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Theorem hashnzfzclim 44318
Description: As the upper bound 𝐾 of the constraint interval (𝐽...𝐾) in hashnzfz 44316 increases, the resulting count of multiples tends to (𝐾 / 𝑀) —that is, there are approximately (𝐾 / 𝑀) multiples of 𝑀 in a finite interval of integers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hashnzfzclim.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
hashnzfzclim.j (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
hashnzfzclim (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Proof of Theorem hashnzfzclim
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashnzfzclim.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℕ)
3 hashnzfzclim.j . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
43adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
5 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)))
62, 4, 5hashnzfz 44316 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1))) → (♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) = ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))))
76oveq1d 7446 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1))) → ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘) = (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))
87mpteq2dva 5248 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
9 nnuz 12919 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
10 1z 12645 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
1110a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
121nncnd 12280 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
131nnne0d 12314 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ≠ 0)
1412, 13reccld 12034 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℂ)
159eqimss2i 4057 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘1) ⊆ ℕ
16 nnex 12270 . . . . . . . . . 10 ℕ ∈ V
1715, 16climconst2 15581 . . . . . . . . 9 (((1 / 𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {(1 / 𝑀)}) ⇝ (1 / 𝑀))
1814, 10, 17sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℕ × {(1 / 𝑀)}) ⇝ (1 / 𝑀))
1916mptex 7243 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ∈ V)
21 ax-1cn 11211 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
22 divcnv 15886 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)) ⇝ 0)
2321, 22mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)) ⇝ 0)
24 ovex 7464 . . . . . . . . . . 11 (1 / 𝑀) ∈ V
2524fvconst2 7224 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → ((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) = (1 / 𝑀))
2625adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) = (1 / 𝑀))
2714adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑀) ∈ ℂ)
2826, 27eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) ∈ ℂ)
29 eqidd 2736 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)))
30 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑥 → (1 / 𝑘) = (1 / 𝑥))
3130adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (1 / 𝑘) = (1 / 𝑥))
32 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
33 ovexd 7466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑥) ∈ V)
3429, 31, 32, 33fvmptd 7023 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥) = (1 / 𝑥))
3532nnrecred 12315 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
3634, 35eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℝ)
3736recnd 11287 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
38 eqidd 2736 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))))
3930oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑥 → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
4039adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
41 ovexd 7466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) ∈ V)
4238, 40, 32, 41fvmptd 7023 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
4326, 34oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
4442, 43eqtr4d 2778 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) = (((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥)))
459, 11, 18, 20, 23, 28, 37, 44climsub 15667 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ⇝ ((1 / 𝑀) − 0))
4614subid1d 11607 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 𝑀) − 0) = (1 / 𝑀))
4745, 46breqtrd 5174 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ⇝ (1 / 𝑀))
4816mptex 7243 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) ∈ V
4948a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) ∈ V)
501nnrecred 12315 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
5150adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
52 nnre 12271 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
5352adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
54 nnne0 12298 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
5554adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ≠ 0)
5653, 55rereccld 12092 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
5751, 56resubcld 11689 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) ∈ ℝ)
5842, 57eqeltrd 2839 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) ∈ ℝ)
59 eqidd 2736 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)))
60 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑥 → (⌊‘(𝑘 / 𝑀)) = (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
61 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑥𝑘 = 𝑥)
6260, 61oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑥 → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
6362adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
64 ovexd 7466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ∈ V)
6559, 63, 32, 64fvmptd 7023 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
661adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
6753, 66nndivred 12318 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ)
68 reflcl 13833 . . . . . . . . 9 ((𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ∈ ℝ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ∈ ℝ)
7069, 53, 55redivcld 12093 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ∈ ℝ)
7165, 70eqeltrd 2839 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℝ)
7267recnd 11287 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) ∈ ℂ)
73 1cnd 11254 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
74 nncn 12272 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
7574adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
7672, 73, 75, 55divsubdird 12080 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) − 1) / 𝑥) = (((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) − (1 / 𝑥)))
7712adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
7813adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ≠ 0)
7975, 77, 78divrecd 12044 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) = (𝑥 · (1 / 𝑀)))
8079oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) = ((𝑥 · (1 / 𝑀)) / 𝑥))
8127, 75, 55divcan3d 12046 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 · (1 / 𝑀)) / 𝑥) = (1 / 𝑀))
8280, 81eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) = (1 / 𝑀))
8382oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) − (1 / 𝑥)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
8476, 83eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) − 1) / 𝑥) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
85 1red 11260 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
