Theorem dalawlem13 39058

Description: Lemma for dalaw 39061. Special case to eliminate the requirement ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 in dalawlem1 39046. (Contributed by NM, 6-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalawlem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalawlem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalawlem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dalawlem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalawlem2.o	⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
dalawlem13	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))

Proof of Theorem dalawlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1202	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp12 1203	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂)
3		simp22 1206	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
4		simp23 1207	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
5		simp21 1205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
6		dalawlem.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		dalawlem.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		dalawlem.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9		dalawlem2.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
10	6, 7, 8, 9	islpln2a 38723	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂 ↔ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))
11	1, 3, 4, 5, 10	syl13anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂 ↔ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))
12		df-ne 2940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ≠ 𝑅 ↔ ¬ 𝑄 = 𝑅)
13	12	anbi1i 623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ (¬ 𝑄 = 𝑅 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
14		pm4.56 986	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑄 = 𝑅 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ ¬ (𝑄 = 𝑅 ∨ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
15	13, 14	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ ¬ (𝑄 = 𝑅 ∨ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
16	11, 15	bitr2di 288	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (¬ (𝑄 = 𝑅 ∨ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂))
17	7, 8	hlatjrot 38547	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
18	1, 3, 4, 5, 17	syl13anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
19	18	eleq1d 2817	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂))
20	16, 19	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (¬ (𝑄 = 𝑅 ∨ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂))
21	20	con1bid 355	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ↔ (𝑄 = 𝑅 ∨ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))
22	2, 21	mpbid 231	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑄 = 𝑅 ∨ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
23		simp13 1204	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈))
24		simp2 1136	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴))
25		simp3 1137	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴))
26		dalawlem.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
27	6, 7, 26, 8	dalawlem12 39057	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))
28	27	3expib 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 = 𝑅 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) → (((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))
29	28	3exp 1118	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑄 = 𝑅 → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈) → (((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))))
30	6, 7, 26, 8	dalawlem11 39056	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))
31	30	3expib 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) → (((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))
32	31	3exp 1118	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈) → (((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))))
33	29, 32	jaod 856	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑄 = 𝑅 ∨ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈) → (((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))))
34	33	3imp 1110	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 = 𝑅 ∨ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) → (((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))
35	34	3impib 1115	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 = 𝑅 ∨ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))
36	1, 22, 23, 24, 25, 35	syl311anc 1383	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  lecple 17209  joincjn 18269  meetcmee 18270  Atomscatm 38437  HLchlt 38524  LPlanesclpl 38667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-lat 18390  df-clat 18457  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971

This theorem is referenced by:  dalawlem14  39059