Theorem mbfneg 25530

Description: The negative of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfneg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
mbfneg.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)

Assertion

Ref	Expression
mbfneg	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mbfneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		mbfneg.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3	1, 2	dmmptd 6688	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
4		mbfneg.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
5	4	dmexd 7892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
6	3, 5	eqeltrrd 2828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
7		neg1rr 12328	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -1 ∈ ℝ)
9		fconstmpt 5731	. . . . 5 ⊢ (𝐴 × {-1}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -1)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {-1}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -1))
11		eqidd 2727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
12	6, 8, 2, 10, 11	offval2 7686	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {-1}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (-1 · 𝐵)))
13	4, 2	mbfmptcl 25516	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	mulm1d 11667	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
15	14	mpteq2dva 5241	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (-1 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵))
16	12, 15	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {-1}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵))
17	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
18	13	fmpttd 7109	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
19	4, 17, 18	mbfmulc2re 25528	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {-1}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn)
20	16, 19	eqeltrrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  {csn 4623   ↦ cmpt 5224   × cxp 5667  dom cdm 5669  (class class class)co 7404   ∘_f cof 7664  ℂcc 11107  ℝcr 11108  1c1 11110   · cmul 11114  -cneg 11446  MblFncmbf 25494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xadd 13096  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-xmet 21229  df-met 21230  df-ovol 25344  df-vol 25345  df-mbf 25499

This theorem is referenced by:  mbfposb  25533  mbfsub  25542  mbfinf  25545  mbfi1flimlem  25603  itgreval  25677  ibladd  25701  iblabslem  25708  ibladdnc  37056  itgaddnclem2  37058  itgmulc2nclem2  37066  ftc1anclem6  37077