Theorem dvsinax 45895

Description: Derivative exercise: the derivative with respect to y of sin(Ay), given a constant 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dvsinax	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))

Distinct variable group:   𝑦,𝐴

Proof of Theorem dvsinax

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sinf 16051	. . . . . 6 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → sin:ℂ⟶ℂ)
3		mulcl 11112	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
4	3	fmpttd 7053	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)):ℂ⟶ℂ)
5		fcompt 7071	. . . . 5 ⊢ ((sin:ℂ⟶ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)):ℂ⟶ℂ) → (sin ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤))))
6	2, 4, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤))))
7		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
8		oveq2 7361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑤))
9	8	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 = 𝑤) → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑤))
10		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → 𝑤 ∈ ℂ)
11		mulcl 11112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑤) ∈ ℂ)
12	7, 9, 10, 11	fvmptd 6941	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤) = (𝐴 · 𝑤))
13	12	fveq2d 6830	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (sin‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤)) = (sin‘(𝐴 · 𝑤)))
14	13	mpteq2dva 5188	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑤))))
15		oveq2 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
16	15	fveq2d 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (sin‘(𝐴 · 𝑤)) = (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
17	16	cbvmptv 5199	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑤))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑤))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))))
19	6, 14, 18	3eqtrrd 2769	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦))) = (sin ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))))
20	19	oveq2d 7369	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (ℂ D (sin ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))))
21		cnelprrecn 11121	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
23		dvsin 25902	. . . . . 6 ⊢ (ℂ D sin) = cos
24	23	dmeqi 5851	. . . . 5 ⊢ dom (ℂ D sin) = dom cos
25		cosf 16052	. . . . . 6 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
26	25	fdmi 6667	. . . . 5 ⊢ dom cos = ℂ
27	24, 26	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ dom (ℂ D sin) = ℂ
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D sin) = ℂ)
29		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → 𝑦 = 𝑤)
30	29	cbvmptv 5199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)
31	30	oveq2i 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤))
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)))
33		cnex 11109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ∈ V)
35		snex 5378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐴} ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → {𝐴} ∈ V)
37	34, 36	xpexd 7691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}) ∈ V)
38	33	mptex 7163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ V)
40		offval3 7924	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℂ × {𝐴}) ∈ V ∧ (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) ∈ V) → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) = (𝑦 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))))
41	37, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) = (𝑦 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))))
42		fconst6g 6717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
43	42	fdmd 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ × {𝐴}) = ℂ)
44		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)
45		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → 𝑤 ∈ ℂ)
46	44, 45	fmpti 7050	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤):ℂ⟶ℂ
47	46	fdmi 6667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) = ℂ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) = ℂ)
49	43, 48	ineq12d 4174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) = (ℂ ∩ ℂ))
50		inidm 4180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ ∩ ℂ) = ℂ)
52	49, 51	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) = ℂ)
53	52	mpteq1d 5185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))))
54		fvconst2g 7142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘𝑦) = 𝐴)
55		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤))
56		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 = 𝑦) → 𝑤 = 𝑦)
57		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
58	55, 56, 57, 57	fvmptd 6941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦) = 𝑦)
59	58	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦) = 𝑦)
60	54, 59	oveq12d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦)) = (𝐴 · 𝑦))
61	60	mpteq2dva 5188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
62	53, 61	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑦) · ((𝑤 ∈ ℂ ↦ 𝑤)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
63	32, 41, 62	3eqtrrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)))
64	63	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (ℂ D ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))))
65		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)
66	65, 57	fmpti 7050	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦):ℂ⟶ℂ
67	66	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦):ℂ⟶ℂ)
68		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
69	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
70	69	dvmptid 25877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
71	70	mptru 1547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)
72	71	dmeqi 5851	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)
73		ax-1cn 11086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
74	73	rgenw 3048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℂ 1 ∈ ℂ
75		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)
76	75	fmpt 7048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℂ 1 ∈ ℂ ↔ (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1):ℂ⟶ℂ)
77	74, 76	mpbi 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1):ℂ⟶ℂ
78	77	fdmi 6667	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1) = ℂ
79	72, 78	eqtri 2752	. . . . . . . 8 ⊢ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = ℂ
80	79	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = ℂ)
81	22, 67, 68, 80	dvcmulf 25864	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))))
82	64, 81	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))))
83	82	dmeqd 5852	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = dom ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))))
84		ovexd 7388	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) ∈ V)
85		offval3 7924	. . . . . 6 ⊢ (((ℂ × {𝐴}) ∈ V ∧ (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) ∈ V) → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))))
86	37, 84, 85	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))))
87	86	dmeqd 5852	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = dom (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))))
88	43, 80	ineq12d 4174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = (ℂ ∩ ℂ))
89	88, 51	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) = ℂ)
90	89	mpteq1d 5185	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))))
91	90	dmeqd 5852	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))) = dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))))
92		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤)))
93		fvconst2g 7142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘𝑤) = 𝐴)
94	71	fveq1i 6827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)‘𝑤)
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤) = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)‘𝑤))
96		eqidd 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
97		eqidd 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = 𝑤) → 1 = 1)
98	73	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
99	96, 97, 45, 98	fvmptd 6941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ 1)‘𝑤) = 1)
100	95, 99	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤) = 1)
101	100	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤) = 1)
