Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hashnzfzclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashnzfzclim 42694
Description: As the upper bound 𝐾 of the constraint interval (𝐽...𝐾) in hashnzfz 42692 increases, the resulting count of multiples tends to (𝐾 / 𝑀) β€”that is, there are approximately (𝐾 / 𝑀) multiples of 𝑀 in a finite interval of integers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hashnzfzclim.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
hashnzfzclim.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„€)
Assertion
Ref Expression
hashnzfzclim (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐽 βˆ’ 1)) ↦ ((β™―β€˜(( βˆ₯ β€œ {𝑀}) ∩ (𝐽...π‘˜))) / π‘˜)) ⇝ (1 / 𝑀))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐽   π‘˜,𝑀   πœ‘,π‘˜

Proof of Theorem hashnzfzclim
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashnzfzclim.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
21adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐽 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
3 hashnzfzclim.j . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ β„€)
43adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐽 βˆ’ 1))) β†’ 𝐽 ∈ β„€)
5 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐽 βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐽 βˆ’ 1)))
62, 4, 5hashnzfz 42692 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐽 βˆ’ 1))) β†’ (β™―β€˜(( βˆ₯ β€œ {𝑀}) ∩ (𝐽...π‘˜))) = ((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))))
76oveq1d 7376 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐽 βˆ’ 1))) β†’ ((β™―β€˜(( βˆ₯ β€œ {𝑀}) ∩ (𝐽...π‘˜))) / π‘˜) = (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜))
87mpteq2dva 5209 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐽 βˆ’ 1)) ↦ ((β™―β€˜(( βˆ₯ β€œ {𝑀}) ∩ (𝐽...π‘˜))) / π‘˜)) = (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐽 βˆ’ 1)) ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)))
9 nnuz 12814 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
10 1z 12541 . . . . . 6 1 ∈ β„€
1110a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
121nncnd 12177 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
131nnne0d 12211 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  0)
1412, 13reccld 11932 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 / 𝑀) ∈ β„‚)
159eqimss2i 4007 . . . . . . . . . 10 (β„€β‰₯β€˜1) βŠ† β„•
16 nnex 12167 . . . . . . . . . 10 β„• ∈ V
1715, 16climconst2 15439 . . . . . . . . 9 (((1 / 𝑀) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (β„• Γ— {(1 / 𝑀)}) ⇝ (1 / 𝑀))
1814, 10, 17sylancl 587 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β„• Γ— {(1 / 𝑀)}) ⇝ (1 / 𝑀))
1916mptex 7177 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘˜))) ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘˜))) ∈ V)
21 ax-1cn 11117 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„‚
22 divcnv 15746 . . . . . . . . 9 (1 ∈ β„‚ β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (1 / π‘˜)) ⇝ 0)
2321, 22mp1i 13 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (1 / π‘˜)) ⇝ 0)
24 ovex 7394 . . . . . . . . . . 11 (1 / 𝑀) ∈ V
2524fvconst2 7157 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„• β†’ ((β„• Γ— {(1 / 𝑀)})β€˜π‘₯) = (1 / 𝑀))
2625adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {(1 / 𝑀)})β€˜π‘₯) = (1 / 𝑀))
2714adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (1 / 𝑀) ∈ β„‚)
2826, 27eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {(1 / 𝑀)})β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
29 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (1 / π‘˜)) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (1 / π‘˜)))
30 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (1 / π‘˜) = (1 / π‘₯))
3130adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ (1 / π‘˜) = (1 / π‘₯))
32 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
33 ovexd 7396 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (1 / π‘₯) ∈ V)
3429, 31, 32, 33fvmptd 6959 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (1 / π‘˜))β€˜π‘₯) = (1 / π‘₯))
3532nnrecred 12212 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ)
3634, 35eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (1 / π‘˜))β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3736recnd 11191 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (1 / π‘˜))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
38 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘˜))))
3930oveq2d 7377 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = π‘₯ β†’ ((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘˜)) = ((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘₯)))
4039adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ ((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘˜)) = ((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘₯)))
41 ovexd 7396 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘₯)) ∈ V)
4238, 40, 32, 41fvmptd 6959 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ ((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘˜)))β€˜π‘₯) = ((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘₯)))
4326, 34oveq12d 7379 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (((β„• Γ— {(1 / 𝑀)})β€˜π‘₯) βˆ’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (1 / π‘˜))β€˜π‘₯)) = ((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘₯)))
