MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leibpilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leibpilem2 24882
Description: The Leibniz formula for π. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leibpi.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
leibpilem2.2 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘), 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))
leibpilem2.3 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
leibpilem2 (seq0( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑛,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem leibpilem2
StepHypRef Expression
1 leibpi.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
2 2cn 11291 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
3 nn0cn 11502 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
4 mulcl 10220 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancr 575 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
6 ax-1cn 10194 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
7 pncan 10487 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
85, 6, 7sylancl 574 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
98oveq1d 6806 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
10 2ne0 11313 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
11 divcan3 10911 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
122, 10, 11mp3an23 1564 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
133, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
149, 13eqtrd 2805 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = 𝑛)
1514oveq2d 6807 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) = (-1↑𝑛))
1615oveq1d 6806 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
1716mpteq2ia 4874 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
181, 17eqtr4i 2796 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
19 seqeq3 13006 . . . 4 (𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1))) → seq0( + , 𝐹) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))))
2018, 19ax-mp 5 . . 3 seq0( + , 𝐹) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1))))
2120breq1i 4793 . 2 (seq0( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))) ⇝ 𝐴)
22 neg1rr 11325 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ
23 reexpcl 13077 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑛) ∈ ℝ)
2422, 23mpan 670 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑛) ∈ ℝ)
25 2nn0 11509 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
26 nn0mulcl 11529 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
2725, 26mpan 670 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
28 nn0p1nn 11532 . . . . . . . . 9 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
3024, 29nndivred 11269 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
3130recnd 10268 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
3216, 31eqeltrd 2850 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
3332adantl 467 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
34 oveq1 6798 . . . . . . 7 (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑘 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
3534oveq1d 6806 . . . . . 6 (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → ((𝑘 − 1) / 2) = ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2))
3635oveq2d 6807 . . . . 5 (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → (-1↑((𝑘 − 1) / 2)) = (-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)))
37 id 22 . . . . 5 (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → 𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1))
3836, 37oveq12d 6809 . . . 4 (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘) = ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
3933, 38iserodd 15740 . . 3 (⊤ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))) ⇝ 𝐴))
4039trud 1641 . 2 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))) ⇝ 𝐴)
41 addid2 10419 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℂ → (0 + 𝑛) = 𝑛)
4241adantl 467 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (0 + 𝑛) = 𝑛)
43 0cnd 10233 . . . . . . 7 (⊤ → 0 ∈ ℂ)
44 1eluzge0 11932 . . . . . . . 8 1 ∈ (ℤ‘0)
4544a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ (ℤ‘0))
46 1nn0 11508 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
47 leibpilem2.2 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘), 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))
48 0cnd 10233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘)) → 0 ∈ ℂ)
49 ioran 968 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘) ↔ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘))
50 leibpilem1 24881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘)) → (𝑘 ∈ ℕ ∧ ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
5150simprd 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘)) → ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
52 reexpcl 13077 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-1 ∈ ℝ ∧ ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑘 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
5322, 51, 52sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘)) → (-1↑((𝑘 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
5450simpld 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5553, 54nndivred 11269 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘)) → ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘) ∈ ℝ)
5655recnd 10268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑘 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑘)) → ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘) ∈ ℂ)
5749, 56sylan2b 581 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘)) → ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘) ∈ ℂ)
5848, 57ifclda 4259 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → if((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘), 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)) ∈ ℂ)
5947, 58fmpti 6523 . . . . . . . . 9 𝐺:ℕ0⟶ℂ
6059ffvelrni 6499 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℕ0 → (𝐺‘1) ∈ ℂ)
