Theorem hashnzfzclim 45305

Description: As the upper bound 𝐾 of the constraint interval (𝐽...𝐾) in hashnzfz 45303 increases, the resulting count of multiples tends to (𝐾 / 𝑀) —that is, there are approximately (𝐾 / 𝑀) multiples of 𝑀 in a finite interval of integers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashnzfzclim.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
hashnzfzclim.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
hashnzfzclim	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Proof of Theorem hashnzfzclim

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnzfzclim.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℕ)
3		hashnzfzclim.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
5		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)))
6	2, 4, 5	hashnzfz 45303	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) → (♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) = ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))))
7	6	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) → ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘) = (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))
8	7	mpteq2dva 5198	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
9		nnuz 13004	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
10		1z 12726	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
12	1	nncnd 12351	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
13	1	nnne0d 12388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
14	12, 13	reccld 12086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℂ)
15	9	eqimss2i 3992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℕ
16		nnex 12341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ∈ V
17	15, 16	climconst2 15715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {(1 / 𝑀)}) ⇝ (1 / 𝑀))
18	14, 10, 17	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℕ × {(1 / 𝑀)}) ⇝ (1 / 𝑀))
19	16	mptex 7229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ∈ V)
21		ax-1cn 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		divcnv 16022	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)) ⇝ 0)
23	21, 22	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)) ⇝ 0)
24		ovex 7453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 𝑀) ∈ V
25	24	fvconst2 7210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) = (1 / 𝑀))
26	25	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) = (1 / 𝑀))
27	14	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑀) ∈ ℂ)
28	26, 27	eqeltrd 2861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) ∈ ℂ)
29		eqidd 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)))
30		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (1 / 𝑘) = (1 / 𝑥))
31	30	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (1 / 𝑘) = (1 / 𝑥))
32		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
33		ovexd 7455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑥) ∈ V)
34	29, 31, 32, 33	fvmptd 7001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥) = (1 / 𝑥))
35	32	nnrecred 12389	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
36	34, 35	eqeltrd 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℝ)
37	36	recnd 11337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
38		eqidd 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))))
39	30	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
40	39	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
41		ovexd 7455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) ∈ V)
42	38, 40, 32, 41	fvmptd 7001	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
43	26, 34	oveq12d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
44	42, 43	eqtr4d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) = (((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥)))
45	9, 11, 18, 20, 23, 28, 37, 44	climsub 15801	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ⇝ ((1 / 𝑀) − 0))
46	14	subid1d 11658	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑀) − 0) = (1 / 𝑀))
47	45, 46	breqtrd 5131	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ⇝ (1 / 𝑀))
48	16	mptex 7229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) ∈ V
49	48	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) ∈ V)
50	1	nnrecred 12389	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
51	50	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
52		nnre 12342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
53	52	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
54		nnne0 12372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
55	54	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ≠ 0)
56	53, 55	rereccld 12144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
57	51, 56	resubcld 11744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) ∈ ℝ)
58	42, 57	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) ∈ ℝ)
59		eqidd 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)))
60		fvoveq1 7443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (⌊‘(𝑘 / 𝑀)) = (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
61		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝑘 = 𝑥)
62	60, 61	oveq12d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
63	62	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
64		ovexd 7455	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ∈ V)
65	59, 63, 32, 64	fvmptd 7001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
66	1	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
67	53, 66	nndivred 12392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ)
68		reflcl 13936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ∈ ℝ)
69	67, 68	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ∈ ℝ)
70	69, 53, 55	redivcld 12145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ∈ ℝ)
71	65, 70	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℝ)
72	67	recnd 11337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) ∈ ℂ)
73		1cnd 11302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
74		nncn 12343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
75	74	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
76	72, 73, 75, 55	divsubdird 12132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) − 1) / 𝑥) = (((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) − (1 / 𝑥)))
77	12	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
78	13	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ≠ 0)
79	75, 77, 78	divrecd 12096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) = (𝑥 · (1 / 𝑀)))
80	79	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) = ((𝑥 · (1 / 𝑀)) / 𝑥))
81	27, 75, 55	divcan3d 12098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 · (1 / 𝑀)) / 𝑥) = (1 / 𝑀))
82	80, 81	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) = (1 / 𝑀))
83	82	oveq1d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) − (1 / 𝑥)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
84	76, 83	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) − 1) / 𝑥) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
85		1red 11309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
86	67, 85	resubcld 11744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) − 1) ∈ ℝ)
