Theorem dmatbas 49183

Description: The set of all 𝑁 x 𝑁 diagonal matrices over (the ring) 𝑅 is the base set of the algebra of 𝑁 x 𝑁 diagonal matrices over (the ring) 𝑅. (Contributed by AV, 8-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmatbas.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatbas.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
dmatbas.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dmatbas	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝐷 = (Base‘(𝑁 DMatALT 𝑅)))

Proof of Theorem dmatbas

Dummy variables 𝑚 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmatbas.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		dmatbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		dmatbas.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		dmatbas.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
5	1, 2, 3, 4	dmatval 22649	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝐷 = {𝑚 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )})
6		elex 3476	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑁 DMatALT 𝑅) = (𝑁 DMatALT 𝑅)
8	1, 2, 3, 7	dmatALTbas 49181	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑁 DMatALT 𝑅)) = {𝑚 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )})
9	6, 8	sylan2 604	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Base‘(𝑁 DMatALT 𝑅)) = {𝑚 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )})
10	5, 9	eqtr4d 2801	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝐷 = (Base‘(𝑁 DMatALT 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  {crab 3416  Vcvv 3455  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  Basecbs 17264  0_gc0g 17487   Mat cmat 22564   DMat cdmat 22645   DMatALT cdmatalt 49176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-1cn 11153  ax-addcl 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12229  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-dmat 22647  df-dmatalt 49178

This theorem is referenced by: (None)