102	93, 101	oveq12d 7371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤)) = (𝐴 · 1))
103		mulcl 11112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 · 1) ∈ ℂ)
104	73, 103	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) ∈ ℂ)
105	104	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝐴 · 1) ∈ ℂ)
106	102, 105	eqeltrd 2828	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤)) ∈ ℂ)
107	92, 106	dmmptd 6631	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑤 ∈ ℂ ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))) = ℂ)
108	91, 107	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑤 ∈ (dom (ℂ × {𝐴}) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))) ↦ (((ℂ × {𝐴})‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦))‘𝑤))) = ℂ)
109	83, 87, 108	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = ℂ)
110	22, 22, 2, 4, 28, 109	dvcof 25868	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (sin ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))))
111	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D sin) = cos)
112		coscn 26371	. . . . . . 7 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
113	112	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
114	111, 113	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D sin) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
115	33	mptex 7163	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ V
116	115	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ V)
117		coexg 7869	. . . . 5 ⊢ (((ℂ D sin) ∈ (ℂ–cn→ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ V) → ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∈ V)
118	114, 116, 117	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∈ V)
119		ovexd 7388	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∈ V)
120		offval3 7924	. . . 4 ⊢ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∈ V ∧ (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∈ V) → (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = (𝑤 ∈ (dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))))
121	118, 119, 120	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = (𝑤 ∈ (dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))))
122	4	frnd 6664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ran (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ⊆ ℂ)
123	122, 28	sseqtrrd 3975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ran (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ⊆ dom (ℂ D sin))
124		dmcosseq 5923	. . . . . . . 8 ⊢ (ran (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ⊆ dom (ℂ D sin) → dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
125	123, 124	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
126		ovex 7386	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 · 𝑦) ∈ V
127		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))
128	126, 127	dmmpti 6630	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) = ℂ
129	128	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) = ℂ)
130	125, 129	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = ℂ)
131	130, 109	ineq12d 4174	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = (ℂ ∩ ℂ))
132	131, 51	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = ℂ)
133	132	mpteq1d 5185	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ (dom ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∩ dom (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))))
134	11	coscld 16058	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 · 𝑤)) ∈ ℂ)
135		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
136	134, 135	mulcomd 11155	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((cos‘(𝐴 · 𝑤)) · 𝐴) = (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑤))))
137	136	mpteq2dva 5188	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((cos‘(𝐴 · 𝑤)) · 𝐴)) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑤)))))
138	23	coeq1i 5806	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (cos ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
139	138	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (cos ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))))
140	139	fveq1d 6828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) = ((cos ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))
141	4	ffund 6660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → Fun (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
142	141	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → Fun (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
143	10, 128	eleqtrrdi 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → 𝑤 ∈ dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))
144		fvco 6925	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ dom (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) → ((cos ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) = (cos‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤)))
145	142, 143, 144	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((cos ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) = (cos‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤)))
146	12	fveq2d 6830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (cos‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))‘𝑤)) = (cos‘(𝐴 · 𝑤)))
147	140, 145, 146	3eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) = (cos‘(𝐴 · 𝑤)))
148		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
149		0cnd 11127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
150	22, 68	dvmptc 25878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 0))
151		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
152	73	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
153	71	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1))
154	22, 148, 149, 150, 151, 152, 153	dvmptmul 25881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴))))
155	151	mul02d 11332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 · 𝑦) = 0)
156	148	mullidd 11152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
157	155, 156	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴)) = (0 + 𝐴))
158	148	addlidd 11335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
159	157, 158	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴)) = 𝐴)
160	159	mpteq2dva 5188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ ((0 · 𝑦) + (1 · 𝐴))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
161	154, 160	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
162	161	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
163		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 = 𝑤) → 𝐴 = 𝐴)
164	162, 163, 10, 135	fvmptd 6941	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) = 𝐴)
165	147, 164	oveq12d 7371	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤)) = ((cos‘(𝐴 · 𝑤)) · 𝐴))
166	165	mpteq2dva 5188	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((cos‘(𝐴 · 𝑤)) · 𝐴)))
167	8	fveq2d 6830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (cos‘(𝐴 · 𝑦)) = (cos‘(𝐴 · 𝑤)))
168	167	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦))) = (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑤))))
169	168	cbvmptv 5199	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑤))))
170	169	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑤)))))
171	137, 166, 170	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤) · ((ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))‘𝑤))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
172	121, 133, 171	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℂ D sin) ∘ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦))) ∘f · (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))
173	20, 110, 172	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝐴 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (cos‘(𝐴 · 𝑦)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3438   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  {csn 4579  {cpr 4581   ↦ cmpt 5176   × cxp 5621  dom cdm 5623  ran crn 5624   ∘ ccom 5627  Fun wfun 6480  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∘_f cof 7615  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033  sincsin 15988  cosccos 15989  –cn→ccncf 24785   D cdv 25780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24224  df-ms 24225  df-tms 24226  df-cncf 24787  df-limc 25783  df-dv 25784

This theorem is referenced by:  dvasinbx  45902  itgcoscmulx  45951  dirkeritg  46084  dirkercncflem2  46086