87		nnrp 13132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ+)
88	87	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ+)
89	69, 85	readdcld 11338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1) ∈ ℝ)
90		flle 13939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀))
91	67, 90	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀))
92		flflp1 13947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀) ↔ (𝑥 / 𝑀) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1)))
93	67, 67, 92	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀) ↔ (𝑥 / 𝑀) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1)))
94	91, 93	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1))
95	67, 89, 85, 94	ltsub1dd 11928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) − 1) < (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1) − 1))
96	69	recnd 11337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ∈ ℂ)
97	96, 73	pncand 11670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1) − 1) = (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
98	95, 97	breqtrd 5131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) − 1) < (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
99	86, 69, 88, 98	ltdiv1dd 13221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) − 1) / 𝑥) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
100	84, 99	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
101	57, 70, 100	ltled 11458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) ≤ ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
102		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → 𝑘 = 𝑥)
103	102	fvoveq1d 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (⌊‘(𝑘 / 𝑀)) = (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
104	103, 102	oveq12d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
105	59, 104, 32, 64	fvmptd 7001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
106	101, 42, 105	3brtr4d 5137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) ≤ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥))
107	69, 67, 88, 91	lediv1dd 13222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ≤ ((𝑥 / 𝑀) / 𝑥))
108	107, 82	breqtrd 5131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ≤ (1 / 𝑀))
109	105, 108	eqbrtrd 5127	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ≤ (1 / 𝑀))
110	9, 11, 47, 49, 58, 71, 106, 109	climsqz 15808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
111	16	mptex 7229	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V
112	111	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V)
113	3	zred 12803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
114		1red 11309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
115	113, 114	resubcld 11744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
116	115, 1	nndivred 12392	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 1) / 𝑀) ∈ ℝ)
117	116	flcld 13938	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℤ)
118	117	zcnd 12804	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℂ)
119		divcnv 16022	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)) ⇝ 0)
120	118, 119	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)) ⇝ 0)
121	71	recnd 11337	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
122		eqidd 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)))
123		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥))
124	123	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥))
125		ovexd 7455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥) ∈ V)
126	122, 124, 32, 125	fvmptd 7001	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) = ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥))
127	118	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℂ)
128	127, 75, 55	divcld 12093	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥) ∈ ℂ)
129	126, 128	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
130	96, 127, 75, 55	divsubdird 12132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) − ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥)))
131		eqidd 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
132	60	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))))
133	132, 61	oveq12d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥))
134	133	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥))
135		ovexd 7455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥) ∈ V)
136	131, 134, 32, 135	fvmptd 7001	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))‘𝑥) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥))
137	65, 126	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥)) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) − ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥)))
138	130, 136, 137	3eqtr4d 2806	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))‘𝑥) = (((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥)))
139	9, 11, 110, 112, 120, 121, 129, 138	climsub 15801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ ((1 / 𝑀) − 0))
140	139, 46	breqtrd 5131	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
141		uzssz 12986	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ⊆ ℤ
142		resmpt 6029	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ⊆ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
143	141, 142	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))
144	143	breq1i 5110	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
145	3, 11	zsubcld 12808	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
146		zex 12702	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ V
147	146	mptex 7229	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V
148		climres 15742	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V) → (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
149	145, 147, 148	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
150	144, 149	bitr3id 288	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
151	9	reseq2i 5967	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘1))
152	151	breq1i 5110	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ (1 / 𝑀))
153		nnssz 12715	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
154		resmpt 6029	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
155	153, 154	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))
156	155	breq1i 5110	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
157		climres 15742	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V) → (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
158	10, 147, 157	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
159	152, 156, 158	3bitr3i 304	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
160	150, 159	bitr4di 292	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
161	140, 160	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
162	8, 161	eqbrtrd 5127	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649   ↾ cres 5653   “ cima 5654  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   / cdiv 11973  ℕcn 12335  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ℝ⁺crp 13120  ...cfz 13639  ⌊cfl 13930  ♯chash 14474   ⇝ cli 15651   ∥ cdvds 16422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-dvds 16423

This theorem is used by: (None)