Theorem hashnzfzclim 40647

Description: As the upper bound 𝐾 of the constraint interval (𝐽...𝐾) in hashnzfz 40645 increases, the resulting count of multiples tends to (𝐾 / 𝑀) —that is, there are approximately (𝐾 / 𝑀) multiples of 𝑀 in a finite interval of integers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashnzfzclim.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
hashnzfzclim.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
hashnzfzclim	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Proof of Theorem hashnzfzclim

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnzfzclim.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℕ)
3		hashnzfzclim.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
4	3	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
5		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)))
6	2, 4, 5	hashnzfz 40645	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) → (♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) = ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))))
7	6	oveq1d 7165	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) → ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘) = (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))
8	7	mpteq2dva 5153	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
9		nnuz 12275	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
10		1z 12006	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
12	1	nncnd 11648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
13	1	nnne0d 11681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
14	12, 13	reccld 11403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℂ)
15	9	eqimss2i 4025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℕ
16		nnex 11638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ∈ V
17	15, 16	climconst2 14899	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {(1 / 𝑀)}) ⇝ (1 / 𝑀))
18	14, 10, 17	sylancl 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℕ × {(1 / 𝑀)}) ⇝ (1 / 𝑀))
19	16	mptex 6980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ∈ V)
21		ax-1cn 10589	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		divcnv 15202	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)) ⇝ 0)
23	21, 22	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)) ⇝ 0)
24		ovex 7183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 𝑀) ∈ V
25	24	fvconst2 6960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) = (1 / 𝑀))
26	25	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) = (1 / 𝑀))
27	14	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑀) ∈ ℂ)
28	26, 27	eqeltrd 2913	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) ∈ ℂ)
29		eqidd 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘)))
30		oveq2 7158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (1 / 𝑘) = (1 / 𝑥))
31	30	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (1 / 𝑘) = (1 / 𝑥))
32		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
33		ovexd 7185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑥) ∈ V)
34	29, 31, 32, 33	fvmptd 6769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥) = (1 / 𝑥))
35	32	nnrecred 11682	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
36	34, 35	eqeltrd 2913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℝ)
37	36	recnd 10663	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
38		eqidd 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))))
39	30	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
40	39	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
41		ovexd 7185	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) ∈ V)
42	38, 40, 32, 41	fvmptd 6769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
43	26, 34	oveq12d 7168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
44	42, 43	eqtr4d 2859	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) = (((ℕ × {(1 / 𝑀)})‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑘))‘𝑥)))
45	9, 11, 18, 20, 23, 28, 37, 44	climsub 14984	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ⇝ ((1 / 𝑀) − 0))
46	14	subid1d 10980	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑀) − 0) = (1 / 𝑀))
47	45, 46	breqtrd 5084	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘))) ⇝ (1 / 𝑀))
48	16	mptex 6980	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) ∈ V
49	48	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) ∈ V)
50	1	nnrecred 11682	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
51	50	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
52		nnre 11639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
53	52	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
54		nnne0 11665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
55	54	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ≠ 0)
56	53, 55	rereccld 11461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
57	51, 56	resubcld 11062	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) ∈ ℝ)
58	42, 57	eqeltrd 2913	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) ∈ ℝ)
59		eqidd 2822	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)))
60		fvoveq1 7173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (⌊‘(𝑘 / 𝑀)) = (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
61		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝑘 = 𝑥)
62	60, 61	oveq12d 7168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
63	62	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
64		ovexd 7185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ∈ V)
65	59, 63, 32, 64	fvmptd 6769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
66	1	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
67	53, 66	nndivred 11685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ)
68		reflcl 13160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ∈ ℝ)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ∈ ℝ)
70	69, 53, 55	redivcld 11462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ∈ ℝ)
71	65, 70	eqeltrd 2913	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℝ)
72	67	recnd 10663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) ∈ ℂ)
73		1cnd 10630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
74		nncn 11640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
75	74	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
76	72, 73, 75, 55	divsubdird 11449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) − 1) / 𝑥) = (((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) − (1 / 𝑥)))
77	12	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
78	13	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑀 ≠ 0)
79	75, 77, 78	divrecd 11413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) = (𝑥 · (1 / 𝑀)))
80	79	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) = ((𝑥 · (1 / 𝑀)) / 𝑥))
81	27, 75, 55	divcan3d 11415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 · (1 / 𝑀)) / 𝑥) = (1 / 𝑀))
82	80, 81	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) = (1 / 𝑀))
83	82	oveq1d 7165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) / 𝑥) − (1 / 𝑥)) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
84	76, 83	eqtrd 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) − 1) / 𝑥) = ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)))
85		1red 10636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
86	67, 85	resubcld 11062	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) − 1) ∈ ℝ)
87		nnrp 12394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ+)
88	87	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ+)
89	69, 85	readdcld 10664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1) ∈ ℝ)
90		flle 13163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀))
91	67, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀))
