Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalawlem15 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dalawlem15 39269
Description: Lemma for dalaw 39270. Swap variable triples 𝑃𝑄𝑅 and π‘†π‘‡π‘ˆ in dalawlem14 39268, to obtain the elimination of the remaining conditions in dalawlem1 39255. (Contributed by NM, 6-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalawlem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalawlem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalawlem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dalawlem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalawlem2.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
dalawlem15 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))))
Proof of Theorem dalawlem15
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp12 1201 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))))
3 simp21 1203 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
4 simp31 1206 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
5 dalawlem.j . . . . . . . . . . 11 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
6 dalawlem.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
75, 6hlatjcom 38751 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ 𝑃))
81, 3, 4, 7syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ 𝑃))
9 simp22 1204 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
10 simp32 1207 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
115, 6hlatjcom 38751 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑇) = (𝑇 ∨ 𝑄))
121, 9, 10, 11syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑇) = (𝑇 ∨ 𝑄))
138, 12oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) = ((𝑆 ∨ 𝑃) ∧ (𝑇 ∨ 𝑄)))
1413breq1d 5151 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ↔ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∧ (𝑇 ∨ 𝑄)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))
1514notbid 318 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ↔ Β¬ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∧ (𝑇 ∨ 𝑄)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))
1613breq1d 5151 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ↔ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∧ (𝑇 ∨ 𝑄)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)))
1716notbid 318 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ↔ Β¬ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∧ (𝑇 ∨ 𝑄)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)))
1813breq1d 5151 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ↔ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∧ (𝑇 ∨ 𝑄)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)))
1918notbid 318 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ↔ Β¬ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∧ (𝑇 ∨ 𝑄)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)))
2015, 17, 193anbi123d 1432 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ↔ (Β¬ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∧ (𝑇 ∨ 𝑄)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∧ (𝑇 ∨ 𝑄)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∧ (𝑇 ∨ 𝑄)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))))
2120anbi2d 628 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ↔ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∧ (𝑇 ∨ 𝑄)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∧ (𝑇 ∨ 𝑄)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∧ (𝑇 ∨ 𝑄)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)))))
222, 21mtbid 324 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∧ (𝑇 ∨ 𝑄)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∧ (𝑇 ∨ 𝑄)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∧ (𝑇 ∨ 𝑄)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))))
23 simp13 1202 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))
245, 6hlatjcom 38751 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ 𝑆))
251, 4, 3, 24syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑆 ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ 𝑆))
265, 6hlatjcom 38751 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑇 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑇))
271, 10, 9, 26syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑇 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑇))
2825, 27oveq12d 7423 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∧ (𝑇 ∨ 𝑄)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)))
29 simp33 1208 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
30 simp23 1205 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
315, 6hlatjcom 38751 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (π‘ˆ ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ π‘ˆ))
321, 29, 30, 31syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ˆ ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ π‘ˆ))
3323, 28, 323brtr4d 5173 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∧ (𝑇 ∨ 𝑄)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑅))
34 simp3 1135 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴))
35 simp2 1134 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴))
36 dalawlem.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
37 dalawlem.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
38 dalawlem2.o . . . 4 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
3936, 5, 37, 6, 38dalawlem14 39268 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∧ (𝑇 ∨ 𝑄)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∧ (𝑇 ∨ 𝑄)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∧ (𝑇 ∨ 𝑄)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑃) ∧ (𝑇 ∨ 𝑄)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑅)) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ (((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∨ ((π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ (𝑅 ∨ 𝑃))))
401, 22, 33, 34, 35, 39syl311anc 1381 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ (((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∨ ((π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ (𝑅 ∨ 𝑃))))
411hllatd 38747 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
42 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
4342, 5, 6hlatjcl 38750 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
441, 3, 9, 43syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4542, 5, 6hlatjcl 38750 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
461, 4, 10, 45syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4742, 37latmcom 18428 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
4841, 44, 46, 47syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
4942, 5, 6hlatjcl 38750 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
501, 9, 30, 49syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5142, 5, 6hlatjcl 38750 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
521, 10, 29, 51syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5342, 37latmcom 18428 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅)))
5441, 50, 52, 53syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅)))
5542, 5, 6hlatjcl 38750 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
561, 30, 3, 55syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5742, 5, 6hlatjcl 38750 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
581, 29, 4, 57syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5942, 37latmcom 18428 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) = ((π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ (𝑅 ∨ 𝑃)))
6041, 56, 58, 59syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) = ((π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ (𝑅 ∨ 𝑃)))
6154, 60oveq12d 7423 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) = (((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∨ ((π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ (𝑅 ∨ 𝑃))))
6240, 48, 613brtr4d 5173 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ Β¬ (((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂 ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Latclat 18396  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LPlanesclpl 38876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180
This theorem is referenced by:  dalaw  39270
  Copyright terms: Public domain W3C validator