MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resscdrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resscdrg 25330
Description: The real numbers are a subset of any complete subfield in the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resscdrg.1 𝐹 = (ℂflds 𝐾)
Assertion
Ref Expression
resscdrg ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → ℝ ⊆ 𝐾)

Proof of Theorem resscdrg
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtop 24744 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
3 ax-resscn 11197 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
4 qssre 12976 . . . . 5 ℚ ⊆ ℝ
5 unicntop 24746 . . . . . 6 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
61tgioo2 24763 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
75, 6restcls 23129 . . . . 5 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ ℚ ⊆ ℝ) → ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ∩ ℝ))
82, 3, 4, 7mp3an 1457 . . . 4 ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ∩ ℝ)
9 qdensere 24730 . . . 4 ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ
108, 9eqtr3i 2755 . . 3 (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ∩ ℝ) = ℝ
11 sseqin2 4213 . . 3 (ℝ ⊆ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ↔ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ∩ ℝ) = ℝ)
1210, 11mpbir 230 . 2 ℝ ⊆ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ)
13 simp3 1135 . . . 4 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → 𝐹 ∈ CMetSp)
14 cncms 25327 . . . . 5 fld ∈ CMetSp
15 cnfldbas 21300 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
1615subrgss 20523 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
17163ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → 𝐾 ⊆ ℂ)
18 resscdrg.1 . . . . . 6 𝐹 = (ℂflds 𝐾)
1918, 15, 1cmsss 25323 . . . . 5 ((ℂfld ∈ CMetSp ∧ 𝐾 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ CMetSp ↔ 𝐾 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))))
2014, 17, 19sylancr 585 . . . 4 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → (𝐹 ∈ CMetSp ↔ 𝐾 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))))
2113, 20mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → 𝐾 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
2218eleq1i 2816 . . . . 5 (𝐹 ∈ DivRing ↔ (ℂflds 𝐾) ∈ DivRing)
23 qsssubdrg 21376 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂflds 𝐾) ∈ DivRing) → ℚ ⊆ 𝐾)
2422, 23sylan2b 592 . . . 4 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → ℚ ⊆ 𝐾)
25243adant3 1129 . . 3 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → ℚ ⊆ 𝐾)
265clsss2 23020 . . 3 ((𝐾 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ℚ ⊆ 𝐾) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ⊆ 𝐾)
2721, 25, 26syl2anc 582 . 2 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ⊆ 𝐾)
2812, 27sstrid 3988 1 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → ℝ ⊆ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3943  wss 3944  ran crn 5679  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  cq 12965  (,)cioo 13359  s cress 17212  TopOpenctopn 17406  topGenctg 17422  SubRingcsubrg 20518  DivRingcdr 20636  fldccnfld 21296  Topctop 22839  Clsdccld 22964  clsccl 22966  CMetSpccms 25304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-subrg 20520  df-drng 20638  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-cmp 23335  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-flim 23887  df-fcls 23889  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-cncf 24842  df-cfil 25227  df-cmet 25229  df-cms 25307
This theorem is referenced by:  cncdrg  25331  hlress  25340
  Copyright terms: Public domain W3C validator