Theorem dalawlem14 39849

Description: Lemma for dalaw 39851. Combine dalawlem10 39845 and dalawlem13 39848. (Contributed by NM, 6-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalawlem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalawlem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalawlem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dalawlem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalawlem2.o	⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
dalawlem14	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))

Proof of Theorem dalawlem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ianor 983	. . . 4 ⊢ (¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))) ↔ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∨ ¬ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))))
2		dalawlem.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		dalawlem.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		dalawlem.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5		dalawlem.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		dalawlem2.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
7	2, 3, 4, 5, 6	dalawlem13 39848	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))
8	7	3expib 1122	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) → (((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))
9	8	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈) → (((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))))
10	2, 3, 4, 5	dalawlem10 39845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))
11	10	3expib 1122	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) → (((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))
12	11	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (¬ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈) → (((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))))
13	9, 12	jaod 859	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∨ ¬ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))) → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈) → (((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))))
14	1, 13	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))) → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈) → (((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))))
15	14	3imp 1110	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) → (((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))
16	15	3impib 1116	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  lecple 17276  joincjn 18321  meetcmee 18322  Atomscatm 39227  HLchlt 39314  LPlanesclpl 39457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-proset 18304  df-poset 18323  df-plt 18338  df-lub 18354  df-glb 18355  df-join 18356  df-meet 18357  df-p0 18433  df-lat 18440  df-clat 18507  df-oposet 39140  df-ol 39142  df-oml 39143  df-covers 39230  df-ats 39231  df-atl 39262  df-cvlat 39286  df-hlat 39315  df-llines 39463  df-lplanes 39464  df-psubsp 39468  df-pmap 39469  df-padd 39761

This theorem is referenced by:  dalawlem15  39850  dalaw  39851