Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvsinax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvsinax 44629
Description: Derivative exercise: the derivative with respect to y of sin(Ay), given a constant 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
dvsinax (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
Distinct variable group:   𝑦,𝐴

Proof of Theorem dvsinax
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sinf 16067 . . . . . 6 sin:β„‚βŸΆβ„‚
21a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ sin:β„‚βŸΆβ„‚)
3 mulcl 11194 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
43fmpttd 7115 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)):β„‚βŸΆβ„‚)
5 fcompt 7131 . . . . 5 ((sin:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)):β„‚βŸΆβ„‚) β†’ (sin ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))β€˜π‘€))))
62, 4, 5syl2anc 585 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sin ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))β€˜π‘€))))
7 eqidd 2734 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))
8 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑀 β†’ (𝐴 Β· 𝑦) = (𝐴 Β· 𝑀))
98adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) ∧ 𝑦 = 𝑀) β†’ (𝐴 Β· 𝑦) = (𝐴 Β· 𝑀))
10 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
11 mulcl 11194 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· 𝑀) ∈ β„‚)
127, 9, 10, 11fvmptd 7006 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))β€˜π‘€) = (𝐴 Β· 𝑀))
1312fveq2d 6896 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))β€˜π‘€)) = (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑀)))
1413mpteq2dva 5249 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))β€˜π‘€))) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑀))))
15 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝐴 Β· 𝑀) = (𝐴 Β· 𝑦))
1615fveq2d 6896 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑦 β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑀)) = (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))
1716cbvmptv 5262 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑀))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))
1817a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑀))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))))
196, 14, 183eqtrrd 2778 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) = (sin ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))))
2019oveq2d 7425 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (β„‚ D (sin ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))))
21 cnelprrecn 11203 . . . 4 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
2221a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
23 dvsin 25499 . . . . . 6 (β„‚ D sin) = cos
2423dmeqi 5905 . . . . 5 dom (β„‚ D sin) = dom cos
25 cosf 16068 . . . . . 6 cos:β„‚βŸΆβ„‚
2625fdmi 6730 . . . . 5 dom cos = β„‚
2724, 26eqtri 2761 . . . 4 dom (β„‚ D sin) = β„‚
2827a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (β„‚ D sin) = β„‚)
29 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑀 β†’ 𝑦 = 𝑀)
3029cbvmptv 5262 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)
3130oveq2i 7420 . . . . . . . . 9 ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)) = ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀))
3231a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)) = ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)))
33 cnex 11191 . . . . . . . . . . 11 β„‚ ∈ V
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ β„‚ ∈ V)
35 snex 5432 . . . . . . . . . . 11 {𝐴} ∈ V
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ {𝐴} ∈ V)
3734, 36xpexd 7738 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ V)
3833mptex 7225 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀) ∈ V
3938a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀) ∈ V)
40 offval3 7969 . . . . . . . . 9 (((β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ V ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀) ∈ V) β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)) = (𝑦 ∈ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)) ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘¦) Β· ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)β€˜π‘¦))))
4137, 39, 40syl2anc 585 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)) = (𝑦 ∈ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)) ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘¦) Β· ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)β€˜π‘¦))))
42 fconst6g 6781 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}):β„‚βŸΆβ„‚)
4342fdmd 6729 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (β„‚ Γ— {𝐴}) = β„‚)
44 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)
45 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
4644, 45fmpti 7112 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀):β„‚βŸΆβ„‚
4746fdmi 6730 . . . . . . . . . . . . 13 dom (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀) = β„‚
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀) = β„‚)
4943, 48ineq12d 4214 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)) = (β„‚ ∩ β„‚))
50 inidm 4219 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚ ∩ β„‚) = β„‚
5150a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ ∩ β„‚) = β„‚)
5249, 51eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)) = β„‚)
5352mpteq1d 5244 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)) ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘¦) Β· ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)β€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘¦) Β· ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)β€˜π‘¦))))
54 fvconst2g 7203 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘¦) = 𝐴)
55 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀))
56 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 = 𝑦) β†’ 𝑀 = 𝑦)
57 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
5855, 56, 57, 57fvmptd 7006 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)β€˜π‘¦) = 𝑦)
5958adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)β€˜π‘¦) = 𝑦)
6054, 59oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘¦) Β· ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)β€˜π‘¦)) = (𝐴 Β· 𝑦))
6160mpteq2dva 5249 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘¦) Β· ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)β€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))
6253, 61eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)) ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘¦) Β· ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)β€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))
6332, 41, 623eqtrrd 2778 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) = ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)))
6463oveq2d 7425 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = (β„‚ D ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))))