6146, 60mp1i 13 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐺‘1) ∈ ℂ)
62 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 − 1))) → 𝑛 ∈ (0...(1 − 1)))
63 1m1e0 11289 . . . . . . . . . . . 12 (1 − 1) = 0
6463oveq2i 6802 . . . . . . . . . . 11 (0...(1 − 1)) = (0...0)
6562, 64syl6eleq 2860 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 − 1))) → 𝑛 ∈ (0...0))
66 elfz1eq 12552 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0...0) → 𝑛 = 0)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 − 1))) → 𝑛 = 0)
6867fveq2d 6334 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 − 1))) → (𝐺𝑛) = (𝐺‘0))
69 0nn0 11507 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
70 iftrue 4231 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘) → if((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘), 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)) = 0)
7170orcs 864 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → if((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘), 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)) = 0)
72 c0ex 10234 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
7371, 47, 72fvmpt 6422 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 → (𝐺‘0) = 0)
7469, 73ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐺‘0) = 0
7568, 74syl6eq 2821 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...(1 − 1))) → (𝐺𝑛) = 0)
7642, 43, 45, 61, 75seqid 13046 . . . . . 6 (⊤ → (seq0( + , 𝐺) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( + , 𝐺))
77 1zzd 11608 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
78 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
79 nnuz 11923 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
8078, 79syl6eleqr 2861 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑛 ∈ ℕ)
81 nnne0 11253 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
8281neneqd 2948 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ¬ 𝑛 = 0)
83 biorf 922 . . . . . . . . . . 11 𝑛 = 0 → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛)))
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛)))
8584ifbid 4247 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)) = if((𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)))
86 breq2 4790 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → (2 ∥ 𝑘 ↔ 2 ∥ 𝑛))
87 oveq1 6798 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
8887oveq1d 6806 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 − 1) / 2) = ((𝑛 − 1) / 2))
8988oveq2d 6807 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (-1↑((𝑘 − 1) / 2)) = (-1↑((𝑛 − 1) / 2)))
90 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛𝑘 = 𝑛)
9189, 90oveq12d 6809 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘) = ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛))
9286, 91ifbieq2d 4250 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)))
93 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))
94 ovex 6821 . . . . . . . . . . 11 ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛) ∈ V
9572, 94ifex 4295 . . . . . . . . . 10 if(2 ∥ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)) ∈ V
9692, 93, 95fvmpt 6422 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)))
97 nnnn0 11499 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
98 eqeq1 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑛 = 0))
9998, 86orbi12d 904 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘) ↔ (𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛)))
10099, 91ifbieq2d 4250 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → if((𝑘 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑘), 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)) = if((𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)))
10172, 94ifex 4295 . . . . . . . . . . 11 if((𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)) ∈ V
102100, 47, 101fvmpt 6422 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑛) = if((𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)))
10397, 102syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐺𝑛) = if((𝑛 = 0 ∨ 2 ∥ 𝑛), 0, ((-1↑((𝑛 − 1) / 2)) / 𝑛)))
10485, 96, 1033eqtr4d 2815 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))‘𝑛) = (𝐺𝑛))
10580, 104syl 17 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))‘𝑛) = (𝐺𝑛))
10677, 105seqfeq 13026 . . . . . 6 (⊤ → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))) = seq1( + , 𝐺))
10776, 106eqtr4d 2808 . . . . 5 (⊤ → (seq0( + , 𝐺) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))))
108107trud 1641 . . . 4 (seq0( + , 𝐺) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘))))
109108breq1i 4793 . . 3 ((seq0( + , 𝐺) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))) ⇝ 𝐴)
110 1z 11607 . . . 4 1 ∈ ℤ
111 seqex 13003 . . . 4 seq0( + , 𝐺) ∈ V
112 climres 14507 . . . 4 ((1 ∈ ℤ ∧ seq0( + , 𝐺) ∈ V) → ((seq0( + , 𝐺) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴))
113110, 111, 112mp2an 672 . . 3 ((seq0( + , 𝐺) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴)
114109, 113bitr3i 266 . 2 (seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) / 𝑘)))) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴)
11521, 40, 1143bitri 286 1 (seq0( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq0( + , 𝐺) ⇝ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wtru 1632  wcel 2145  wne 2943  Vcvv 3351  ifcif 4225   class class class wbr 4786  cmpt 4863  cres 5251  cfv 6029  (class class class)co 6791  cc 10134  cr 10135  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139   · cmul 10141  cmin 10466  -cneg 10467   / cdiv 10884  cn 11220  2c2 11270  0cn0 11492  cz 11577  cuz 11886  ...cfz 12526  seqcseq 13001  cexp 13060  cli 14416  cdvds 15182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-sup 8502  df-inf 8503  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-n0 11493  df-xnn0 11564  df-z 11578  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12527  df-seq 13002  df-exp 13061  df-hash 13315  df-shft 14008  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-clim 14420  df-dvds 15183
This theorem is referenced by:  leibpi  24883
  Copyright terms: Public domain W3C validator