Theorem dvsinax 46359

Description: Derivative exercise: the derivative with respect to y of sin(Ay), given a constant 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dvsinax	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))

Distinct variable group:   𝑦,𝐴

Proof of Theorem dvsinax

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sinf 16082	. . . . . 6 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → sin:ℂ⟶ℂ)
3		mulcl 11113	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
4	3	fmpttd 7061	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)):ℂ⟶ℂ)
5		fcompt 7080	. . . . 5 ⊢ ((sin:ℂ⟶ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)):ℂ⟶ℂ) → (sin ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤))))
6	2, 4, 5	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤))))
7		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
8		oveq2 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑤))
9	8	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑤))
10		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → 𝑤 ∈ ℂ)
11		mulcl 11113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑤) ∈ ℂ)
12	7, 9, 10, 11	fvmptd 6949	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤) = (𝐴 · 𝑤))
13	12	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤)) = (sin‘(𝐴 · 𝑤)))
14	13	mpteq2dva 5179	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑤))))
15		oveq2 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
16	15	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (sin‘(𝐴 · 𝑤)) = (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
17	16	cbvmptv 5190	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑤))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑤))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
19	6, 14, 18	3eqtrrd 2777	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) = (sin ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))))
20	19	oveq2d 7376	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (ℂ D (sin ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))))
21		cnelprrecn 11122	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
23		dvsin 25959	. . . . . 6 ⊢ (ℂ D sin) = cos
24	23	dmeqi 5853	. . . . 5 ⊢ dom (ℂ D sin) = dom cos
25		cosf 16083	. . . . . 6 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
26	25	fdmi 6673	. . . . 5 ⊢ dom cos = ℂ
27	24, 26	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ dom (ℂ D sin) = ℂ
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D sin) = ℂ)
29		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → 𝑦 = 𝑤)
30	29	cbvmptv 5190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)
31	30	oveq2i 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤))
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)))
33		cnex 11110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ V)
35		snex 5376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐴} ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → {𝐴} ∈ V)
37	34, 36	xpexd 7698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) ∈ V)
38	33	mptex 7171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ V)
40		offval3 7928	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℂ × {𝐴}) ∈ V ∧ (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ V) → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) = (𝑦 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))))
41	37, 39, 40	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) = (𝑦 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))))
42		fconst6g 6723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
43	42	fdmd 6672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ × {𝐴}) = ℂ)
44		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)
45		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → 𝑤 ∈ ℂ)
46	44, 45	fmpti 7058	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤):ℂ⟶ℂ
47	46	fdmi 6673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) = ℂ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) = ℂ)
49	43, 48	ineq12d 4162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) = (ℂ ∩ ℂ))
50		inidm 4168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ ∩ ℂ) = ℂ)
52	49, 51	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) = ℂ)
53	52	mpteq1d 5176	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))))
54		fvconst2g 7150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘𝑦) = 𝐴)
55		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤))
56		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤 = 𝑦)
57		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
58	55, 56, 57, 57	fvmptd 6949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦) = 𝑦)
59	58	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦) = 𝑦)
60	54, 59	oveq12d 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦)) = (𝐴 · 𝑦))
61	60	mpteq2dva 5179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
62	53, 61	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
63	32, 41, 62	3eqtrrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)))
64	63	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (ℂ D ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))))
65		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)
66	65, 57	fmpti 7058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦):ℂ⟶ℂ
67	66	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦):ℂ⟶ℂ)
68		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
69	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
70	69	dvmptid 25934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
71	70	mptru 1549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)
72	71	dmeqi 5853	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)
73		ax-1cn 11087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
74	73	rgenw 3056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℂ 1 ∈ ℂ
75		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)
76	75	fmpt 7056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℂ 1 ∈ ℂ ↔ (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1):ℂ⟶ℂ)
77	74, 76	mpbi 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1):ℂ⟶ℂ
78	77	fdmi 6673	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1) = ℂ
79	72, 78	eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = ℂ
80	79	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = ℂ)
81	22, 67, 68, 80	dvcmulf 25922	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))))
82	64, 81	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))))
83	82	dmeqd 5854	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = dom ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))))
84		ovexd 7395	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) ∈ V)
85		offval3 7928	. . . . . 6 ⊢ (((ℂ × {𝐴}) ∈ V ∧ (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) ∈ V) → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))))
86	37, 84, 85	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))))
87	86	dmeqd 5854	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = dom (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))))
88	43, 80	ineq12d 4162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = (ℂ ∩ ℂ))
89	88, 51	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = ℂ)
90	89	mpteq1d 5176	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))))
91	90	dmeqd 5854	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))) = dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))))
92		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤)))
93		fvconst2g 7150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘𝑤) = 𝐴)
94	71	fveq1i 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)‘𝑤)
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)‘𝑤))
96		eqidd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
