Theorem hashnzfzclim 44313

Description: As the upper bound 𝐾 of the constraint interval (𝐽...𝐾) in hashnzfz 44311 increases, the resulting count of multiples tends to (𝐾 / 𝑀) —that is, there are approximately (𝐾 / 𝑀) multiples of 𝑀 in a finite interval of integers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashnzfzclim.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
hashnzfzclim.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
hashnzfzclim	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Proof of Theorem hashnzfzclim

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnzfzclim.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℕ)
3		hashnzfzclim.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)))
6	2, 4, 5	hashnzfz 44311	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) → (♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) = ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))))
7	6	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) → ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘) = (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))
8	7	mpteq2dva 5219	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
9		nnuz 12900	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
10		1z 12627	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
12	1	nncnd 12261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
13	1	nnne0d 12295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
14	12, 13	reccld 12015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℂ)
15	9	eqimss2i 4025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℕ
16		nnex 12251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ∈ V
17	15, 16	climconst2 15569	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {(1 / 𝑀)}) ⇝ (1 / 𝑀))
18	14, 10, 17	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℕ × {(1 / 𝑀)}) ⇝ (1 / 𝑀))
19	16	mptex 7220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ∈ V)
21		ax-1cn 11192	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		divcnv 15874	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)) ⇝ 0)
23	21, 22	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)) ⇝ 0)
24		ovex 7443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 𝑀) ∈ V
25	24	fvconst2 7201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) = (1 / 𝑀))
26	25	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) = (1 / 𝑀))
27	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑀) ∈ ℂ)
28	26, 27	eqeltrd 2835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) ∈ ℂ)
29		eqidd 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)))
30		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (1 / 𝑘) = (1 / 𝑥))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (1 / 𝑘) = (1 / 𝑥))
32		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
33		ovexd 7445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑥) ∈ V)
34	29, 31, 32, 33	fvmptd 6998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥) = (1 / 𝑥))
35	32	nnrecred 12296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
36	34, 35	eqeltrd 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℝ)
37	36	recnd 11268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
38		eqidd 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))))
39	30	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
40	39	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
41		ovexd 7445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) ∈ V)
42	38, 40, 32, 41	fvmptd 6998	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
43	26, 34	oveq12d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
44	42, 43	eqtr4d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) = (((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥)))
45	9, 11, 18, 20, 23, 28, 37, 44	climsub 15655	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ⇝ ((1 / 𝑀) − 0))
46	14	subid1d 11588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑀) − 0) = (1 / 𝑀))
47	45, 46	breqtrd 5150	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ⇝ (1 / 𝑀))
48	16	mptex 7220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) ∈ V
49	48	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) ∈ V)
50	1	nnrecred 12296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
51	50	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
52		nnre 12252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
54		nnne0 12279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
55	54	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ≠ 0)
56	53, 55	rereccld 12073	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
57	51, 56	resubcld 11670	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) ∈ ℝ)
58	42, 57	eqeltrd 2835	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) ∈ ℝ)
59		eqidd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)))
60		fvoveq1 7433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (⌊‘(𝑘 / 𝑀)) = (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
61		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝑘 = 𝑥)
62	60, 61	oveq12d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
63	62	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
64		ovexd 7445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ∈ V)
65	59, 63, 32, 64	fvmptd 6998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
66	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
67	53, 66	nndivred 12299	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ)
68		reflcl 13818	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ∈ ℝ)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ∈ ℝ)
70	69, 53, 55	redivcld 12074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ∈ ℝ)
71	65, 70	eqeltrd 2835	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℝ)
72	67	recnd 11268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) ∈ ℂ)
73		1cnd 11235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
74		nncn 12253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
75	74	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
76	72, 73, 75, 55	divsubdird 12061	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) − 1) / 𝑥) = (((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) − (1 / 𝑥)))
77	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
78	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ≠ 0)
79	75, 77, 78	divrecd 12025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) = (𝑥 · (1 / 𝑀)))
80	79	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) = ((𝑥 · (1 / 𝑀)) / 𝑥))
81	27, 75, 55	divcan3d 12027	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 · (1 / 𝑀)) / 𝑥) = (1 / 𝑀))
82	80, 81	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) = (1 / 𝑀))
83	82	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) − (1 / 𝑥)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
84	76, 83	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) − 1) / 𝑥) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
85		1red 11241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
86	67, 85	resubcld 11670	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) − 1) ∈ ℝ)
87		nnrp 13025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ+)
88	87	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ+)
