Theorem resscdrg 25310

Description: The real numbers are a subset of any complete subfield in the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
resscdrg.1	⊢ 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
resscdrg	⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → ℝ ⊆ 𝐾)

Proof of Theorem resscdrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtop 24722	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
3		ax-resscn 11186	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4		qssre 12975	. . . . 5 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
5		unicntop 24724	. . . . . 6 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
6		tgioo4 24744	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
7	5, 6	restcls 23119	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ ℚ ⊆ ℝ) → ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ∩ ℝ))
8	2, 3, 4, 7	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ∩ ℝ)
9		qdensere 24708	. . . 4 ⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ
10	8, 9	eqtr3i 2760	. . 3 ⊢ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ∩ ℝ) = ℝ
11		sseqin2 4198	. . 3 ⊢ (ℝ ⊆ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ↔ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ∩ ℝ) = ℝ)
12	10, 11	mpbir 231	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ)
13		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → 𝐹 ∈ CMetSp)
14		cncms 25307	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ CMetSp
15		cnfldbas 21319	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
16	15	subrgss 20532	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
17	16	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → 𝐾 ⊆ ℂ)
18		resscdrg.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾)
19	18, 15, 1	cmsss 25303	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ CMetSp ∧ 𝐾 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ CMetSp ↔ 𝐾 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))))
20	14, 17, 19	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → (𝐹 ∈ CMetSp ↔ 𝐾 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))))
21	13, 20	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → 𝐾 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
22	18	eleq1i 2825	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing ↔ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ DivRing)
23		qsssubdrg 21394	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ DivRing) → ℚ ⊆ 𝐾)
24	22, 23	sylan2b 594	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → ℚ ⊆ 𝐾)
25	24	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → ℚ ⊆ 𝐾)
26	5	clsss2 23010	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ℚ ⊆ 𝐾) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ⊆ 𝐾)
27	21, 25, 26	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ⊆ 𝐾)
28	12, 27	sstrid 3970	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → ℝ ⊆ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  ran crn 5655  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  ℚcq 12964  (,)cioo 13362   ↾_s cress 17251  TopOpenctopn 17435  topGenctg 17451  SubRingcsubrg 20529  DivRingcdr 20689  ℂ_fldccnfld 21315  Topctop 22831  Clsdccld 22954  clsccl 22956  CMetSpccms 25284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-dvr 20361  df-subrg 20530  df-drng 20691  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-haus 23253  df-cmp 23325  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-fil 23784  df-flim 23877  df-fcls 23879  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-cncf 24822  df-cfil 25207  df-cmet 25209  df-cms 25287

This theorem is referenced by:  cncdrg  25311  hlress  25320