Theorem cofcutrtime1d 27941

Description: If 𝑋 is a timely cut of 𝐴 and 𝐵, then ( L ‘𝑋) is cofinal with 𝐴. (Contributed by Scott Fenton, 23-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cofcutrtimed.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)))
cofcutrtimed.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
cofcutrtimed.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cofcutrtime1d	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem cofcutrtime1d

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cofcutrtimed.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)))
2		cofcutrtimed.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)
3		cofcutrtimed.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵))
4		cofcutrtime 27940	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑋 = (𝐴 |s 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ ( R ‘𝑋)𝑤 ≤s 𝑧))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑤 ∈ ( R ‘𝑋)𝑤 ≤s 𝑧))
6	5	simpld 494	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ( L ‘𝑋)𝑥 ≤s 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   bday cbday 27626   ≤s cles 27729   <<s cslts 27770   |s ccuts 27772   O cold 27836   L cleft 27838   R cright 27839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-1o 8409  df-2o 8410  df-no 27627  df-lts 27628  df-bday 27629  df-les 27730  df-slts 27771  df-cuts 27773  df-made 27840  df-old 27841  df-left 27843  df-right 27844

This theorem is referenced by: (None)