Theorem hashnzfzclim 45160

Description: As the upper bound 𝐾 of the constraint interval (𝐽...𝐾) in hashnzfz 45158 increases, the resulting count of multiples tends to (𝐾 / 𝑀) —that is, there are approximately (𝐾 / 𝑀) multiples of 𝑀 in a finite interval of integers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashnzfzclim.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
hashnzfzclim.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
hashnzfzclim	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Proof of Theorem hashnzfzclim

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnzfzclim.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℕ)
3		hashnzfzclim.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
5		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)))
6	2, 4, 5	hashnzfz 45158	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) → (♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) = ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))))
7	6	oveq1d 7430	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) → ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘) = (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))
8	7	mpteq2dva 5198	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
9		nnuz 12948	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
10		1z 12670	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
12	1	nncnd 12295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
13	1	nnne0d 12332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
14	12, 13	reccld 12030	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℂ)
15	9	eqimss2i 3992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℕ
16		nnex 12285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ∈ V
17	15, 16	climconst2 15657	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {(1 / 𝑀)}) ⇝ (1 / 𝑀))
18	14, 10, 17	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℕ × {(1 / 𝑀)}) ⇝ (1 / 𝑀))
19	16	mptex 7224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ∈ V)
21		ax-1cn 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		divcnv 15964	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)) ⇝ 0)
23	21, 22	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)) ⇝ 0)
24		ovex 7448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 𝑀) ∈ V
25	24	fvconst2 7205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) = (1 / 𝑀))
26	25	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) = (1 / 𝑀))
27	14	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑀) ∈ ℂ)
28	26, 27	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) ∈ ℂ)
29		eqidd 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)))
30		oveq2 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (1 / 𝑘) = (1 / 𝑥))
31	30	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (1 / 𝑘) = (1 / 𝑥))
32		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
33		ovexd 7450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑥) ∈ V)
34	29, 31, 32, 33	fvmptd 6996	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥) = (1 / 𝑥))
35	32	nnrecred 12333	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
36	34, 35	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℝ)
37	36	recnd 11283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
38		eqidd 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))))
39	30	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
40	39	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
41		ovexd 7450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) ∈ V)
42	38, 40, 32, 41	fvmptd 6996	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
43	26, 34	oveq12d 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
44	42, 43	eqtr4d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) = (((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥)))
45	9, 11, 18, 20, 23, 28, 37, 44	climsub 15743	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ⇝ ((1 / 𝑀) − 0))
46	14	subid1d 11604	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑀) − 0) = (1 / 𝑀))
47	45, 46	breqtrd 5131	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ⇝ (1 / 𝑀))
48	16	mptex 7224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) ∈ V
49	48	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) ∈ V)
50	1	nnrecred 12333	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
51	50	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
52		nnre 12286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
53	52	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
54		nnne0 12316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
55	54	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ≠ 0)
56	53, 55	rereccld 12088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
57	51, 56	resubcld 11688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) ∈ ℝ)
58	42, 57	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) ∈ ℝ)
59		eqidd 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)))
60		fvoveq1 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (⌊‘(𝑘 / 𝑀)) = (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
61		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝑘 = 𝑥)
62	60, 61	oveq12d 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
63	62	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
64		ovexd 7450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ∈ V)
65	59, 63, 32, 64	fvmptd 6996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
66	1	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
67	53, 66	nndivred 12336	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ)
68		reflcl 13879	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ∈ ℝ)
69	67, 68	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ∈ ℝ)
70	69, 53, 55	redivcld 12089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ∈ ℝ)
71	65, 70	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℝ)
72	67	recnd 11283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) ∈ ℂ)
73		1cnd 11248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
74		nncn 12287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
75	74	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
76	72, 73, 75, 55	divsubdird 12076	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) − 1) / 𝑥) = (((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) − (1 / 𝑥)))
77	12	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
78	13	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ≠ 0)
79	75, 77, 78	divrecd 12040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) = (𝑥 · (1 / 𝑀)))
80	79	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) = ((𝑥 · (1 / 𝑀)) / 𝑥))
81	27, 75, 55	divcan3d 12042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 · (1 / 𝑀)) / 𝑥) = (1 / 𝑀))
82	80, 81	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) = (1 / 𝑀))
83	82	oveq1d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) − (1 / 𝑥)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
84	76, 83	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) − 1) / 𝑥) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
85		1red 11255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
86	67, 85	resubcld 11688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) − 1) ∈ ℝ)
87		nnrp 13076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ+)
88	87	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ+)
89	69, 85	readdcld 11284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1) ∈ ℝ)
90		flle 13882	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀))
