Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resscdrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resscdrg 23575
 Description: The real numbers are a subset of any complete subfield in the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resscdrg.1 𝐹 = (ℂflds 𝐾)
Assertion
Ref Expression
resscdrg ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → ℝ ⊆ 𝐾)

Proof of Theorem resscdrg
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtop 23006 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
3 ax-resscn 10331 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
4 qssre 12111 . . . . 5 ℚ ⊆ ℝ
51cnfldtopon 23005 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
65toponunii 21139 . . . . . 6 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
71tgioo2 23025 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
86, 7restcls 21404 . . . . 5 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ ℚ ⊆ ℝ) → ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ∩ ℝ))
92, 3, 4, 8mp3an 1534 . . . 4 ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ∩ ℝ)
10 qdensere 22992 . . . 4 ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ
119, 10eqtr3i 2804 . . 3 (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ∩ ℝ) = ℝ
12 sseqin2 4040 . . 3 (ℝ ⊆ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ↔ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ∩ ℝ) = ℝ)
1311, 12mpbir 223 . 2 ℝ ⊆ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ)
14 simp3 1129 . . . 4 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → 𝐹 ∈ CMetSp)
15 cncms 23572 . . . . 5 fld ∈ CMetSp
16 cnfldbas 20157 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
1716subrgss 19184 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
18173ad2ant1 1124 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → 𝐾 ⊆ ℂ)
19 resscdrg.1 . . . . . 6 𝐹 = (ℂflds 𝐾)
2019, 16, 1cmsss 23568 . . . . 5 ((ℂfld ∈ CMetSp ∧ 𝐾 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ CMetSp ↔ 𝐾 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))))
2115, 18, 20sylancr 581 . . . 4 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → (𝐹 ∈ CMetSp ↔ 𝐾 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))))
2214, 21mpbid 224 . . 3 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → 𝐾 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
2319eleq1i 2850 . . . . 5 (𝐹 ∈ DivRing ↔ (ℂflds 𝐾) ∈ DivRing)
24 qsssubdrg 20212 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂflds 𝐾) ∈ DivRing) → ℚ ⊆ 𝐾)
2523, 24sylan2b 587 . . . 4 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → ℚ ⊆ 𝐾)
26253adant3 1123 . . 3 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → ℚ ⊆ 𝐾)
276clsss2 21295 . . 3 ((𝐾 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ℚ ⊆ 𝐾) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ⊆ 𝐾)
2822, 26, 27syl2anc 579 . 2 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ⊆ 𝐾)
2913, 28syl5ss 3832 1 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → ℝ ⊆ 𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3791   ⊆ wss 3792  ran crn 5358  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ℂcc 10272  ℝcr 10273  ℚcq 12100  (,)cioo 12492   ↾s cress 16267  TopOpenctopn 16479  topGenctg 16495  DivRingcdr 19150  SubRingcsubrg 19179  ℂfldccnfld 20153  Topctop 21116  Clsdccld 21239  clsccl 21241  CMetSpccms 23549 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-tpos 7636  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-q 12101  df-rp 12143  df-xneg 12262  df-xadd 12263  df-xmul 12264  df-ioo 12496  df-ico 12498  df-icc 12499  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-seq 13125  df-exp 13184  df-hash 13442  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-starv 16364  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-ip 16367  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-unif 16372  df-hom 16373  df-cco 16374  df-rest 16480  df-topn 16481  df-0g 16499  df-gsum 16500  df-topgen 16501  df-pt 16502  df-prds 16505  df-xrs 16559  df-qtop 16564  df-imas 16565  df-xps 16567  df-mre 16643  df-mrc 16644  df-acs 16646  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-submnd 17733  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-mulg 17939  df-subg 17986  df-cntz 18144  df-cmn 18592  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947  df-cring 18948  df-oppr 19021  df-dvdsr 19039  df-unit 19040  df-invr 19070  df-dvr 19081  df-drng 19152  df-subrg 19181  df-psmet 20145  df-xmet 20146  df-met 20147  df-bl 20148  df-mopn 20149  df-fbas 20150  df-fg 20151  df-cnfld 20154  df-top 21117  df-topon 21134  df-topsp 21156  df-bases 21169  df-cld 21242  df-ntr 21243  df-cls 21244  df-nei 21321  df-cn 21450  df-cnp 21451  df-haus 21538  df-cmp 21610  df-tx 21785  df-hmeo 21978  df-fil 22069  df-flim 22162  df-fcls 22164  df-xms 22544  df-ms 22545  df-tms 22546  df-cncf 23100  df-cfil 23472  df-cmet 23474  df-cms 23552 This theorem is referenced by:  cncdrg  23576  hlress  23585
 Copyright terms: Public domain W3C validator