Theorem resscdrg 25568

Description: The real numbers are a subset of any complete subfield in the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
resscdrg.1	⊢ 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
resscdrg	⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → ℝ ⊆ 𝐾)

Proof of Theorem resscdrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtop 24991	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
3		ax-resscn 11172	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4		qssre 12999	. . . . 5 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
5		unicntop 24993	. . . . . 6 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
6		tgioo4 25013	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
7	5, 6	restcls 23388	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ ℚ ⊆ ℝ) → ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ∩ ℝ))
8	2, 3, 4, 7	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ∩ ℝ)
9		qdensere 24977	. . . 4 ⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ
10	8, 9	eqtr3i 2790	. . 3 ⊢ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ∩ ℝ) = ℝ
11		sseqin2 4176	. . 3 ⊢ (ℝ ⊆ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ↔ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ∩ ℝ) = ℝ)
12	10, 11	mpbir 234	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ)
13		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → 𝐹 ∈ CMetSp)
14		cncms 25565	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ CMetSp
15		cnfldbas 21576	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
16	15	subrgss 20721	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
17	16	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → 𝐾 ⊆ ℂ)
18		resscdrg.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾)
19	18, 15, 1	cmsss 25561	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ CMetSp ∧ 𝐾 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ CMetSp ↔ 𝐾 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))))
20	14, 17, 19	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → (𝐹 ∈ CMetSp ↔ 𝐾 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))))
21	13, 20	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → 𝐾 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
22	18	eleq1i 2856	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing ↔ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ DivRing)
23		qsssubdrg 21626	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ DivRing) → ℚ ⊆ 𝐾)
24	22, 23	sylan2b 606	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → ℚ ⊆ 𝐾)
25	24	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → ℚ ⊆ 𝐾)
26	5	clsss2 23279	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ℚ ⊆ 𝐾) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ⊆ 𝐾)
27	21, 25, 26	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ⊆ 𝐾)
28	12, 27	sstrid 3949	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → ℝ ⊆ 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  ℝcr 11114  ℚcq 12988  (,)cioo 13388   ↾_s cress 17312  TopOpenctopn 17496  topGenctg 17512  SubRingcsubrg 20718  DivRingcdr 20877  ℂ_fldccnfld 21572  Topctop 23100  Clsdccld 23223  clsccl 23225  CMetSpccms 25542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-seq 14056  df-exp 14116  df-hash 14385  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-hom 17356  df-cco 17357  df-rest 17497  df-topn 17498  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-topgen 17518  df-pt 17519  df-prds 17522  df-xrs 17578  df-qtop 17583  df-imas 17584  df-xps 17586  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-mulg 19178  df-subg 19233  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-cring 20362  df-oppr 20465  df-dvdsr 20485  df-unit 20486  df-invr 20516  df-dvr 20529  df-subrg 20719  df-drng 20879  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-fbas 21569  df-fg 21570  df-cnfld 21573  df-top 23101  df-topon 23118  df-topsp 23140  df-bases 23153  df-cld 23226  df-ntr 23227  df-cls 23228  df-nei 23305  df-cn 23434  df-cnp 23435  df-haus 23522  df-cmp 23594  df-tx 23770  df-hmeo 23963  df-fil 24054  df-flim 24147  df-fcls 24149  df-xms 24528  df-ms 24529  df-tms 24530  df-cncf 25088  df-cfil 25465  df-cmet 25467  df-cms 25545

This theorem is used by:  cncdrg  25569  hlress  25578