65 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)
6665, 57fmpti 7112 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦):β„‚βŸΆβ„‚
6766a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦):β„‚βŸΆβ„‚)
68 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6921a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊀ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
7069dvmptid 25474 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1))
7170mptru 1549 . . . . . . . . . 10 (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1)
7271dmeqi 5905 . . . . . . . . 9 dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)) = dom (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1)
73 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„‚
7473rgenw 3066 . . . . . . . . . . 11 βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ 1 ∈ β„‚
75 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1)
7675fmpt 7110 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ 1 ∈ β„‚ ↔ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1):β„‚βŸΆβ„‚)
7774, 76mpbi 229 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1):β„‚βŸΆβ„‚
7877fdmi 6730 . . . . . . . . 9 dom (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1) = β„‚
7972, 78eqtri 2761 . . . . . . . 8 dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)) = β„‚
8079a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)) = β„‚)
8122, 67, 68, 80dvcmulf 25462 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))) = ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))))
8264, 81eqtrd 2773 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))))
8382dmeqd 5906 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = dom ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))))
84 ovexd 7444 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)) ∈ V)
85 offval3 7969 . . . . . 6 (((β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ V ∧ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)) ∈ V) β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))) = (𝑀 ∈ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))) ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€))))
8637, 84, 85syl2anc 585 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))) = (𝑀 ∈ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))) ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€))))
8786dmeqd 5906 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))) = dom (𝑀 ∈ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))) ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€))))
8843, 80ineq12d 4214 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))) = (β„‚ ∩ β„‚))
8988, 51eqtrd 2773 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))) = β„‚)
9089mpteq1d 5244 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑀 ∈ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))) ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€))) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€))))
9190dmeqd 5906 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (𝑀 ∈ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))) ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€))) = dom (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€))))
92 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€))) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€)))
93 fvconst2g 7203 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) = 𝐴)
9471fveq1i 6893 . . . . . . . . . . 11 ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€) = ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1)β€˜π‘€)
9594a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€) = ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1)β€˜π‘€))
96 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1))
97 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 = 𝑀) β†’ 1 = 1)
9873a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ 1 ∈ β„‚)
9996, 97, 45, 98fvmptd 7006 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1)β€˜π‘€) = 1)
10095, 99eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€) = 1)
101100adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€) = 1)
10293, 101oveq12d 7427 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€)) = (𝐴 Β· 1))
103 mulcl 11194 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· 1) ∈ β„‚)
10473, 103mpan2 690 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 Β· 1) ∈ β„‚)
105104adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· 1) ∈ β„‚)
106102, 105eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€)) ∈ β„‚)
10792, 106dmmptd 6696 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€))) = β„‚)
10891, 107eqtrd 2773 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (𝑀 ∈ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))) ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€))) = β„‚)
10983, 87, 1083eqtrd 2777 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = β„‚)
11022, 22, 2, 4, 28, 109dvcof 25465 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (sin ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))) = (((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∘f Β· (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))))
11123a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D sin) = cos)
112 coscn 25957 . . . . . . 7 cos ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
113112a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ cos ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
114111, 113eqeltrd 2834 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D sin) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
11533mptex 7225 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) ∈ V
116115a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) ∈ V)
117 coexg 7920 . . . . 5 (((β„‚ D sin) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) ∈ V) β†’ ((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∈ V)
118114, 116, 117syl2anc 585 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∈ V)
119 ovexd 7444 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∈ V)
120 offval3 7969 . . . 4 ((((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∈ V ∧ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∈ V) β†’ (((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∘f Β· (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑀 ∈ (dom ((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))) ↦ ((((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€))))
121118, 119, 120syl2anc 585 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∘f Β· (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑀 ∈ (dom ((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))) ↦ ((((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€))))
1224frnd 6726 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ran (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) βŠ† β„‚)
