Theorem cofcutr1d 28338

Description: If 𝑋 is the cut of 𝐴 and 𝐵, then 𝐴 is cofinal with (L‘𝑋). First half of theorem 2.9 of [Gonshor] p. 12. (Contributed by Scott Fenton, 23-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cofcutrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
cofcutrd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cofcutr1d	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (L‘𝑋)∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem cofcutr1d

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cofcutrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		cofcutrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))
3		cofcutr 28337	. . 3 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ (L‘𝑋)∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (R‘𝑋)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑤 ≤s 𝑧))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (L‘𝑋)∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (R‘𝑋)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑤 ≤s 𝑧))
5	4	simpld 500	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (L‘𝑋)∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ≤s cles 28128   <<s cslts 28170   |s ccuts 28172  Lcleft 28238  Rcright 28239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-1o 8501  df-2o 8502  df-no 28027  df-lts 28028  df-bday 28029  df-les 28129  df-slts 28171  df-cuts 28173  df-made 28240  df-old 28241  df-left 28243  df-right 28244

This theorem is used by:  addsuniflem  28414  negsunif  28468  mulsuniflem  28562  elreno2  28908