97		eqidd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = 𝑤) → 1 = 1)
98	73	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
99	96, 97, 45, 98	fvmptd 6949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)‘𝑤) = 1)
100	95, 99	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤) = 1)
101	100	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤) = 1)
102	93, 101	oveq12d 7378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤)) = (𝐴 · 1))
103		mulcl 11113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 · 1) ∈ ℂ)
104	73, 103	mpan2 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) ∈ ℂ)
105	104	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝐴 · 1) ∈ ℂ)
106	102, 105	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤)) ∈ ℂ)
107	92, 106	dmmptd 6637	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))) = ℂ)
108	91, 107	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))) = ℂ)
109	83, 87, 108	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = ℂ)
110	22, 22, 2, 4, 28, 109	dvcof 25925	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (sin ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))))
111	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D sin) = cos)
112		coscn 26423	. . . . . . 7 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
113	112	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
114	111, 113	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D sin) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
115	33	mptex 7171	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ V
116	115	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ V)
117		coexg 7873	. . . . 5 ⊢ (((ℂ D sin) ∈ (ℂ–cn→ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ V) → ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∈ V)
118	114, 116, 117	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∈ V)
119		ovexd 7395	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∈ V)
120		offval3 7928	. . . 4 ⊢ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∈ V ∧ (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∈ V) → (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = (𝑤 ∈ (dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))))
121	118, 119, 120	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = (𝑤 ∈ (dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))))
122	4	frnd 6670	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ran (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ⊆ ℂ)
123	122, 28	sseqtrrd 3960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ran (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ⊆ dom (ℂ D sin))
124		dmcosseq 5927	. . . . . . . 8 ⊢ (ran (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ⊆ dom (ℂ D sin) → dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
125	123, 124	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
126		ovex 7393	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 · 𝑦) ∈ V
127		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))
128	126, 127	dmmpti 6636	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) = ℂ
129	128	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) = ℂ)
130	125, 129	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = ℂ)
131	130, 109	ineq12d 4162	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = (ℂ ∩ ℂ))
132	131, 51	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = ℂ)
133	132	mpteq1d 5176	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ (dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))))
134	11	coscld 16089	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 · 𝑤)) ∈ ℂ)
135		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
136	134, 135	mulcomd 11157	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((cos‘(𝐴 · 𝑤)) · 𝐴) = (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑤))))
137	136	mpteq2dva 5179	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((cos‘(𝐴 · 𝑤)) · 𝐴)) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑤)))))
138	23	coeq1i 5808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (cos ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
139	138	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (cos ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))))
140	139	fveq1d 6836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) = ((cos ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))
141	4	ffund 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → Fun (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
142	141	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → Fun (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
143	10, 128	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → 𝑤 ∈ dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
144		fvco 6932	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) → ((cos ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) = (cos‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤)))
145	142, 143, 144	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((cos ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) = (cos‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤)))
146	12	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤)) = (cos‘(𝐴 · 𝑤)))
147	140, 145, 146	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) = (cos‘(𝐴 · 𝑤)))
148		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
149		0cnd 11128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
150	22, 68	dvmptc 25935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 0))
151		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
152	73	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
153	71	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
154	22, 148, 149, 150, 151, 152, 153	dvmptmul 25938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴))))
155	151	mul02d 11335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 · 𝑦) = 0)
156	148	mullidd 11154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
157	155, 156	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴)) = (0 + 𝐴))
158	148	addlidd 11338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
159	157, 158	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴)) = 𝐴)
160	159	mpteq2dva 5179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
161	154, 160	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
162	161	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
163		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 = 𝑤) → 𝐴 = 𝐴)
164	162, 163, 10, 135	fvmptd 6949	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) = 𝐴)
165	147, 164	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤)) = ((cos‘(𝐴 · 𝑤)) · 𝐴))
166	165	mpteq2dva 5179	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((cos‘(𝐴 · 𝑤)) · 𝐴)))
167	8	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝑤)))
168	167	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) = (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑤))))
169	168	cbvmptv 5190	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑤))))
170	169	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑤)))))
171	137, 166, 170	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
172	121, 133, 171	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
173	20, 110, 172	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  {csn 4568  {cpr 4570   ↦ cmpt 5167   × cxp 5622  dom cdm 5624  ran crn 5625   ∘ ccom 5628  Fun wfun 6486  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  sincsin 16019  cosccos 16020  –cn→ccncf 24853   D cdv 25840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844

This theorem is referenced by:  dvasinbx  46366  itgcoscmulx  46415  dirkeritg  46548  dirkercncflem2  46550