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Theorem hashnzfzclim 43570
Description: As the upper bound 𝐾 of the constraint interval (𝐽...𝐾) in hashnzfz 43568 increases, the resulting count of multiples tends to (𝐾 / 𝑀) —that is, there are approximately (𝐾 / 𝑀) multiples of 𝑀 in a finite interval of integers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hashnzfzclim.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
hashnzfzclim.j (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
hashnzfzclim (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Proof of Theorem hashnzfzclim
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashnzfzclim.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℕ)
3 hashnzfzclim.j . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
43adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
5 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)))
62, 4, 5hashnzfz 43568 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1))) → (♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) = ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))))
76oveq1d 7416 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1))) → ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘) = (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))
87mpteq2dva 5238 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
9 nnuz 12862 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
10 1z 12589 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
1110a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
121nncnd 12225 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
131nnne0d 12259 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ≠ 0)
1412, 13reccld 11980 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℂ)
159eqimss2i 4035 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘1) ⊆ ℕ
16 nnex 12215 . . . . . . . . . 10 ℕ ∈ V
1715, 16climconst2 15489 . . . . . . . . 9 (((1 / 𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {(1 / 𝑀)}) ⇝ (1 / 𝑀))
1814, 10, 17sylancl 585 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℕ × {(1 / 𝑀)}) ⇝ (1 / 𝑀))
1916mptex 7216 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ∈ V)
21 ax-1cn 11164 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
22 divcnv 15796 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)) ⇝ 0)
2321, 22mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)) ⇝ 0)
24 ovex 7434 . . . . . . . . . . 11 (1 / 𝑀) ∈ V
2524fvconst2 7197 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → ((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) = (1 / 𝑀))
2625adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) = (1 / 𝑀))
2714adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑀) ∈ ℂ)
2826, 27eqeltrd 2825 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) ∈ ℂ)
29 eqidd 2725 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)))
30 oveq2 7409 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑥 → (1 / 𝑘) = (1 / 𝑥))
3130adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (1 / 𝑘) = (1 / 𝑥))
32 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
33 ovexd 7436 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑥) ∈ V)
3429, 31, 32, 33fvmptd 6995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥) = (1 / 𝑥))
3532nnrecred 12260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
3634, 35eqeltrd 2825 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℝ)
3736recnd 11239 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
38 eqidd 2725 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))))
3930oveq2d 7417 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑥 → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
4039adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
41 ovexd 7436 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) ∈ V)
4238, 40, 32, 41fvmptd 6995 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
4326, 34oveq12d 7419 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
4442, 43eqtr4d 2767 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) = (((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥)))
459, 11, 18, 20, 23, 28, 37, 44climsub 15575 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ⇝ ((1 / 𝑀) − 0))
4614subid1d 11557 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 𝑀) − 0) = (1 / 𝑀))
4745, 46breqtrd 5164 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ⇝ (1 / 𝑀))
4816mptex 7216 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) ∈ V
4948a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) ∈ V)
501nnrecred 12260 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
5150adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
52 nnre 12216 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
5352adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
54 nnne0 12243 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
5554adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ≠ 0)
5653, 55rereccld 12038 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
5751, 56resubcld 11639 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) ∈ ℝ)
5842, 57eqeltrd 2825 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) ∈ ℝ)
59 eqidd 2725 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)))
60 fvoveq1 7424 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑥 → (⌊‘(𝑘 / 𝑀)) = (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
61 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑥𝑘 = 𝑥)
6260, 61oveq12d 7419 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑥 → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
6362adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
64 ovexd 7436 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ∈ V)
6559, 63, 32, 64fvmptd 6995 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
661adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
6753, 66nndivred 12263 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ)
68 reflcl 13758 . . . . . . . . 9 ((𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ∈ ℝ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ∈ ℝ)
7069, 53, 55redivcld 12039 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ∈ ℝ)
7165, 70eqeltrd 2825 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℝ)
7267recnd 11239 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) ∈ ℂ)
73 1cnd 11206 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
74 nncn 12217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
7574adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
7672, 73, 75, 55divsubdird 12026 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) − 1) / 𝑥) = (((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) − (1 / 𝑥)))
7712adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
7813adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ≠ 0)
7975, 77, 78divrecd 11990 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) = (𝑥 · (1 / 𝑀)))
8079oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) = ((𝑥 · (1 / 𝑀)) / 𝑥))
8127, 75, 55divcan3d 11992 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 · (1 / 𝑀)) / 𝑥) = (1 / 𝑀))
8280, 81eqtrd 2764 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) = (1 / 𝑀))
8382oveq1d 7416 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) − (1 / 𝑥)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
8476, 83eqtrd 2764 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) − 1) / 𝑥) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
85 1red 11212 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
8667, 85resubcld 11639 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) − 1) ∈ ℝ)
87 nnrp 12982 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ+)
