Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvsinax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvsinax 44615
Description: Derivative exercise: the derivative with respect to y of sin(Ay), given a constant 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
dvsinax (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
Distinct variable group:   𝑦,𝐴

Proof of Theorem dvsinax
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sinf 16063 . . . . . 6 sin:β„‚βŸΆβ„‚
21a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ sin:β„‚βŸΆβ„‚)
3 mulcl 11190 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
43fmpttd 7111 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)):β„‚βŸΆβ„‚)
5 fcompt 7127 . . . . 5 ((sin:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)):β„‚βŸΆβ„‚) β†’ (sin ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))β€˜π‘€))))
62, 4, 5syl2anc 584 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sin ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))β€˜π‘€))))
7 eqidd 2733 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))
8 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑀 β†’ (𝐴 Β· 𝑦) = (𝐴 Β· 𝑀))
98adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) ∧ 𝑦 = 𝑀) β†’ (𝐴 Β· 𝑦) = (𝐴 Β· 𝑀))
10 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
11 mulcl 11190 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· 𝑀) ∈ β„‚)
127, 9, 10, 11fvmptd 7002 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))β€˜π‘€) = (𝐴 Β· 𝑀))
1312fveq2d 6892 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))β€˜π‘€)) = (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑀)))
1413mpteq2dva 5247 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))β€˜π‘€))) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑀))))
15 oveq2 7413 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝐴 Β· 𝑀) = (𝐴 Β· 𝑦))
1615fveq2d 6892 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑦 β†’ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑀)) = (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))
1716cbvmptv 5260 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑀))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))
1817a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑀))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))))
196, 14, 183eqtrrd 2777 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) = (sin ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))))
2019oveq2d 7421 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (β„‚ D (sin ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))))
21 cnelprrecn 11199 . . . 4 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
2221a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
23 dvsin 25490 . . . . . 6 (β„‚ D sin) = cos
2423dmeqi 5902 . . . . 5 dom (β„‚ D sin) = dom cos
25 cosf 16064 . . . . . 6 cos:β„‚βŸΆβ„‚
2625fdmi 6726 . . . . 5 dom cos = β„‚
2724, 26eqtri 2760 . . . 4 dom (β„‚ D sin) = β„‚
2827a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (β„‚ D sin) = β„‚)
29 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑀 β†’ 𝑦 = 𝑀)
3029cbvmptv 5260 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)
3130oveq2i 7416 . . . . . . . . 9 ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)) = ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀))
3231a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)) = ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)))
33 cnex 11187 . . . . . . . . . . 11 β„‚ ∈ V
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ β„‚ ∈ V)
35 snex 5430 . . . . . . . . . . 11 {𝐴} ∈ V
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ {𝐴} ∈ V)
3734, 36xpexd 7734 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ V)
3833mptex 7221 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀) ∈ V
3938a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀) ∈ V)
40 offval3 7965 . . . . . . . . 9 (((β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ V ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀) ∈ V) β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)) = (𝑦 ∈ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)) ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘¦) Β· ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)β€˜π‘¦))))
4137, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)) = (𝑦 ∈ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)) ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘¦) Β· ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)β€˜π‘¦))))
42 fconst6g 6777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}):β„‚βŸΆβ„‚)
4342fdmd 6725 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (β„‚ Γ— {𝐴}) = β„‚)
44 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)
45 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
4644, 45fmpti 7108 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀):β„‚βŸΆβ„‚
4746fdmi 6726 . . . . . . . . . . . . 13 dom (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀) = β„‚
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀) = β„‚)
4943, 48ineq12d 4212 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)) = (β„‚ ∩ β„‚))
50 inidm 4217 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚ ∩ β„‚) = β„‚
5150a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ ∩ β„‚) = β„‚)
5249, 51eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)) = β„‚)
5352mpteq1d 5242 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)) ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘¦) Β· ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)β€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘¦) Β· ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)β€˜π‘¦))))
54 fvconst2g 7199 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘¦) = 𝐴)
55 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀))
56 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 = 𝑦) β†’ 𝑀 = 𝑦)
57 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
5855, 56, 57, 57fvmptd 7002 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)β€˜π‘¦) = 𝑦)
5958adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)β€˜π‘¦) = 𝑦)
6054, 59oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘¦) Β· ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)β€˜π‘¦)) = (𝐴 Β· 𝑦))
6160mpteq2dva 5247 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘¦) Β· ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)β€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))
6253, 61eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)) ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘¦) Β· ((𝑀 ∈ β„‚ ↦ 𝑀)β€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))
6332, 41, 623eqtrrd 2777 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) = ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)))
6463oveq2d 7421 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = (β„‚ D ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))))
65 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)
6665, 57fmpti 7108 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦):β„‚βŸΆβ„‚
6766a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦):β„‚βŸΆβ„‚)