4442, 43eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ ((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘˜)))β€˜π‘₯) = (((β„• Γ— {(1 / 𝑀)})β€˜π‘₯) βˆ’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (1 / π‘˜))β€˜π‘₯)))
459, 11, 18, 20, 23, 28, 37, 44climsub 15525 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘˜))) ⇝ ((1 / 𝑀) βˆ’ 0))
4614subid1d 11509 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((1 / 𝑀) βˆ’ 0) = (1 / 𝑀))
4745, 46breqtrd 5135 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘˜))) ⇝ (1 / 𝑀))
4816mptex 7177 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) / π‘˜)) ∈ V
4948a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) / π‘˜)) ∈ V)
501nnrecred 12212 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
5150adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
52 nnre 12168 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5352adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
54 nnne0 12195 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„• β†’ π‘₯ β‰  0)
5554adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ π‘₯ β‰  0)
5653, 55rereccld 11990 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ)
5751, 56resubcld 11591 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘₯)) ∈ ℝ)
5842, 57eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ ((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘˜)))β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
59 eqidd 2734 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) / π‘˜)) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) / π‘˜)))
60 fvoveq1 7384 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) = (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)))
61 id 22 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = π‘₯ β†’ π‘˜ = π‘₯)
6260, 61oveq12d 7379 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘₯ β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) / π‘˜) = ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) / π‘₯))
6362adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) / π‘˜) = ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) / π‘₯))
64 ovexd 7396 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) / π‘₯) ∈ V)
6559, 63, 32, 64fvmptd 6959 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ ((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) / π‘˜))β€˜π‘₯) = ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) / π‘₯))
661adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
6753, 66nndivred 12215 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ / 𝑀) ∈ ℝ)
68 reflcl 13710 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ / 𝑀) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) ∈ ℝ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) ∈ ℝ)
7069, 53, 55redivcld 11991 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) / π‘₯) ∈ ℝ)
7165, 70eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ ((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) / π‘˜))β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
7267recnd 11191 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ / 𝑀) ∈ β„‚)
73 1cnd 11158 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
74 nncn 12169 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
7574adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
7672, 73, 75, 55divsubdird 11978 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (((π‘₯ / 𝑀) βˆ’ 1) / π‘₯) = (((π‘₯ / 𝑀) / π‘₯) βˆ’ (1 / π‘₯)))
7712adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
7813adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ 𝑀 β‰  0)
7975, 77, 78divrecd 11942 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ / 𝑀) = (π‘₯ Β· (1 / 𝑀)))
8079oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ / 𝑀) / π‘₯) = ((π‘₯ Β· (1 / 𝑀)) / π‘₯))
8127, 75, 55divcan3d 11944 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ Β· (1 / 𝑀)) / π‘₯) = (1 / 𝑀))
8280, 81eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ / 𝑀) / π‘₯) = (1 / 𝑀))
8382oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (((π‘₯ / 𝑀) / π‘₯) βˆ’ (1 / π‘₯)) = ((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘₯)))
8476, 83eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (((π‘₯ / 𝑀) βˆ’ 1) / π‘₯) = ((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘₯)))
85 1red 11164 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
8667, 85resubcld 11591 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ / 𝑀) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
87 nnrp 12934 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
8887adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
8969, 85readdcld 11192 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) + 1) ∈ ℝ)
90 flle 13713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ / 𝑀) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) ≀ (π‘₯ / 𝑀))
9167, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) ≀ (π‘₯ / 𝑀))
92 flflp1 13721 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ / 𝑀) ∈ ℝ ∧ (π‘₯ / 𝑀) ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) ≀ (π‘₯ / 𝑀) ↔ (π‘₯ / 𝑀) < ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) + 1)))
9367, 67, 92syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) ≀ (π‘₯ / 𝑀) ↔ (π‘₯ / 𝑀) < ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) + 1)))
9491, 93mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ / 𝑀) < ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) + 1))