8887adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ+)
8969, 85readdcld 11240 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1) ∈ ℝ)
90 flle 13761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀))
9167, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀))
92 flflp1 13769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀) ↔ (𝑥 / 𝑀) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1)))
9367, 67, 92syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀) ↔ (𝑥 / 𝑀) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1)))
9491, 93mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1))
9567, 89, 85, 94ltsub1dd 11823 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) − 1) < (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1) − 1))
9669recnd 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ∈ ℂ)
9796, 73pncand 11569 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1) − 1) = (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
9895, 97breqtrd 5164 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) − 1) < (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
9986, 69, 88, 98ltdiv1dd 13070 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) − 1) / 𝑥) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
10084, 99eqbrtrrd 5162 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
10157, 70, 100ltled 11359 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) ≤ ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
102 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → 𝑘 = 𝑥)
103102fvoveq1d 7423 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (⌊‘(𝑘 / 𝑀)) = (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
104103, 102oveq12d 7419 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
10559, 104, 32, 64fvmptd 6995 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
106101, 42, 1053brtr4d 5170 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) ≤ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥))
10769, 67, 88, 91lediv1dd 13071 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ≤ ((𝑥 / 𝑀) / 𝑥))
108107, 82breqtrd 5164 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ≤ (1 / 𝑀))
109105, 108eqbrtrd 5160 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ≤ (1 / 𝑀))
1109, 11, 47, 49, 58, 71, 106, 109climsqz 15582 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
11116mptex 7216 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V
112111a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V)
1133zred 12663 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
114 1red 11212 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
115113, 114resubcld 11639 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
116115, 1nndivred 12263 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐽 − 1) / 𝑀) ∈ ℝ)
117116flcld 13760 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℤ)
118117zcnd 12664 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℂ)
119 divcnv 15796 . . . . . 6 ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)) ⇝ 0)
120118, 119syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)) ⇝ 0)
12171recnd 11239 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
122 eqidd 2725 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)))
123 oveq2 7409 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥))
124123adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥))
125 ovexd 7436 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥) ∈ V)
126122, 124, 32, 125fvmptd 6995 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) = ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥))
127118adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℂ)
128127, 75, 55divcld 11987 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥) ∈ ℂ)
129126, 128eqeltrd 2825 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
13096, 127, 75, 55divsubdird 12026 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) − ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥)))
131 eqidd 2725 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
13260oveq1d 7416 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑥 → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))))
133132, 61oveq12d 7419 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥))
134133adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥))
135 ovexd 7436 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥) ∈ V)
136131, 134, 32, 135fvmptd 6995 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))‘𝑥) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥))
13765, 126oveq12d 7419 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥)) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) − ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥)))
138130, 136, 1373eqtr4d 2774 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))‘𝑥) = (((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥)))
1399, 11, 110, 112, 120, 121, 129, 138climsub 15575 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ ((1 / 𝑀) − 0))
140139, 46breqtrd 5164 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
141 uzssz 12840 . . . . . . 7 (ℤ‘(𝐽 − 1)) ⊆ ℤ
142 resmpt 6027 . . . . . . 7 ((ℤ‘(𝐽 − 1)) ⊆ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘(𝐽 − 1))) = (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
143141, 142ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘(𝐽 − 1))) = (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))
144143breq1i 5145 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘(𝐽 − 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
1453, 11zsubcld 12668 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
146 zex 12564 . . . . . . 7 ℤ ∈ V
147146mptex 7216 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V
148 climres 15516 . . . . . 6 (((𝐽 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V) → (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘(𝐽 − 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
149145, 147, 148sylancl 585 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘(𝐽 − 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
150144, 149bitr3id 285 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
1519reseq2i 5968 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘1))
152151breq1i 5145 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ (1 / 𝑀))
153 nnssz 12577 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℤ
154 resmpt 6027 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
155153, 154ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))
156155breq1i 5145 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
157 climres 15516 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V) → (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
15810, 147, 157mp2an 689 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ‘1)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
159152, 156, 1583bitr3i 301 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
160150, 159bitr4di 289 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
161140, 160mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
1628, 161eqbrtrd 5160 1 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐽 − 1)) ↦ ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  Vcvv 3466  cin 3939  wss 3940  {csn 4620   class class class wbr 5138  cmpt 5221   × cxp 5664  cres 5668  cima 5669  cfv 6533  (class class class)co 7401  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11245  cle 11246  cmin 11441   / cdiv 11868  cn 12209  cz 12555  cuz 12819  +crp 12971  ...cfz 13481  cfl 13752  chash 14287  cli 15425  cdvds 16194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-dvds 16195
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