123122, 28sseqtrrd 4024 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ran (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) βŠ† dom (β„‚ D sin))
124 dmcosseq 5973 . . . . . . . 8 (ran (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) βŠ† dom (β„‚ D sin) β†’ dom ((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = dom (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))
125123, 124syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom ((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = dom (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))
126 ovex 7442 . . . . . . . . 9 (𝐴 Β· 𝑦) ∈ V
127 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))
128126, 127dmmpti 6695 . . . . . . . 8 dom (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) = β„‚
129128a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) = β„‚)
130125, 129eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom ((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = β„‚)
131130, 109ineq12d 4214 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (dom ((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))) = (β„‚ ∩ β„‚))
132131, 51eqtrd 2773 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (dom ((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))) = β„‚)
133132mpteq1d 5244 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑀 ∈ (dom ((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))) ↦ ((((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€))) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ ((((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€))))
13411coscld 16074 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀)) ∈ β„‚)
135 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
136134, 135mulcomd 11235 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀)) Β· 𝐴) = (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀))))
137136mpteq2dva 5249 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ↦ ((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀)) Β· 𝐴)) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀)))))
13823coeq1i 5860 . . . . . . . . 9 ((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = (cos ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))
139138a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = (cos ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))))
140139fveq1d 6894 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€) = ((cos ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€))
1414ffund 6722 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ Fun (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))
142141adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ Fun (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))
14310, 128eleqtrrdi 2845 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ 𝑀 ∈ dom (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))
144 fvco 6990 . . . . . . . 8 ((Fun (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) ∧ 𝑀 ∈ dom (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) β†’ ((cos ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€) = (cosβ€˜((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))β€˜π‘€)))
145142, 143, 144syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ ((cos ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€) = (cosβ€˜((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))β€˜π‘€)))
14612fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))β€˜π‘€)) = (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀)))
147140, 145, 1463eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€) = (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀)))
148 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
149 0cnd 11207 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 0 ∈ β„‚)
15022, 68dvmptc 25475 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝐴)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 0))
151 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
15273a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 1 ∈ β„‚)
15371a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1))
15422, 148, 149, 150, 151, 152, 153dvmptmul 25478 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((0 Β· 𝑦) + (1 Β· 𝐴))))
155151mul02d 11412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (0 Β· 𝑦) = 0)
156148mullidd 11232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (1 Β· 𝐴) = 𝐴)
157155, 156oveq12d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((0 Β· 𝑦) + (1 Β· 𝐴)) = (0 + 𝐴))
158148addlidd 11415 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (0 + 𝐴) = 𝐴)
159157, 158eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((0 Β· 𝑦) + (1 Β· 𝐴)) = 𝐴)
160159mpteq2dva 5249 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((0 Β· 𝑦) + (1 Β· 𝐴))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝐴))
161154, 160eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝐴))
162161adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝐴))
163 eqidd 2734 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) ∧ 𝑦 = 𝑀) β†’ 𝐴 = 𝐴)
164162, 163, 10, 135fvmptd 7006 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€) = 𝐴)
165147, 164oveq12d 7427 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ ((((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€)) = ((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀)) Β· 𝐴))
166165mpteq2dva 5249 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ↦ ((((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€))) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ ((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀)) Β· 𝐴)))
1678fveq2d 6896 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑀 β†’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) = (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀)))
168167oveq2d 7425 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀 β†’ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) = (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀))))
169168cbvmptv 5262 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀))))
170169a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀)))))
171137, 166, 1703eqtr4d 2783 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ↦ ((((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
172121, 133, 1713eqtrd 2777 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∘f Β· (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
17320, 110, 1723eqtrd 2777 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  {csn 4629  {cpr 4631   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   ∘ ccom 5681  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  sincsin 16007  cosccos 16008  β€“cnβ†’ccncf 24392   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  dvasinbx  44636  itgcoscmulx  44685  dirkeritg  44818  dirkercncflem2  44820
  Copyright terms: Public domain W3C validator