9567, 89, 85, 94ltsub1dd 11775 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ / 𝑀) βˆ’ 1) < (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) + 1) βˆ’ 1))
9669recnd 11191 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) ∈ β„‚)
9796, 73pncand 11521 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) + 1) βˆ’ 1) = (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)))
9895, 97breqtrd 5135 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ / 𝑀) βˆ’ 1) < (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)))
9986, 69, 88, 98ltdiv1dd 13022 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (((π‘₯ / 𝑀) βˆ’ 1) / π‘₯) < ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) / π‘₯))
10084, 99eqbrtrrd 5133 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘₯)) < ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) / π‘₯))
10157, 70, 100ltled 11311 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘₯)) ≀ ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) / π‘₯))
102 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ π‘˜ = π‘₯)
103102fvoveq1d 7383 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) = (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)))
104103, 102oveq12d 7379 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) / π‘˜) = ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) / π‘₯))
10559, 104, 32, 64fvmptd 6959 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ ((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) / π‘˜))β€˜π‘₯) = ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) / π‘₯))
106101, 42, 1053brtr4d 5141 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ ((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘˜)))β€˜π‘₯) ≀ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ ((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) / π‘˜))β€˜π‘₯))
10769, 67, 88, 91lediv1dd 13023 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) / π‘₯) ≀ ((π‘₯ / 𝑀) / π‘₯))
108107, 82breqtrd 5135 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) / π‘₯) ≀ (1 / 𝑀))
109105, 108eqbrtrd 5131 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ ((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) / π‘˜))β€˜π‘₯) ≀ (1 / 𝑀))
1109, 11, 47, 49, 58, 71, 106, 109climsqz 15532 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) / π‘˜)) ⇝ (1 / 𝑀))
11116mptex 7177 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) ∈ V
112111a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) ∈ V)
1133zred 12615 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ℝ)
114 1red 11164 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
115113, 114resubcld 11591 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐽 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
116115, 1nndivred 12215 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀) ∈ ℝ)
117116flcld 13712 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀)) ∈ β„€)
118117zcnd 12616 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀)) ∈ β„‚)
119 divcnv 15746 . . . . . 6 ((βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀)) ∈ β„‚ β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀)) / π‘˜)) ⇝ 0)
120118, 119syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀)) / π‘˜)) ⇝ 0)
12171recnd 11191 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ ((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) / π‘˜))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
122 eqidd 2734 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀)) / π‘˜)) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀)) / π‘˜)))
123 oveq2 7369 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘₯ β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀)) / π‘˜) = ((βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀)) / π‘₯))
124123adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀)) / π‘˜) = ((βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀)) / π‘₯))
125 ovexd 7396 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀)) / π‘₯) ∈ V)
126122, 124, 32, 125fvmptd 6959 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ ((βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀)) / π‘˜))β€˜π‘₯) = ((βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀)) / π‘₯))
127118adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀)) ∈ β„‚)
128127, 75, 55divcld 11939 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀)) / π‘₯) ∈ β„‚)
129126, 128eqeltrd 2834 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ ((βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀)) / π‘˜))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
13096, 127, 75, 55divsubdird 11978 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘₯) = (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) / π‘₯) βˆ’ ((βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀)) / π‘₯)))
131 eqidd 2734 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)))
13260oveq1d 7376 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘₯ β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) = ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))))
133132, 61oveq12d 7379 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜) = (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘₯))
134133adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ π‘˜ = π‘₯) β†’ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜) = (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘₯))
