β„‚)
5749, 56sylan2b 593 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ Β¬ (π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) ∈ β„‚)
5848, 57ifclda 4558 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) ∈ β„‚)
5947, 58fmpti 7107 . . . . . . . . 9 𝐺:β„•0βŸΆβ„‚
6059ffvelcdmi 7079 . . . . . . . 8 (1 ∈ β„•0 β†’ (πΊβ€˜1) ∈ β„‚)
6146, 60mp1i 13 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (πΊβ€˜1) ∈ β„‚)
62 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 βˆ’ 1))) β†’ 𝑛 ∈ (0...(1 βˆ’ 1)))
63 1m1e0 12288 . . . . . . . . . . . 12 (1 βˆ’ 1) = 0
6463oveq2i 7416 . . . . . . . . . . 11 (0...(1 βˆ’ 1)) = (0...0)
6562, 64eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 βˆ’ 1))) β†’ 𝑛 ∈ (0...0))
66 elfz1eq 13518 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0...0) β†’ 𝑛 = 0)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 βˆ’ 1))) β†’ 𝑛 = 0)
6867fveq2d 6889 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 βˆ’ 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜0))
69 0nn0 12491 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„•0
70 iftrue 4529 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜) β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) = 0)
7170orcs 872 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 0 β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) = 0)
72 c0ex 11212 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
7371, 47, 72fvmpt 6992 . . . . . . . . 9 (0 ∈ β„•0 β†’ (πΊβ€˜0) = 0)
7469, 73ax-mp 5 . . . . . . . 8 (πΊβ€˜0) = 0
7568, 74eqtrdi 2782 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 βˆ’ 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = 0)
7642, 43, 45, 61, 75seqid 14018 . . . . . 6 (⊀ β†’ (seq0( + , 𝐺) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1)) = seq1( + , 𝐺))
77 1zzd 12597 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
78 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
79 nnuz 12869 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
8078, 79eleqtrrdi 2838 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
81 nnne0 12250 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 β‰  0)
8281neneqd 2939 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ Β¬ 𝑛 = 0)
83 biorf 933 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ 𝑛 = 0 β†’ (2 βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑛 = 0 ∨ 2 βˆ₯ 𝑛)))
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 βˆ₯ 𝑛 ↔ (𝑛 = 0 ∨ 2 βˆ₯ 𝑛)))
8584ifbid 4546 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) / 𝑛)) = if((𝑛 = 0 ∨ 2 βˆ₯ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) / 𝑛)))
86 breq2 5145 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (2 βˆ₯ π‘˜ ↔ 2 βˆ₯ 𝑛))
87 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) = (𝑛 βˆ’ 1))
8887oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 2) = ((𝑛 βˆ’ 1) / 2))
8988oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) = (-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)))
90 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑛 β†’ π‘˜ = 𝑛)
9189, 90oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) = ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) / 𝑛))
9286, 91ifbieq2d 4549 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑛 β†’ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) = if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) / 𝑛)))
93 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))
94 ovex 7438 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) / 𝑛) ∈ V
9572, 94ifex 4573 . . . . . . . . . 10 if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) / 𝑛)) ∈ V
9692, 93, 95fvmpt 6992 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘›) = if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) / 𝑛)))
97 nnnn0 12483 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
98 eqeq1 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘˜ = 0 ↔ 𝑛 = 0))
9998, 86orbi12d 915 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜) ↔ (𝑛 = 0 ∨ 2 βˆ₯ 𝑛)))
10099, 91ifbieq2d 4549 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑛 β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) = if((𝑛 = 0 ∨ 2 βˆ₯ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) / 𝑛)))
10172, 94ifex 4573 . . . . . . . . . . 11 if((𝑛 = 0 ∨ 2 βˆ₯ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) / 𝑛)) ∈ V
102100, 47, 101fvmpt 6992 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (πΊβ€˜π‘›) = if((𝑛 = 0 ∨ 2 βˆ₯ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) / 𝑛)))
10397, 102syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘›) = if((𝑛 = 0 ∨ 2 βˆ₯ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) / 𝑛)))
10485, 96, 1033eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›))
10580, 104syl 17 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘›))
10677, 105seqfeq 13998 . . . . . 6 (⊀ β†’ seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) = seq1( + , 𝐺))
10776, 106eqtr4d 2769 . . . . 5 (⊀ β†’ (seq0( + , 𝐺) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1)) = seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))))
108107mptru 1540 . . . 4 (seq0( + , 𝐺) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1)) = seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜))))
109108breq1i 5148 . . 3 ((seq0( + , 𝐺) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1)) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ⇝ 𝐴)
110 1z 12596 . . . 4 1 ∈ β„€
111 seqex 13974 . . . 4 seq0( + , 𝐺) ∈ V
112 climres 15525 . . . 4 ((1 ∈ β„€ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ V) β†’ ((seq0( + , 𝐺) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1)) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴))
113110, 111, 112mp2an 689 . . 3 ((seq0( + , 𝐺) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1)) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴)
114109, 113bitr3i 277 . 2 (seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴)
11521, 40, 1143bitri 297 1 (seq0( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13490  seqcseq 13972  β†‘cexp 14032   ⇝ cli 15434   βˆ₯ cdvds 16204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-dvds 16205
This theorem is referenced by:  leibpi  26829
  Copyright terms: Public domain W3C validator