89	69, 85	readdcld 11269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1) ∈ ℝ)
90		flle 13821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀))
91	67, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀))
92		flflp1 13829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀) ↔ (𝑥 / 𝑀) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1)))
93	67, 67, 92	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀) ↔ (𝑥 / 𝑀) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1)))
94	91, 93	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1))
95	67, 89, 85, 94	ltsub1dd 11854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) − 1) < (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1) − 1))
96	69	recnd 11268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ∈ ℂ)
97	96, 73	pncand 11600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1) − 1) = (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
98	95, 97	breqtrd 5150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) − 1) < (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
99	86, 69, 88, 98	ltdiv1dd 13113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) − 1) / 𝑥) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
100	84, 99	eqbrtrrd 5148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
101	57, 70, 100	ltled 11388	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) ≤ ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
102		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → 𝑘 = 𝑥)
103	102	fvoveq1d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (⌊‘(𝑘 / 𝑀)) = (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
104	103, 102	oveq12d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
105	59, 104, 32, 64	fvmptd 6998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
106	101, 42, 105	3brtr4d 5156	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) ≤ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥))
107	69, 67, 88, 91	lediv1dd 13114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ≤ ((𝑥 / 𝑀) / 𝑥))
108	107, 82	breqtrd 5150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ≤ (1 / 𝑀))
109	105, 108	eqbrtrd 5146	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ≤ (1 / 𝑀))
110	9, 11, 47, 49, 58, 71, 106, 109	climsqz 15662	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
111	16	mptex 7220	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V
112	111	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V)
113	3	zred 12702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
114		1red 11241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
115	113, 114	resubcld 11670	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
116	115, 1	nndivred 12299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 1) / 𝑀) ∈ ℝ)
117	116	flcld 13820	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℤ)
118	117	zcnd 12703	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℂ)
119		divcnv 15874	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)) ⇝ 0)
120	118, 119	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)) ⇝ 0)
121	71	recnd 11268	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
122		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)))
123		oveq2 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥))
124	123	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥))
125		ovexd 7445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥) ∈ V)
126	122, 124, 32, 125	fvmptd 6998	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) = ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥))
127	118	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℂ)
128	127, 75, 55	divcld 12022	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥) ∈ ℂ)
129	126, 128	eqeltrd 2835	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
130	96, 127, 75, 55	divsubdird 12061	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) − ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥)))
131		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
132	60	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))))
133	132, 61	oveq12d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥))
134	133	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥))
135		ovexd 7445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥) ∈ V)
136	131, 134, 32, 135	fvmptd 6998	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))‘𝑥) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥))
137	65, 126	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥)) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) − ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥)))
138	130, 136, 137	3eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))‘𝑥) = (((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥)))
139	9, 11, 110, 112, 120, 121, 129, 138	climsub 15655	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ ((1 / 𝑀) − 0))
140	139, 46	breqtrd 5150	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
141		uzssz 12878	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ⊆ ℤ
142		resmpt 6029	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ⊆ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
143	141, 142	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))
144	143	breq1i 5131	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
145	3, 11	zsubcld 12707	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
146		zex 12602	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ V
147	146	mptex 7220	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V
148		climres 15596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V) → (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
149	145, 147, 148	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
150	144, 149	bitr3id 285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
151	9	reseq2i 5968	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘1))
152	151	breq1i 5131	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ (1 / 𝑀))
153		nnssz 12615	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
154		resmpt 6029	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
155	153, 154	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))
156	155	breq1i 5131	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
157		climres 15596	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V) → (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
158	10, 147, 157	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
159	152, 156, 158	3bitr3i 301	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
160	150, 159	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
161	140, 160	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
162	8, 161	eqbrtrd 5146	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  Vcvv 3464   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  {csn 4606   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206   × cxp 5657   ↾ cres 5661   “ cima 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   < clt 11274   ≤ cle 11275   − cmin 11471   / cdiv 11899  ℕcn 12245  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ℝ⁺crp 13013  ...cfz 13529  ⌊cfl 13812  ♯chash 14353   ⇝ cli 15505   ∥ cdvds 16277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-dvds 16278

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