135 ovexd 7396 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘₯) ∈ V)
136131, 134, 32, 135fvmptd 6959 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜))β€˜π‘₯) = (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘₯))
13765, 126oveq12d 7379 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (((π‘˜ ∈ β„• ↦ ((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) / π‘˜))β€˜π‘₯) βˆ’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ ((βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀)) / π‘˜))β€˜π‘₯)) = (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑀)) / π‘₯) βˆ’ ((βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀)) / π‘₯)))
138130, 136, 1373eqtr4d 2783 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜))β€˜π‘₯) = (((π‘˜ ∈ β„• ↦ ((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) / π‘˜))β€˜π‘₯) βˆ’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ ((βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀)) / π‘˜))β€˜π‘₯)))
1399, 11, 110, 112, 120, 121, 129, 138climsub 15525 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) ⇝ ((1 / 𝑀) βˆ’ 0))
140139, 46breqtrd 5135 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) ⇝ (1 / 𝑀))
141 uzssz 12792 . . . . . . 7 (β„€β‰₯β€˜(𝐽 βˆ’ 1)) βŠ† β„€
142 resmpt 5995 . . . . . . 7 ((β„€β‰₯β€˜(𝐽 βˆ’ 1)) βŠ† β„€ β†’ ((π‘˜ ∈ β„€ ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜(𝐽 βˆ’ 1))) = (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐽 βˆ’ 1)) ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)))
143141, 142ax-mp 5 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„€ ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜(𝐽 βˆ’ 1))) = (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐽 βˆ’ 1)) ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜))
144143breq1i 5116 . . . . 5 (((π‘˜ ∈ β„€ ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜(𝐽 βˆ’ 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐽 βˆ’ 1)) ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) ⇝ (1 / 𝑀))
1453, 11zsubcld 12620 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐽 βˆ’ 1) ∈ β„€)
146 zex 12516 . . . . . . 7 β„€ ∈ V
147146mptex 7177 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) ∈ V
148 climres 15466 . . . . . 6 (((𝐽 βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) ∈ V) β†’ (((π‘˜ ∈ β„€ ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜(𝐽 βˆ’ 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) ⇝ (1 / 𝑀)))
149145, 147, 148sylancl 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘˜ ∈ β„€ ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜(𝐽 βˆ’ 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) ⇝ (1 / 𝑀)))
150144, 149bitr3id 285 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐽 βˆ’ 1)) ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) ⇝ (1 / 𝑀)))
1519reseq2i 5938 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„€ ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) β†Ύ β„•) = ((π‘˜ ∈ β„€ ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1))
152151breq1i 5116 . . . . 5 (((π‘˜ ∈ β„€ ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) β†Ύ β„•) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ ((π‘˜ ∈ β„€ ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1)) ⇝ (1 / 𝑀))
153 nnssz 12529 . . . . . . 7 β„• βŠ† β„€
154 resmpt 5995 . . . . . . 7 (β„• βŠ† β„€ β†’ ((π‘˜ ∈ β„€ ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) β†Ύ β„•) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)))
155153, 154ax-mp 5 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„€ ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) β†Ύ β„•) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜))
156155breq1i 5116 . . . . 5 (((π‘˜ ∈ β„€ ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) β†Ύ β„•) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) ⇝ (1 / 𝑀))
157 climres 15466 . . . . . 6 ((1 ∈ β„€ ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) ∈ V) β†’ (((π‘˜ ∈ β„€ ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) ⇝ (1 / 𝑀)))
15810, 147, 157mp2an 691 . . . . 5 (((π‘˜ ∈ β„€ ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) β†Ύ (β„€β‰₯β€˜1)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) ⇝ (1 / 𝑀))
159152, 156, 1583bitr3i 301 . . . 4 ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (π‘˜ ∈ β„€ ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) ⇝ (1 / 𝑀))
160150, 159bitr4di 289 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐽 βˆ’ 1)) ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) ⇝ (1 / 𝑀)))
161140, 160mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐽 βˆ’ 1)) ↦ (((βŒŠβ€˜(π‘˜ / 𝑀)) βˆ’ (βŒŠβ€˜((𝐽 βˆ’ 1) / 𝑀))) / π‘˜)) ⇝ (1 / 𝑀))
1628, 161eqbrtrd 5131 1 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐽 βˆ’ 1)) ↦ ((β™―β€˜(( βˆ₯ β€œ {𝑀}) ∩ (𝐽...π‘˜))) / π‘˜)) ⇝ (1 / 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  {csn 4590   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635   β†Ύ cres 5639   β€œ cima 5640  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  β„•cn 12161  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  β„+crp 12923  ...cfz 13433  βŒŠcfl 13704  β™―chash 14239   ⇝ cli 15375   βˆ₯ cdvds 16144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-dvds 16145
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator