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Theorem hashnzfzclim 41940
Description: As the upper bound 𝐾 of the constraint interval (𝐽...𝐾) in hashnzfz 41938 increases, the resulting count of multiples tends to (𝐾 / 𝑀) —that is, there are approximately (𝐾 / 𝑀) multiples of 𝑀 in a finite interval of integers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hashnzfzclim.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
hashnzfzclim.j (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
hashnzfzclim (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Proof of Theorem hashnzfzclim
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashnzfzclim.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℕ)
3 hashnzfzclim.j . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
43adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
5 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)))
62, 4, 5hashnzfz 41938 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1))) → (♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) = ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))))
76oveq1d 7290 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1))) → ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘) = (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))
87mpteq2dva 5174 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
9 nnuz 12621 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
10 1z 12350 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
1110a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
121nncnd 11989 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
131nnne0d 12023 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ≠ 0)
1412, 13reccld 11744 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℂ)
159eqimss2i 3980 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘1) ⊆ ℕ
16 nnex 11979 . . . . . . . . . 10 ℕ ∈ V
1715, 16climconst2 15257 . . . . . . . . 9 (((1 / 𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {(1 / 𝑀)}) ⇝ (1 / 𝑀))
1814, 10, 17sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℕ × {(1 / 𝑀)}) ⇝ (1 / 𝑀))
1916mptex 7099 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ∈ V)
21 ax-1cn 10929 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
22 divcnv 15565 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)) ⇝ 0)
2321, 22mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)) ⇝ 0)
24 ovex 7308 . . . . . . . . . . 11 (1 / 𝑀) ∈ V
2524fvconst2 7079 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → ((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) = (1 / 𝑀))
2625adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) = (1 / 𝑀))
2714adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑀) ∈ ℂ)
2826, 27eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) ∈ ℂ)
29 eqidd 2739 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)))
30 oveq2 7283 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑥 → (1 / 𝑘) = (1 / 𝑥))
3130adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (1 / 𝑘) = (1 / 𝑥))
32 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
33 ovexd 7310 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑥) ∈ V)
3429, 31, 32, 33fvmptd 6882 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥) = (1 / 𝑥))
3532nnrecred 12024 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
3634, 35eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℝ)
3736recnd 11003 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
38 eqidd 2739 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))))
3930oveq2d 7291 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑥 → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
4039adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
41 ovexd 7310 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) ∈ V)
4238, 40, 32, 41fvmptd 6882 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
4326, 34oveq12d 7293 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
4442, 43eqtr4d 2781 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) = (((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥)))
459, 11, 18, 20, 23, 28, 37, 44climsub 15343 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ⇝ ((1 / 𝑀) − 0))
4614subid1d 11321 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 𝑀) − 0) = (1 / 𝑀))
4745, 46breqtrd 5100 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ⇝ (1 / 𝑀))
4816mptex 7099 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) ∈ V
4948a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) ∈ V)
501nnrecred 12024 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
5150adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
52 nnre 11980 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
5352adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
54 nnne0 12007 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
5554adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ≠ 0)
5653, 55rereccld 11802 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
5751, 56resubcld 11403 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) ∈ ℝ)
5842, 57eqeltrd 2839 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) ∈ ℝ)
59 eqidd 2739 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)))
60 fvoveq1 7298 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑥 → (⌊‘(𝑘 / 𝑀)) = (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
61 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑥𝑘 = 𝑥)
6260, 61oveq12d 7293 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑥 → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
6362adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
64 ovexd 7310 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ∈ V)
6559, 63, 32, 64fvmptd 6882 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
661adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
6753, 66nndivred 12027 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ)
68 reflcl 13516 . . . . . . . . 9 ((𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ∈ ℝ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ∈ ℝ)
7069, 53, 55redivcld 11803 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ∈ ℝ)
7165, 70eqeltrd 2839 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℝ)
7267recnd 11003 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) ∈ ℂ)
73 1cnd 10970 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
74 nncn 11981 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
7574adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
7672, 73, 75, 55divsubdird 11790 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) − 1) / 𝑥) = (((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) − (1 / 𝑥)))
7712adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
7813adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ≠ 0)
7975, 77, 78divrecd 11754 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) = (𝑥 · (1 / 𝑀)))
8079oveq1d 7290 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) = ((𝑥 · (1 / 𝑀)) / 𝑥))
8127, 75, 55divcan3d 11756 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 · (1 / 𝑀)) / 𝑥) = (1 / 𝑀))
8280, 81eqtrd 2778 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) = (1 / 𝑀))
8382oveq1d 7290 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) − (1 / 𝑥)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
8476, 83eqtrd 2778 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) − 1) / 𝑥) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
85 1red 10976 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
8667, 85resubcld 11403 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) − 1) ∈ ℝ)
