MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfneg 25167
Description: The negative of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfneg.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
mbfneg.2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfneg (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝐡) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem mbfneg
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
2 mbfneg.1 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
31, 2dmmptd 6696 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = 𝐴)
4 mbfneg.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
54dmexd 7896 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ V)
63, 5eqeltrrd 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
7 neg1rr 12327 . . . . 5 -1 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ -1 ∈ ℝ)
9 fconstmpt 5739 . . . . 5 (𝐴 Γ— {-1}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -1)
109a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {-1}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -1))
11 eqidd 2734 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
126, 8, 2, 10, 11offval2 7690 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {-1}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (-1 Β· 𝐡)))
134, 2mbfmptcl 25153 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1413mulm1d 11666 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (-1 Β· 𝐡) = -𝐡)
1514mpteq2dva 5249 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (-1 Β· 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝐡))
1612, 15eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {-1}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝐡))
177a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ -1 ∈ ℝ)
1813fmpttd 7115 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
194, 17, 18mbfmulc2re 25165 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Γ— {-1}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ MblFn)
2016, 19eqeltrrd 2835 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝐡) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  {csn 4629   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  β„‚cc 11108  β„cr 11109  1c1 11111   Β· cmul 11115  -cneg 11445  MblFncmbf 25131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-xmet 20937  df-met 20938  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136
This theorem is referenced by:  mbfposb  25170  mbfsub  25179  mbfinf  25182  mbfi1flimlem  25240  itgreval  25314  ibladd  25338  iblabslem  25345  ibladdnc  36545  itgaddnclem2  36547  itgmulc2nclem2  36555  ftc1anclem6  36566
  Copyright terms: Public domain W3C validator