Theorem cofcutr1d 27839

Description: If 𝑋 is the cut of 𝐴 and 𝐵, then 𝐴 is cofinal with ( L ‘𝑋). First half of theorem 2.9 of [Gonshor] p. 12. (Contributed by Scott Fenton, 23-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cofcutrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
cofcutrd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cofcutr1d	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ( L ‘𝑋)∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cofcutr1d

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cofcutrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
2		cofcutrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))
3		cofcutr 27838	. . 3 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ ( L ‘𝑋)∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑤 ≤s 𝑧))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ( L ‘𝑋)∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑤 ≤s 𝑧))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ( L ‘𝑋)∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤s 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   ≤s csle 27662   <<s csslt 27698   |s cscut 27700   L cleft 27759   R cright 27760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-1o 8436  df-2o 8437  df-no 27560  df-slt 27561  df-bday 27562  df-sle 27663  df-sslt 27699  df-scut 27701  df-made 27761  df-old 27762  df-left 27764  df-right 27765

This theorem is referenced by:  addsuniflem  27914  negsunif  27967  mulsuniflem  28058