Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvsinax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvsinax 43461
Description: Derivative exercise: the derivative with respect to y of sin(Ay), given a constant 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
dvsinax (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
Distinct variable group:   𝑦,𝐴

Proof of Theorem dvsinax
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sinf 15842 . . . . . 6 sin:ℂ⟶ℂ
21a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → sin:ℂ⟶ℂ)
3 mulcl 10964 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
43fmpttd 6998 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)):ℂ⟶ℂ)
5 fcompt 7014 . . . . 5 ((sin:ℂ⟶ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)):ℂ⟶ℂ) → (sin ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤))))
62, 4, 5syl2anc 584 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (sin ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤))))
7 eqidd 2740 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
8 oveq2 7292 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑤 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑤))
98adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑤))
10 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → 𝑤 ∈ ℂ)
11 mulcl 10964 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑤) ∈ ℂ)
127, 9, 10, 11fvmptd 6891 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤) = (𝐴 · 𝑤))
1312fveq2d 6787 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤)) = (sin‘(𝐴 · 𝑤)))
1413mpteq2dva 5175 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑤))))
15 oveq2 7292 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
1615fveq2d 6787 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (sin‘(𝐴 · 𝑤)) = (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
1716cbvmptv 5188 . . . . 5 (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑤))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
1817a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑤))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
196, 14, 183eqtrrd 2784 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) = (sin ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))))
2019oveq2d 7300 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (ℂ D (sin ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))))
21 cnelprrecn 10973 . . . 4 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2221a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
23 dvsin 25155 . . . . . 6 (ℂ D sin) = cos
2423dmeqi 5816 . . . . 5 dom (ℂ D sin) = dom cos
25 cosf 15843 . . . . . 6 cos:ℂ⟶ℂ
2625fdmi 6621 . . . . 5 dom cos = ℂ
2724, 26eqtri 2767 . . . 4 dom (ℂ D sin) = ℂ
2827a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D sin) = ℂ)
29 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑤𝑦 = 𝑤)
3029cbvmptv 5188 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)
3130oveq2i 7295 . . . . . . . . 9 ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤))
3231a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)))
33 cnex 10961 . . . . . . . . . . 11 ℂ ∈ V
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ V)
35 snex 5355 . . . . . . . . . . 11 {𝐴} ∈ V
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → {𝐴} ∈ V)
3734, 36xpexd 7610 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) ∈ V)
3833mptex 7108 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ V
3938a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ V)
40 offval3 7834 . . . . . . . . 9 (((ℂ × {𝐴}) ∈ V ∧ (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ V) → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) = (𝑦 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))))
4137, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) = (𝑦 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))))
42 fconst6g 6672 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
4342fdmd 6620 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ × {𝐴}) = ℂ)
44 eqid 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)
45 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℂ → 𝑤 ∈ ℂ)
4644, 45fmpti 6995 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤):ℂ⟶ℂ
4746fdmi 6621 . . . . . . . . . . . . 13 dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) = ℂ
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) = ℂ)
4943, 48ineq12d 4148 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) = (ℂ ∩ ℂ))
50 inidm 4153 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
5150a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ ∩ ℂ) = ℂ)
5249, 51eqtrd 2779 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) = ℂ)
5352mpteq1d 5170 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))))
54 fvconst2g 7086 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘𝑦) = 𝐴)
55 eqidd 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤))
56 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤 = 𝑦)
57 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
5855, 56, 57, 57fvmptd 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦) = 𝑦)
5958adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦) = 𝑦)
6054, 59oveq12d 7302 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦)) = (𝐴 · 𝑦))
6160mpteq2dva 5175 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
6253, 61eqtrd 2779 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
6332, 41, 623eqtrrd 2784 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)))
6463oveq2d 7300 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (ℂ D ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))))
65 eqid 2739 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)
6665, 57fmpti 6995 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦):ℂ⟶ℂ
6766a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦):ℂ⟶ℂ)
68 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
6921a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
7069dvmptid 25130 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
7170mptru 1546 . . . . . . . . . 10 (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)
7271dmeqi 5816 . . . . . . . . 9 dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)
73 ax-1cn 10938 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