92		flflp1 13171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑥 / 𝑀) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀) ↔ (𝑥 / 𝑀) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1)))
93	67, 67, 92	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ≤ (𝑥 / 𝑀) ↔ (𝑥 / 𝑀) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1)))
94	91, 93	mpbid 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑀) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1))
95	67, 89, 85, 94	ltsub1dd 11246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) − 1) < (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1) − 1))
96	69	recnd 10663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑥 / 𝑀)) ∈ ℂ)
97	96, 73	pncand 10992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) + 1) − 1) = (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
98	95, 97	breqtrd 5084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑀) − 1) < (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
99	86, 69, 88, 98	ltdiv1dd 12482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 / 𝑀) − 1) / 𝑥) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
100	84, 99	eqbrtrrd 5082	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) < ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
101	57, 70, 100	ltled 10782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑥)) ≤ ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
102		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → 𝑘 = 𝑥)
103	102	fvoveq1d 7172	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (⌊‘(𝑘 / 𝑀)) = (⌊‘(𝑥 / 𝑀)))
104	103, 102	oveq12d 7168	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
105	59, 104, 32, 64	fvmptd 6769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥))
106	101, 42, 105	3brtr4d 5090	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑀) − (1 / 𝑘)))‘𝑥) ≤ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥))
107	69, 67, 88, 91	lediv1dd 12483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ≤ ((𝑥 / 𝑀) / 𝑥))
108	107, 82	breqtrd 5084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) ≤ (1 / 𝑀))
109	105, 108	eqbrtrd 5080	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ≤ (1 / 𝑀))
110	9, 11, 47, 49, 58, 71, 106, 109	climsqz 14991	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
111	16	mptex 6980	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V
112	111	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V)
113	3	zred 12081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
114		1red 10636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
115	113, 114	resubcld 11062	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
116	115, 1	nndivred 11685	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 1) / 𝑀) ∈ ℝ)
117	116	flcld 13162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℤ)
118	117	zcnd 12082	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℂ)
119		divcnv 15202	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)) ⇝ 0)
120	118, 119	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)) ⇝ 0)
121	71	recnd 10663	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
122		eqidd 2822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘)))
123		oveq2 7158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥))
124	123	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘) = ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥))
125		ovexd 7185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥) ∈ V)
126	122, 124, 32, 125	fvmptd 6769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) = ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥))
127	118	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) ∈ ℂ)
128	127, 75, 55	divcld 11410	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥) ∈ ℂ)
129	126, 128	eqeltrd 2913	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
130	96, 127, 75, 55	divsubdird 11449	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) − ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥)))
131		eqidd 2822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
132	60	oveq1d 7165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) = ((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))))
133	132, 61	oveq12d 7168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥))
134	133	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥))
135		ovexd 7185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥) ∈ V)
136	131, 134, 32, 135	fvmptd 6769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))‘𝑥) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑥))
137	65, 126	oveq12d 7168	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥)) = (((⌊‘(𝑥 / 𝑀)) / 𝑥) − ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑥)))
138	130, 136, 137	3eqtr4d 2866	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))‘𝑥) = (((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥) − ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀)) / 𝑘))‘𝑥)))
139	9, 11, 110, 112, 120, 121, 129, 138	climsub 14984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ ((1 / 𝑀) − 0))
140	139, 46	breqtrd 5084	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
141		uzssz 12258	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ⊆ ℤ
142		resmpt 5899	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ⊆ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
143	141, 142	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))
144	143	breq1i 5065	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
145	3, 11	zsubcld 12086	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
146		zex 11984	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ V
147	146	mptex 6980	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V
148		climres 14926	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V) → (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
149	145, 147, 148	sylancl 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘(𝐽 − 1))) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
150	144, 149	syl5bbr 287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
151	9	reseq2i 5844	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘1))
152	151	breq1i 5065	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ (1 / 𝑀))
153		nnssz 11996	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
154		resmpt 5899	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)))
155	153, 154	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘))
156	155	breq1i 5065	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ ℕ) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
157		climres 14926	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ∈ V) → (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
158	10, 147, 157	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
159	152, 156, 158	3bitr3i 303	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
160	150, 159	syl6bbr 291	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀)))
161	140, 160	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ (((⌊‘(𝑘 / 𝑀)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑀))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))
162	8, 161	eqbrtrd 5080	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) ↦ ((♯‘(( ∥ “ {𝑀}) ∩ (𝐽...𝑘))) / 𝑘)) ⇝ (1 / 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  Vcvv 3494   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  {csn 4560   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138   × cxp 5547   ↾ cres 5551   “ cima 5552  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   < clt 10669   ≤ cle 10670   − cmin 10864   / cdiv 11291  ℕcn 11632  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237  ℝ⁺crp 12383  ...cfz 12886  ⌊cfl 13154  ♯chash 13684   ⇝ cli 14835   ∥ cdvds 15601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-er 8283  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-dvds 15602

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