Theorem dmatALTbasel 48388

Description: An element of the base set of the algebra of 𝑁 x 𝑁 diagonal matrices over a ring 𝑅, i.e. an 𝑁 x 𝑁 diagonal matrix over the ring 𝑅. (Contributed by AV, 8-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmatALTval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatALTval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatALTval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
dmatALTval.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 DMatALT 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dmatALTbasel	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐷) ↔ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   0 (𝑖,𝑗)

Proof of Theorem dmatALTbasel

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmatALTval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		dmatALTval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		dmatALTval.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		dmatALTval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 DMatALT 𝑅)
5	1, 2, 3, 4	dmatALTbas 48387	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐷) = {𝑚 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )})
6	5	eleq2d 2814	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐷) ↔ 𝑀 ∈ {𝑚 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )}))
7		oveq 7359	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑖𝑚𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
8	7	eqeq1d 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑖𝑚𝑗) = 0 ↔ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ))
9	8	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 ) ↔ (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
10	9	2ralbidv 3193	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 ) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
11	10	elrab 3650	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )} ↔ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
12	6, 11	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐷) ↔ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  {crab 3396  Vcvv 3438  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  Basecbs 17138  0_gc0g 17361   Mat cmat 22310   DMatALT cdmatalt 48382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-1cn 11086  ax-addcl 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12147  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-dmatalt 48384

This theorem is referenced by: (None)