91	67, 90	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀))
92		flflp1 13890	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀) ↔ (𝑥 / 𝑀) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1)))
93	67, 67, 92	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀) ↔ (𝑥 / 𝑀) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1)))
94	91, 93	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1))
95	67, 89, 85, 94	ltsub1dd 11872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) − 1) < (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1) − 1))
96	69	recnd 11283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ∈ ℂ)
97	96, 73	pncand 11616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1) − 1) = (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
98	95, 97	breqtrd 5131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) − 1) < (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
99	86, 69, 88, 98	ltdiv1dd 13165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) − 1) / 𝑥) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
100	84, 99	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
101	57, 70, 100	ltled 11404	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) ≤ ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
102		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → 𝑘 = 𝑥)
103	102	fvoveq1d 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (⌊‘(𝑘 / 𝑀)) = (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
104	103, 102	oveq12d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
105	59, 104, 32, 64	fvmptd 6996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
106	101, 42, 105	3brtr4d 5137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) ≤ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥))
107	69, 67, 88, 91	lediv1dd 13166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ≤ ((𝑥 / 𝑀) / 𝑥))
108	107, 82	breqtrd 5131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ≤ (1 / 𝑀))
109	105, 108	eqbrtrd 5127	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ≤ (1 / 𝑀))
110	9, 11, 47, 49, 58, 71, 106, 109	climsqz 15750	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
111	16	mptex 7224	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V
112	111	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V)
113	3	zred 12747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
114		1red 11255	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
115	113, 114	resubcld 11688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
116	115, 1	nndivred 12336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 1) / 𝑀) ∈ ℝ)
117	116	flcld 13881	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℤ)
118	117	zcnd 12748	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℂ)
119		divcnv 15964	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)) ⇝ 0)
120	118, 119	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)) ⇝ 0)
121	71	recnd 11283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
122		eqidd 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)))
123		oveq2 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥))
124	123	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥))
125		ovexd 7450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥) ∈ V)
126	122, 124, 32, 125	fvmptd 6996	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) = ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥))
127	118	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℂ)
128	127, 75, 55	divcld 12037	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥) ∈ ℂ)
129	126, 128	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
130	96, 127, 75, 55	divsubdird 12076	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) − ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥)))
131		eqidd 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
132	60	oveq1d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))))
133	132, 61	oveq12d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥))
134	133	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥))
135		ovexd 7450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥) ∈ V)
136	131, 134, 32, 135	fvmptd 6996	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))‘𝑥) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥))
137	65, 126	oveq12d 7433	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥)) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) − ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥)))
138	130, 136, 137	3eqtr4d 2805	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))‘𝑥) = (((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥)))
139	9, 11, 110, 112, 120, 121, 129, 138	climsub 15743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ ((1 / 𝑀) − 0))
140	139, 46	breqtrd 5131	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
141		uzssz 12930	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ⊆ ℤ
142		resmpt 6034	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ⊆ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
143	141, 142	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))
144	143	breq1i 5110	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
145	3, 11	zsubcld 12752	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
146		zex 12646	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ V
147	146	mptex 7224	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V
148		climres 15684	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V) → (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
149	145, 147, 148	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
150	144, 149	bitr3id 288	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
151	9	reseq2i 5970	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘1))
152	151	breq1i 5110	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ (1 / 𝑀))
153		nnssz 12659	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
154		resmpt 6034	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
155	153, 154	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))
156	155	breq1i 5110	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
157		climres 15684	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V) → (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
158	10, 147, 157	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
159	152, 156, 158	3bitr3i 304	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
160	150, 159	bitr4di 292	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
161	140, 160	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
162	8, 161	eqbrtrd 5127	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5653   ↾ cres 5657   “ cima 5658  ‘cfv 6534  (class class class)co 7415  ℂcc 11144  ℝcr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151   < clt 11289   ≤ cle 11290   − cmin 11487   / cdiv 11917  ℕcn 12279  ℤcz 12637  ℤ_≥cuz 12909  ℝ⁺crp 13064  ...cfz 13583  ⌊cfl 13873  ♯chash 14416   ⇝ cli 15593   ∥ cdvds 16364

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7372  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-1o 8459  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-card 9966  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11489  df-neg 11490  df-div 11918  df-nn 12280  df-2 12349  df-3 12350  df-n0 12551  df-z 12638  df-uz 12910  df-rp 13065  df-fz 13584  df-fl 13875  df-seq 14088  df-exp 14148  df-hash 14417  df-cj 15208  df-re 15209  df-im 15210  df-sqrt 15344  df-abs 15345  df-clim 15597  df-rlim 15598  df-dvds 16365

This theorem is used by: (None)