Theorem dvsinax 45950

Description: Derivative exercise: the derivative with respect to y of sin(Ay), given a constant 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dvsinax	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))

Distinct variable group:   𝑦,𝐴

Proof of Theorem dvsinax

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sinf 16030	. . . . . 6 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → sin:ℂ⟶ℂ)
3		mulcl 11087	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
4	3	fmpttd 7048	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)):ℂ⟶ℂ)
5		fcompt 7066	. . . . 5 ⊢ ((sin:ℂ⟶ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)):ℂ⟶ℂ) → (sin ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤))))
6	2, 4, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤))))
7		eqidd 2732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
8		oveq2 7354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑤))
9	8	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑤))
10		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → 𝑤 ∈ ℂ)
11		mulcl 11087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑤) ∈ ℂ)
12	7, 9, 10, 11	fvmptd 6936	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤) = (𝐴 · 𝑤))
13	12	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤)) = (sin‘(𝐴 · 𝑤)))
14	13	mpteq2dva 5184	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑤))))
15		oveq2 7354	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
16	15	fveq2d 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (sin‘(𝐴 · 𝑤)) = (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
17	16	cbvmptv 5195	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑤))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑤))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
19	6, 14, 18	3eqtrrd 2771	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) = (sin ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))))
20	19	oveq2d 7362	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (ℂ D (sin ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))))
21		cnelprrecn 11096	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
23		dvsin 25911	. . . . . 6 ⊢ (ℂ D sin) = cos
24	23	dmeqi 5844	. . . . 5 ⊢ dom (ℂ D sin) = dom cos
25		cosf 16031	. . . . . 6 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
26	25	fdmi 6662	. . . . 5 ⊢ dom cos = ℂ
27	24, 26	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ dom (ℂ D sin) = ℂ
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D sin) = ℂ)
29		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → 𝑦 = 𝑤)
30	29	cbvmptv 5195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)
31	30	oveq2i 7357	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤))
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)))
33		cnex 11084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ V)
35		snex 5374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐴} ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → {𝐴} ∈ V)
37	34, 36	xpexd 7684	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) ∈ V)
38	33	mptex 7157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ V)
40		offval3 7914	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℂ × {𝐴}) ∈ V ∧ (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ V) → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) = (𝑦 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))))
41	37, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) = (𝑦 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))))
42		fconst6g 6712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
43	42	fdmd 6661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ × {𝐴}) = ℂ)
44		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)
45		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → 𝑤 ∈ ℂ)
46	44, 45	fmpti 7045	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤):ℂ⟶ℂ
47	46	fdmi 6662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) = ℂ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) = ℂ)
49	43, 48	ineq12d 4171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) = (ℂ ∩ ℂ))
50		inidm 4177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ ∩ ℂ) = ℂ)
52	49, 51	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) = ℂ)
53	52	mpteq1d 5181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))))
54		fvconst2g 7136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘𝑦) = 𝐴)
55		eqidd 2732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤))
56		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤 = 𝑦)
57		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
58	55, 56, 57, 57	fvmptd 6936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦) = 𝑦)
59	58	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦) = 𝑦)
60	54, 59	oveq12d 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦)) = (𝐴 · 𝑦))
61	60	mpteq2dva 5184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
62	53, 61	eqtrd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
63	32, 41, 62	3eqtrrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)))
64	63	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (ℂ D ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))))
65		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)
66	65, 57	fmpti 7045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦):ℂ⟶ℂ
67	66	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦):ℂ⟶ℂ)
68		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
69	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
70	69	dvmptid 25886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
71	70	mptru 1548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)
72	71	dmeqi 5844	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)
73		ax-1cn 11061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
74	73	rgenw 3051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℂ 1 ∈ ℂ
75		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)
76	75	fmpt 7043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℂ 1 ∈ ℂ ↔ (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1):ℂ⟶ℂ)
77	74, 76	mpbi 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1):ℂ⟶ℂ
78	77	fdmi 6662	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1) = ℂ
79	72, 78	eqtri 2754	. . . . . . . 8 ⊢ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = ℂ
80	79	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = ℂ)
81	22, 67, 68, 80	dvcmulf 25873	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))))
82	64, 81	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))))
83	82	dmeqd 5845	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = dom ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))))
84		ovexd 7381	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) ∈ V)
85		offval3 7914	. . . . . 6 ⊢ (((ℂ × {𝐴}) ∈ V ∧ (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) ∈ V) → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))))
86	37, 84, 85	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))))
87	86	dmeqd 5845	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = dom (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))))
88	43, 80	ineq12d 4171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = (ℂ ∩ ℂ))
89	88, 51	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = ℂ)
90	89	mpteq1d 5181	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))))
91	90	dmeqd 5845	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))) = dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))))
92		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤)))
93		fvconst2g 7136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘𝑤) = 𝐴)
94	71	fveq1i 6823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)‘𝑤)
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)‘𝑤))
96		eqidd 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
97		eqidd 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = 𝑤) → 1 = 1)
98	73	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
99	96, 97, 45, 98	fvmptd 6936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)‘𝑤) = 1)
100	95, 99	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤) = 1)
101	100	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤) = 1)
102	93, 101	oveq12d 7364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤)) = (𝐴 · 1))
103		mulcl 11087	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 · 1) ∈ ℂ)