7473rgenw 3077 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ ℂ 1 ∈ ℂ
75 eqid 2739 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)
7675fmpt 6993 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦 ∈ ℂ 1 ∈ ℂ ↔ (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1):ℂ⟶ℂ)
7774, 76mpbi 229 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1):ℂ⟶ℂ
7877fdmi 6621 . . . . . . . . 9 dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1) = ℂ
7972, 78eqtri 2767 . . . . . . . 8 dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = ℂ
8079a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = ℂ)
8122, 67, 68, 80dvcmulf 25118 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))))
8264, 81eqtrd 2779 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))))
8382dmeqd 5817 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = dom ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))))
84 ovexd 7319 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) ∈ V)
85 offval3 7834 . . . . . 6 (((ℂ × {𝐴}) ∈ V ∧ (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) ∈ V) → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))))
8637, 84, 85syl2anc 584 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))))
8786dmeqd 5817 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → dom ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = dom (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))))
8843, 80ineq12d 4148 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = (ℂ ∩ ℂ))
8988, 51eqtrd 2779 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = ℂ)
9089mpteq1d 5170 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))))
9190dmeqd 5817 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))) = dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))))
92 eqid 2739 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤)))
93 fvconst2g 7086 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘𝑤) = 𝐴)
9471fveq1i 6784 . . . . . . . . . . 11 ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)‘𝑤)
9594a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℂ → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)‘𝑤))
96 eqidd 2740 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
97 eqidd 2740 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = 𝑤) → 1 = 1)
9873a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
9996, 97, 45, 98fvmptd 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)‘𝑤) = 1)
10095, 99eqtrd 2779 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℂ → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤) = 1)
101100adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤) = 1)
10293, 101oveq12d 7302 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤)) = (𝐴 · 1))
103 mulcl 10964 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 · 1) ∈ ℂ)
10473, 103mpan2 688 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) ∈ ℂ)
105104adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝐴 · 1) ∈ ℂ)
106102, 105eqeltrd 2840 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤)) ∈ ℂ)
10792, 106dmmptd 6587 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))) = ℂ)
10891, 107eqtrd 2779 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))) = ℂ)
10983, 87, 1083eqtrd 2783 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = ℂ)
11022, 22, 2, 4, 28, 109dvcof 25121 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (sin ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))))
11123a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D sin) = cos)
112 coscn 25613 . . . . . . 7 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
113112a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
114111, 113eqeltrd 2840 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D sin) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
11533mptex 7108 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ V
116115a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ V)
117 coexg 7785 . . . . 5 (((ℂ D sin) ∈ (ℂ–cn→ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ V) → ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∈ V)
118114, 116, 117syl2anc 584 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∈ V)
119 ovexd 7319 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∈ V)
120 offval3 7834 . . . 4 ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∈ V ∧ (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∈ V) → (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = (𝑤 ∈ (dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))))
121118, 119, 120syl2anc 584 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = (𝑤 ∈ (dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))))
1224frnd 6617 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ran (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ⊆ ℂ)
123122, 28sseqtrrd 3963 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ran (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ⊆ dom (ℂ D sin))
124 dmcosseq 5885 . . . . . . . 8 (ran (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ⊆ dom (ℂ D sin) → dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
125123, 124syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
126 ovex 7317 . . . . . . . . 9 (𝐴 · 𝑦) ∈ V
127 eqid 2739 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))
128126, 127dmmpti 6586 . . . . . . . 8 dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) = ℂ
129128a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) = ℂ)
130125, 129eqtrd 2779 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = ℂ)
131130, 109ineq12d 4148 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = (ℂ ∩ ℂ))
132131, 51eqtrd 2779 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = ℂ)
133132mpteq1d 5170 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ (dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))))
13411coscld 15849 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 · 𝑤)) ∈ ℂ)
135 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
136134, 135mulcomd 11005 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((cos‘(𝐴 · 𝑤)) · 𝐴) = (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑤))))
137136mpteq2dva 5175 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((cos‘(𝐴 · 𝑤)) · 𝐴)) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑤)))))
