Theorem cofcutr1d 28193

Description: If 𝑋 is the cut of 𝐴 and 𝐵, then 𝐴 is cofinal with ( L ‘𝑋). First half of theorem 2.9 of [Gonshor] p. 12. (Contributed by Scott Fenton, 23-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cofcutrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
cofcutrd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cofcutr1d	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ( L ‘𝑋)∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem cofcutr1d

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cofcutrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		cofcutrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))
3		cofcutr 28192	. . 3 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ ( L ‘𝑋)∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑤 ≤s 𝑧))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ( L ‘𝑋)∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑤 ≤s 𝑧))
5	4	simpld 500	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ( L ‘𝑋)∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ≤s cles 27983   <<s cslts 28025   |s ccuts 28027   L cleft 28093   R cright 28094

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-1o 8458  df-2o 8459  df-no 27882  df-lts 27883  df-bday 27884  df-les 27984  df-slts 28026  df-cuts 28028  df-made 28095  df-old 28096  df-left 28098  df-right 28099

This theorem is used by:  addsuniflem  28269  negsunif  28323  mulsuniflem  28417  elreno2  28763