104	73, 103	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) ∈ ℂ)
105	104	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝐴 · 1) ∈ ℂ)
106	102, 105	eqeltrd 2831	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤)) ∈ ℂ)
107	92, 106	dmmptd 6626	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))) = ℂ)
108	91, 107	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))) = ℂ)
109	83, 87, 108	3eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = ℂ)
110	22, 22, 2, 4, 28, 109	dvcof 25877	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (sin ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))))
111	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D sin) = cos)
112		coscn 26380	. . . . . . 7 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
113	112	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
114	111, 113	eqeltrd 2831	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D sin) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
115	33	mptex 7157	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ V
116	115	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ V)
117		coexg 7859	. . . . 5 ⊢ (((ℂ D sin) ∈ (ℂ–cn→ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ V) → ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∈ V)
118	114, 116, 117	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∈ V)
119		ovexd 7381	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∈ V)
120		offval3 7914	. . . 4 ⊢ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∈ V ∧ (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∈ V) → (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = (𝑤 ∈ (dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))))
121	118, 119, 120	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = (𝑤 ∈ (dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))))
122	4	frnd 6659	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ran (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ⊆ ℂ)
123	122, 28	sseqtrrd 3972	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ran (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ⊆ dom (ℂ D sin))
124		dmcosseq 5917	. . . . . . . 8 ⊢ (ran (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ⊆ dom (ℂ D sin) → dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
125	123, 124	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
126		ovex 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 · 𝑦) ∈ V
127		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))
128	126, 127	dmmpti 6625	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) = ℂ
129	128	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) = ℂ)
130	125, 129	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = ℂ)
131	130, 109	ineq12d 4171	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = (ℂ ∩ ℂ))
132	131, 51	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = ℂ)
133	132	mpteq1d 5181	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ (dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))))
134	11	coscld 16037	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 · 𝑤)) ∈ ℂ)
135		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
136	134, 135	mulcomd 11130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((cos‘(𝐴 · 𝑤)) · 𝐴) = (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑤))))
137	136	mpteq2dva 5184	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((cos‘(𝐴 · 𝑤)) · 𝐴)) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑤)))))
138	23	coeq1i 5799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (cos ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
139	138	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (cos ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))))
140	139	fveq1d 6824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) = ((cos ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))
141	4	ffund 6655	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → Fun (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
142	141	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → Fun (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
143	10, 128	eleqtrrdi 2842	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → 𝑤 ∈ dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
144		fvco 6920	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) → ((cos ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) = (cos‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤)))
145	142, 143, 144	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((cos ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) = (cos‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤)))
146	12	fveq2d 6826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤)) = (cos‘(𝐴 · 𝑤)))
147	140, 145, 146	3eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) = (cos‘(𝐴 · 𝑤)))
148		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
149		0cnd 11102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
150	22, 68	dvmptc 25887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 0))
151		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
152	73	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
153	71	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
154	22, 148, 149, 150, 151, 152, 153	dvmptmul 25890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴))))
155	151	mul02d 11308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 · 𝑦) = 0)
156	148	mullidd 11127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
157	155, 156	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴)) = (0 + 𝐴))
158	148	addlidd 11311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
159	157, 158	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴)) = 𝐴)
160	159	mpteq2dva 5184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
161	154, 160	eqtrd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
162	161	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
163		eqidd 2732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 = 𝑤) → 𝐴 = 𝐴)
164	162, 163, 10, 135	fvmptd 6936	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) = 𝐴)
165	147, 164	oveq12d 7364	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤)) = ((cos‘(𝐴 · 𝑤)) · 𝐴))
166	165	mpteq2dva 5184	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((cos‘(𝐴 · 𝑤)) · 𝐴)))
167	8	fveq2d 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝑤)))
168	167	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) = (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑤))))
169	168	cbvmptv 5195	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑤))))
170	169	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑤)))))
171	137, 166, 170	3eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
172	121, 133, 171	3eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
173	20, 110, 172	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  {csn 4576  {cpr 4578   ↦ cmpt 5172   × cxp 5614  dom cdm 5616  ran crn 5617   ∘ ccom 5620  Fun wfun 6475  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∘_f cof 7608  ℂcc 11001  ℝcr 11002  0cc0 11003  1c1 11004   + caddc 11006   · cmul 11008  sincsin 15967  cosccos 15968  –cn→ccncf 24794   D cdv 25789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-ico 13248  df-icc 13249  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-seq 13906  df-exp 13966  df-fac 14178  df-bc 14207  df-hash 14235  df-shft 14971  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-limsup 15375  df-clim 15392  df-rlim 15393  df-sum 15591  df-ef 15971  df-sin 15973  df-cos 15974  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-rest 17323  df-topn 17324  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-topgen 17344  df-pt 17345  df-prds 17348  df-xrs 17403  df-qtop 17408  df-imas 17409  df-xps 17411  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-mulg 18978  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-fbas 21286  df-fg 21287  df-cnfld 21290  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-cld 22932  df-ntr 22933  df-cls 22934  df-nei 23011  df-lp 23049  df-perf 23050  df-cn 23140  df-cnp 23141  df-haus 23228  df-tx 23475  df-hmeo 23668  df-fil 23759  df-fm 23851  df-flim 23852  df-flf 23853  df-xms 24233  df-ms 24234  df-tms 24235  df-cncf 24796  df-limc 25792  df-dv 25793

This theorem is referenced by:  dvasinbx  45957  itgcoscmulx  46006  dirkeritg  46139  dirkercncflem2  46141