68 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6921a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊀ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
7069dvmptid 25465 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1))
7170mptru 1548 . . . . . . . . . 10 (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1)
7271dmeqi 5902 . . . . . . . . 9 dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)) = dom (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1)
73 ax-1cn 11164 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„‚
7473rgenw 3065 . . . . . . . . . . 11 βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ 1 ∈ β„‚
75 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1)
7675fmpt 7106 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘¦ ∈ β„‚ 1 ∈ β„‚ ↔ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1):β„‚βŸΆβ„‚)
7774, 76mpbi 229 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1):β„‚βŸΆβ„‚
7877fdmi 6726 . . . . . . . . 9 dom (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1) = β„‚
7972, 78eqtri 2760 . . . . . . . 8 dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)) = β„‚
8079a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)) = β„‚)
8122, 67, 68, 80dvcmulf 25453 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))) = ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))))
8264, 81eqtrd 2772 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))))
8382dmeqd 5903 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = dom ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))))
84 ovexd 7440 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)) ∈ V)
85 offval3 7965 . . . . . 6 (((β„‚ Γ— {𝐴}) ∈ V ∧ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)) ∈ V) β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))) = (𝑀 ∈ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))) ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€))))
8637, 84, 85syl2anc 584 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))) = (𝑀 ∈ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))) ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€))))
8786dmeqd 5903 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom ((β„‚ Γ— {𝐴}) ∘f Β· (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))) = dom (𝑀 ∈ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))) ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€))))
8843, 80ineq12d 4212 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))) = (β„‚ ∩ β„‚))
8988, 51eqtrd 2772 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))) = β„‚)
9089mpteq1d 5242 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑀 ∈ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))) ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€))) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€))))
9190dmeqd 5903 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (𝑀 ∈ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))) ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€))) = dom (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€))))
92 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€))) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€)))
93 fvconst2g 7199 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) = 𝐴)
9471fveq1i 6889 . . . . . . . . . . 11 ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€) = ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1)β€˜π‘€)
9594a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€) = ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1)β€˜π‘€))
96 eqidd 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1))
97 eqidd 2733 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 = 𝑀) β†’ 1 = 1)
9873a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ 1 ∈ β„‚)
9996, 97, 45, 98fvmptd 7002 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1)β€˜π‘€) = 1)
10095, 99eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€) = 1)
101100adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€) = 1)
10293, 101oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€)) = (𝐴 Β· 1))
103 mulcl 11190 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· 1) ∈ β„‚)
10473, 103mpan2 689 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 Β· 1) ∈ β„‚)
105104adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· 1) ∈ β„‚)
106102, 105eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€)) ∈ β„‚)
10792, 106dmmptd 6692 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€))) = β„‚)
10891, 107eqtrd 2772 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (𝑀 ∈ (dom (β„‚ Γ— {𝐴}) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))) ↦ (((β„‚ Γ— {𝐴})β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦))β€˜π‘€))) = β„‚)
10983, 87, 1083eqtrd 2776 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = β„‚)
11022, 22, 2, 4, 28, 109dvcof 25456 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (sin ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))) = (((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∘f Β· (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))))
11123a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D sin) = cos)
112 coscn 25948 . . . . . . 7 cos ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
113112a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ cos ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
114111, 113eqeltrd 2833 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D sin) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
11533mptex 7221 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) ∈ V
116115a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) ∈ V)
117 coexg 7916 . . . . 5 (((β„‚ D sin) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) ∧ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) ∈ V) β†’ ((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∈ V)
118114, 116, 117syl2anc 584 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∈ V)
119 ovexd 7440 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∈ V)
120 offval3 7965 . . . 4 ((((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∈ V ∧ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∈ V) β†’ (((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∘f Β· (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑀 ∈ (dom ((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))) ↦ ((((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€))))
121118, 119, 120syl2anc 584 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∘f Β· (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑀 ∈ (dom ((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))) ↦ ((((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€))))
1224frnd 6722 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ran (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) βŠ† β„‚)
123122, 28sseqtrrd 4022 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ran (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) βŠ† dom (β„‚ D sin))
124 dmcosseq 5970 . . . . . . . 8 (ran (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) βŠ† dom (β„‚ D sin) β†’ dom ((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = dom (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))