8667, 85resubcld 11689 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) − 1) ∈ ℝ)
87 nnrp 13044 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ+)
8887adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ+)
8969, 85readdcld 11288 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1) ∈ ℝ)
90 flle 13836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀))
9167, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀))
92 flflp1 13844 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀) ↔ (𝑥 / 𝑀) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1)))
9367, 67, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀) ↔ (𝑥 / 𝑀) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1)))
9491, 93mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1))
9567, 89, 85, 94ltsub1dd 11873 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) − 1) < (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1) − 1))
9669recnd 11287 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ∈ ℂ)
9796, 73pncand 11619 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1) − 1) = (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
9895, 97breqtrd 5174 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) − 1) < (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
9986, 69, 88, 98ltdiv1dd 13132 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) − 1) / 𝑥) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
10084, 99eqbrtrrd 5172 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
10157, 70, 100ltled 11407 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) ≤ ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
102 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → 𝑘 = 𝑥)
103102fvoveq1d 7453 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (⌊‘(𝑘 / 𝑀)) = (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
104103, 102oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
10559, 104, 32, 64fvmptd 7023 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
106101, 42, 1053brtr4d 5180 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) ≤ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥))
10769, 67, 88, 91lediv1dd 13133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ≤ ((𝑥 / 𝑀) / 𝑥))
108107, 82breqtrd 5174 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ≤ (1 / 𝑀))
109105, 108eqbrtrd 5170 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ≤ (1 / 𝑀))
1109, 11, 47, 49, 58, 71, 106, 109climsqz 15674 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
11116mptex 7243 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V
112111a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V)
1133zred 12720 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
114 1red 11260 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
115113, 114resubcld 11689 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
116115, 1nndivred 12318 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐽 − 1) / 𝑀) ∈ ℝ)
117116flcld 13835 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℤ)
118117zcnd 12721 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℂ)
119 divcnv 15886 . . . . . 6 ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)) ⇝ 0)
120118, 119syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)) ⇝ 0)
12171recnd 11287 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
122 eqidd 2736 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)))
123 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥))
124123adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥))
125 ovexd 7466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥) ∈ V)
126122, 124, 32, 125fvmptd 7023 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) = ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥))
127118adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℂ)
128127, 75, 55divcld 12041 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥) ∈ ℂ)
129126, 128eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
13096, 127, 75, 55divsubdird 12080 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) − ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥)))
131 eqidd 2736 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
13260oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑥 → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))))
133132, 61oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥))
134133adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥))
135 ovexd 7466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥) ∈ V)
136131, 134, 32, 135fvmptd 7023 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))‘𝑥) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥))
13765, 126oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥)) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) − ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥)))
138130, 136, 1373eqtr4d 2785 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))‘𝑥) = (((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥)))
1399, 11, 110, 112, 120, 121, 129, 138climsub 15667 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ ((1 / 𝑀) − 0))
140139, 46breqtrd 5174 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
141 uzssz 12897 . . . . . . 7 (ℤ‘(𝐽 − 1)) ⊆ ℤ
142 resmpt 6057 . . . . . . 7 ((ℤ‘(𝐽 − 1)) ⊆ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘(𝐽 − 1))) = (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
143141, 142ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘(𝐽 − 1))) = (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))
144143breq1i 5155 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘(𝐽 − 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
1453, 11zsubcld 12725 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
146 zex 12620 . . . . . . 7 ℤ ∈ V
147146mptex 7243 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V
148 climres 15608 . . . . . 6 (((𝐽 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V) → (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘(𝐽 − 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
149145, 147, 148sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘(𝐽 − 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
150144, 149bitr3id 285 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
1519reseq2i 5997 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘1))
152151breq1i 5155 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ (1 / 𝑀))
153 nnssz 12633 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℤ
154 resmpt 6057 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
155153, 154ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))
156155breq1i 5155 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
157 climres 15608 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V) → (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
15810, 147, 157mp2an 692 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
159152, 156, 1583bitr3i 301 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
160150, 159bitr4di 289 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
161140, 160mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
1628, 161eqbrtrd 5170 1 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5687  cres 5691  cima 5692  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  cz 12611  cuz 12876  +crp 13032  ...cfz 13544  cfl 13827  chash 14366  cli 15517  cdvds 16287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-dvds 16288
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