Theorem dmatALTbasel 48391

Description: An element of the base set of the algebra of 𝑁 x 𝑁 diagonal matrices over a ring 𝑅, i.e. an 𝑁 x 𝑁 diagonal matrix over the ring 𝑅. (Contributed by AV, 8-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmatALTval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatALTval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatALTval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
dmatALTval.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 DMatALT 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dmatALTbasel	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐷) ↔ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   0 (𝑖,𝑗)

Proof of Theorem dmatALTbasel

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmatALTval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		dmatALTval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		dmatALTval.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		dmatALTval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 DMatALT 𝑅)
5	1, 2, 3, 4	dmatALTbas 48390	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝐷) = {𝑚 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )})
6	5	eleq2d 2814	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐷) ↔ 𝑀 ∈ {𝑚 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )}))
7		oveq 7393	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑖𝑚𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
8	7	eqeq1d 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑖𝑚𝑗) = 0 ↔ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ))
9	8	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 ) ↔ (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
10	9	2ralbidv 3201	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 ) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
11	10	elrab 3659	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )} ↔ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )))
12	6, 11	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑀 ∈ (Base‘𝐷) ↔ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  {crab 3405  Vcvv 3447  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  Basecbs 17179  0_gc0g 17402   Mat cmat 22294   DMatALT cdmatalt 48385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-1cn 11126  ax-addcl 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-nn 12187  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-dmatalt 48387

This theorem is referenced by: (None)