Theorem cofcutrtime1d 28191

Description: If 𝑋 is a timely cut of 𝐴 and 𝐵, then ( L ‘𝑋) is cofinal with 𝐴. (Contributed by Scott Fenton, 23-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cofcutrtimed.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)))
cofcutrtimed.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
cofcutrtimed.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cofcutrtime1d	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem cofcutrtime1d

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cofcutrtimed.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)))
2		cofcutrtimed.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
3		cofcutrtimed.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))
4		cofcutrtime 28190	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ ( R ‘𝑋)𝑤 ≤s 𝑧))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ ( R ‘𝑋)𝑤 ≤s 𝑧))
6	5	simpld 500	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑦)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   bday cbday 27876   ≤s cles 27978   <<s cslts 28020   |s ccuts 28022   O cold 28086   L cleft 28088   R cright 28089

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-1o 8458  df-2o 8459  df-no 27877  df-lts 27878  df-bday 27879  df-les 27979  df-slts 28021  df-cuts 28023  df-made 28090  df-old 28091  df-left 28093  df-right 28094

This theorem is used by: (None)