87 nnrp 12741 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ+)
8887adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ+)
8969, 85readdcld 11004 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1) ∈ ℝ)
90 flle 13519 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀))
9167, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀))
92 flflp1 13527 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀) ↔ (𝑥 / 𝑀) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1)))
9367, 67, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀) ↔ (𝑥 / 𝑀) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1)))
9491, 93mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1))
9567, 89, 85, 94ltsub1dd 11587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) − 1) < (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1) − 1))
9669recnd 11003 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ∈ ℂ)
9796, 73pncand 11333 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1) − 1) = (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
9895, 97breqtrd 5100 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) − 1) < (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
9986, 69, 88, 98ltdiv1dd 12829 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) − 1) / 𝑥) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
10084, 99eqbrtrrd 5098 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
10157, 70, 100ltled 11123 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) ≤ ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
102 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → 𝑘 = 𝑥)
103102fvoveq1d 7297 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (⌊‘(𝑘 / 𝑀)) = (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
104103, 102oveq12d 7293 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
10559, 104, 32, 64fvmptd 6882 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
106101, 42, 1053brtr4d 5106 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) ≤ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥))
10769, 67, 88, 91lediv1dd 12830 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ≤ ((𝑥 / 𝑀) / 𝑥))
108107, 82breqtrd 5100 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ≤ (1 / 𝑀))
109105, 108eqbrtrd 5096 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ≤ (1 / 𝑀))
1109, 11, 47, 49, 58, 71, 106, 109climsqz 15350 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
11116mptex 7099 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V
112111a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V)
1133zred 12426 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
114 1red 10976 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
115113, 114resubcld 11403 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
116115, 1nndivred 12027 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐽 − 1) / 𝑀) ∈ ℝ)
117116flcld 13518 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℤ)
118117zcnd 12427 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℂ)
119 divcnv 15565 . . . . . 6 ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)) ⇝ 0)
120118, 119syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)) ⇝ 0)
12171recnd 11003 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
122 eqidd 2739 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)))
123 oveq2 7283 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥))
124123adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥))
125 ovexd 7310 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥) ∈ V)
126122, 124, 32, 125fvmptd 6882 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) = ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥))
127118adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℂ)
128127, 75, 55divcld 11751 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥) ∈ ℂ)
129126, 128eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
13096, 127, 75, 55divsubdird 11790 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) − ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥)))
131 eqidd 2739 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
13260oveq1d 7290 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑥 → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))))
133132, 61oveq12d 7293 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥))
134133adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥))
135 ovexd 7310 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥) ∈ V)
136131, 134, 32, 135fvmptd 6882 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))‘𝑥) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥))
13765, 126oveq12d 7293 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥)) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) − ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥)))
138130, 136, 1373eqtr4d 2788 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))‘𝑥) = (((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥)))
1399, 11, 110, 112, 120, 121, 129, 138climsub 15343 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ ((1 / 𝑀) − 0))
140139, 46breqtrd 5100 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
141 uzssz 12603 . . . . . . 7 (ℤ‘(𝐽 − 1)) ⊆ ℤ
142 resmpt 5945 . . . . . . 7 ((ℤ‘(𝐽 − 1)) ⊆ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘(𝐽 − 1))) = (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
143141, 142ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘(𝐽 − 1))) = (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))
144143breq1i 5081 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘(𝐽 − 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
1453, 11zsubcld 12431 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
146 zex 12328 . . . . . . 7 ℤ ∈ V
147146mptex 7099 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V
148 climres 15284 . . . . . 6 (((𝐽 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V) → (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘(𝐽 − 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
149145, 147, 148sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘(𝐽 − 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
150144, 149bitr3id 285 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
1519reseq2i 5888 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘1))
152151breq1i 5081 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ (1 / 𝑀))
153 nnssz 12340 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℤ
154 resmpt 5945 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
155153, 154ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))
156155breq1i 5081 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
157 climres 15284 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V) → (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
15810, 147, 157mp2an 689 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
159152, 156, 1583bitr3i 301 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
160150, 159bitr4di 289 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
161140, 160mpbird 256 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
1628, 161eqbrtrd 5096 1 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3432  cin 3886  wss 3887  {csn 4561   class class class wbr 5074  cmpt 5157   × cxp 5587  cres 5591  cima 5592  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205   / cdiv 11632  cn 11973  cz 12319  cuz 12582  +crp 12730  ...cfz 13239  cfl 13510  chash 14044  cli 15193  cdvds 15963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-dvds 15964
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