125123, 124syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom ((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = dom (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))
126 ovex 7438 . . . . . . . . 9 (𝐴 Β· 𝑦) ∈ V
127 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))
128126, 127dmmpti 6691 . . . . . . . 8 dom (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) = β„‚
129128a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) = β„‚)
130125, 129eqtrd 2772 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ dom ((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = β„‚)
131130, 109ineq12d 4212 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (dom ((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))) = (β„‚ ∩ β„‚))
132131, 51eqtrd 2772 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (dom ((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))) = β„‚)
133132mpteq1d 5242 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑀 ∈ (dom ((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∩ dom (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))) ↦ ((((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€))) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ ((((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€))))
13411coscld 16070 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀)) ∈ β„‚)
135 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
136134, 135mulcomd 11231 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀)) Β· 𝐴) = (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀))))
137136mpteq2dva 5247 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ↦ ((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀)) Β· 𝐴)) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀)))))
13823coeq1i 5857 . . . . . . . . 9 ((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = (cos ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))
139138a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = (cos ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))))
140139fveq1d 6890 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€) = ((cos ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€))
1414ffund 6718 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ Fun (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))
142141adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ Fun (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))
14310, 128eleqtrrdi 2844 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ 𝑀 ∈ dom (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))
144 fvco 6986 . . . . . . . 8 ((Fun (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) ∧ 𝑀 ∈ dom (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) β†’ ((cos ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€) = (cosβ€˜((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))β€˜π‘€)))
145142, 143, 144syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ ((cos ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€) = (cosβ€˜((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))β€˜π‘€)))
14612fveq2d 6892 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))β€˜π‘€)) = (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀)))
147140, 145, 1463eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€) = (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀)))
148 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
149 0cnd 11203 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 0 ∈ β„‚)
15022, 68dvmptc 25466 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝐴)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 0))
151 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
15273a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 1 ∈ β„‚)
15371a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 1))
15422, 148, 149, 150, 151, 152, 153dvmptmul 25469 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((0 Β· 𝑦) + (1 Β· 𝐴))))
155151mul02d 11408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (0 Β· 𝑦) = 0)
156148mullidd 11228 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (1 Β· 𝐴) = 𝐴)
157155, 156oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((0 Β· 𝑦) + (1 Β· 𝐴)) = (0 + 𝐴))
158148addlidd 11411 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (0 + 𝐴) = 𝐴)
159157, 158eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((0 Β· 𝑦) + (1 Β· 𝐴)) = 𝐴)
160159mpteq2dva 5247 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((0 Β· 𝑦) + (1 Β· 𝐴))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝐴))
161154, 160eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝐴))
162161adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝐴))
163 eqidd 2733 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) ∧ 𝑦 = 𝑀) β†’ 𝐴 = 𝐴)
164162, 163, 10, 135fvmptd 7002 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€) = 𝐴)
165147, 164oveq12d 7423 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ ((((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€)) = ((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀)) Β· 𝐴))
166165mpteq2dva 5247 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ↦ ((((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€))) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ ((cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀)) Β· 𝐴)))
1678fveq2d 6892 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑀 β†’ (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)) = (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀)))
168167oveq2d 7421 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀 β†’ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦))) = (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀))))
169168cbvmptv 5260 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀))))
170169a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑀)))))
171137, 166, 1703eqtr4d 2782 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ↦ ((((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€) Β· ((β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))β€˜π‘€))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
172121, 133, 1713eqtrd 2776 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((β„‚ D sin) ∘ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) ∘f Β· (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
17320, 110, 1723eqtrd 2776 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝐴 Β· (cosβ€˜(𝐴 Β· 𝑦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  βŠ€wtru 1542   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  {csn 4627  {cpr 4629   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675  ran crn 5676   ∘ ccom 5679  Fun wfun 6534  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  sincsin 16003  cosccos 16004  β€“cnβ†’ccncf 24383   D cdv 25371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375
This theorem is referenced by:  dvasinbx  44622  itgcoscmulx  44671  dirkeritg  44804  dirkercncflem2  44806
  Copyright terms: Public domain W3C validator