13823coeq1i 5771 . . . . . . . . 9 ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (cos ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
139138a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (cos ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))))
140139fveq1d 6785 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) = ((cos ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))
1414ffund 6613 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → Fun (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
142141adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → Fun (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
14310, 128eleqtrrdi 2851 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → 𝑤 ∈ dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
144 fvco 6875 . . . . . . . 8 ((Fun (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) → ((cos ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) = (cos‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤)))
145142, 143, 144syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((cos ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) = (cos‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤)))
14612fveq2d 6787 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤)) = (cos‘(𝐴 · 𝑤)))
147140, 145, 1463eqtrd 2783 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) = (cos‘(𝐴 · 𝑤)))
148 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
149 0cnd 10977 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
15022, 68dvmptc 25131 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 0))
151 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
15273a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
15371a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
15422, 148, 149, 150, 151, 152, 153dvmptmul 25134 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴))))
155151mul02d 11182 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 · 𝑦) = 0)
156148mulid2d 11002 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
157155, 156oveq12d 7302 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴)) = (0 + 𝐴))
158148addid2d 11185 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
159157, 158eqtrd 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴)) = 𝐴)
160159mpteq2dva 5175 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
161154, 160eqtrd 2779 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
162161adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
163 eqidd 2740 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 = 𝑤) → 𝐴 = 𝐴)
164162, 163, 10, 135fvmptd 6891 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) = 𝐴)
165147, 164oveq12d 7302 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤)) = ((cos‘(𝐴 · 𝑤)) · 𝐴))
166165mpteq2dva 5175 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((cos‘(𝐴 · 𝑤)) · 𝐴)))
1678fveq2d 6787 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑤 → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝑤)))
168167oveq2d 7300 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑤 → (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) = (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑤))))
169168cbvmptv 5188 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑤))))
170169a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑤)))))
171137, 166, 1703eqtr4d 2789 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
172121, 133, 1713eqtrd 2783 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
17320, 110, 1723eqtrd 2783 1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wtru 1540  wcel 2107  wral 3065  Vcvv 3433  cin 3887  wss 3888  {csn 4562  {cpr 4564  cmpt 5158   × cxp 5588  dom cdm 5590  ran crn 5591  ccom 5594  Fun wfun 6431  wf 6433  cfv 6437  (class class class)co 7284  f cof 7540  cc 10878  cr 10879  0cc0 10880  1c1 10881   + caddc 10883   · cmul 10885  sincsin 15782  cosccos 15783  cnccncf 24048   D cdv 25036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-inf2 9408  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958  ax-addf 10959  ax-mulf 10960
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-isom 6446  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-of 7542  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-supp 7987  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-2o 8307  df-er 8507  df-map 8626  df-pm 8627  df-ixp 8695  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-fsupp 9138  df-fi 9179  df-sup 9210  df-inf 9211  df-oi 9278  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-n0 12243  df-z 12329  df-dec 12447  df-uz 12592  df-q 12698  df-rp 12740  df-xneg 12857  df-xadd 12858  df-xmul 12859  df-ico 13094  df-icc 13095  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-fl 13521  df-seq 13731  df-exp 13792  df-fac 13997  df-bc 14026  df-hash 14054  df-shft 14787  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-limsup 15189  df-clim 15206  df-rlim 15207  df-sum 15407  df-ef 15786  df-sin 15788  df-cos 15789  df-struct 16857  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-plusg 16984  df-mulr 16985  df-starv 16986  df-sca 16987  df-vsca 16988  df-ip 16989  df-tset 16990  df-ple 16991  df-ds 16993  df-unif 16994  df-hom 16995  df-cco 16996  df-rest 17142  df-topn 17143  df-0g 17161  df-gsum 17162  df-topgen 17163  df-pt 17164  df-prds 17167  df-xrs 17222  df-qtop 17227  df-imas 17228  df-xps 17230  df-mre 17304  df-mrc 17305  df-acs 17307  df-mgm 18335  df-sgrp 18384  df-mnd 18395  df-submnd 18440  df-mulg 18710  df-cntz 18932  df-cmn 19397  df-psmet 20598  df-xmet 20599  df-met 20600  df-bl 20601  df-mopn 20602  df-fbas 20603  df-fg 20604  df-cnfld 20607  df-top 22052  df-topon 22069  df-topsp 22091  df-bases 22105  df-cld 22179  df-ntr 22180  df-cls 22181  df-nei 22258  df-lp 22296  df-perf 22297  df-cn 22387  df-cnp 22388  df-haus 22475  df-tx 22722  df-hmeo 22915  df-fil 23006  df-fm 23098  df-flim 23099  df-flf 23100  df-xms 23482  df-ms 23483  df-tms 23484  df-cncf 24050  df-limc 25039  df-dv 25040
This theorem is referenced by:  dvasinbx  43468  itgcoscmulx  43517  dirkeritg  43650  dirkercncflem2  43652
  Copyright terms: Public domain W3C validator