Theorem dalaw 36496

Description: Desargues's law, derived from Desargues's theorem dath 36346 and with no conditions on the atoms. If triples ⟨𝑃, 𝑄, 𝑅⟩ and ⟨𝑆, 𝑇, 𝑈⟩ are centrally perspective, i.e. ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈), then they are axially perspective. Theorem 13.3 of [Crawley] p. 110. (Contributed by NM, 7-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalaw.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalaw.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalaw.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dalaw.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
dalaw	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))

Proof of Theorem dalaw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalaw.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		dalaw.j	. . . . . . . . 9 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		dalaw.m	. . . . . . . . 9 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		dalaw.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		eqid 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (LPlanes‘𝐾) = (LPlanes‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	dalawlem14 36494	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))
7	6	3expib 1102	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) → (((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))
8	7	3exp 1099	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))) → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈) → (((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))))
9	1, 2, 3, 4, 5	dalawlem15 36495	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))
10	9	3expib 1102	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) → (((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))
11	10	3exp 1099	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆))) → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈) → (((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))))
12		simp11 1183	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))) ∧ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
13		simp2 1117	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))) ∧ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴))
14		simp3 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))) ∧ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴))
15		simp2ll 1220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))) ∧ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾))
16	15	3ad2ant1 1113	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))) ∧ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾))
17		simp2rl 1222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))) ∧ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) → ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (LPlanes‘𝐾))
18	17	3ad2ant1 1113	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))) ∧ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (LPlanes‘𝐾))
19		simp2lr 1221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))) ∧ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) → (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)))
20	19	3ad2ant1 1113	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))) ∧ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)))
21		simp2rr 1223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))) ∧ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) → (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)))
22	21	3ad2ant1 1113	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))) ∧ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)))
23		simp13 1185	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))) ∧ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈))
24	1, 2, 3, 4, 5	dalawlem1 36481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (LPlanes‘𝐾)) ∧ ((¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))
25	12, 13, 14, 16, 18, 20, 22, 23, 24	syl323anc 1380	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))) ∧ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))
26	25	3expib 1102	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))) ∧ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)) → (((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))
27	26	3exp 1099	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))) ∧ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈) ∈ (LPlanes‘𝐾) ∧ (¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)))) → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈) → (((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))))
28	8, 11, 27	ecased 1016	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈) → (((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆))))))
29	28	exp4a 424	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈) → ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))))
30	29	com34 91	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈) → ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))))
31	30	com24 95	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))))
32	31	3imp 1091	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≤ (𝑅 ∨ 𝑈) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ 𝑈)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (𝑈 ∨ 𝑆)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4925  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  lecple 16426  joincjn 17424  meetcmee 17425  Atomscatm 35873  HLchlt 35960  LPlanesclpl 36102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-proset 17408  df-poset 17426  df-plt 17438  df-lub 17454  df-glb 17455  df-join 17456  df-meet 17457  df-p0 17519  df-p1 17520  df-lat 17526  df-clat 17588  df-oposet 35786  df-ol 35788  df-oml 35789  df-covers 35876  df-ats 35877  df-atl 35908  df-cvlat 35932  df-hlat 35961  df-llines 36108  df-lplanes 36109  df-lvols 36110  df-psubsp 36113  df-pmap 36114  df-padd 36406

This theorem is referenced by:  cdleme14  36883  cdleme20f  36924  cdlemg9  37244  cdlemg12c  37255  cdlemk6  37447  cdlemk6u  37472