MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfneg 25149
Description: The negative of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfneg.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
mbfneg.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfneg (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mbfneg
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
2 mbfneg.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
31, 2dmmptd 6692 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
4 mbfneg.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
54dmexd 7891 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ V)
63, 5eqeltrrd 2835 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
7 neg1rr 12323 . . . . 5 -1 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → -1 ∈ ℝ)
9 fconstmpt 5736 . . . . 5 (𝐴 × {-1}) = (𝑥𝐴 ↦ -1)
109a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 × {-1}) = (𝑥𝐴 ↦ -1))
11 eqidd 2734 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
126, 8, 2, 10, 11offval2 7685 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 × {-1}) ∘f · (𝑥𝐴𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (-1 · 𝐵)))
134, 2mbfmptcl 25135 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1413mulm1d 11662 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
1514mpteq2dva 5247 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (-1 · 𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ -𝐵))
1612, 15eqtrd 2773 . 2 (𝜑 → ((𝐴 × {-1}) ∘f · (𝑥𝐴𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ -𝐵))
177a1i 11 . . 3 (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
1813fmpttd 7110 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
194, 17, 18mbfmulc2re 25147 . 2 (𝜑 → ((𝐴 × {-1}) ∘f · (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn)
2016, 19eqeltrrd 2835 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  {csn 4627  cmpt 5230   × cxp 5673  dom cdm 5675  (class class class)co 7404  f cof 7663  cc 11104  cr 11105  1c1 11107   · cmul 11111  -cneg 11441  MblFncmbf 25113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-xmet 20922  df-met 20923  df-ovol 24963  df-vol 24964  df-mbf 25118
This theorem is referenced by:  mbfposb  25152  mbfsub  25161  mbfinf  25164  mbfi1flimlem  25222  itgreval  25296  ibladd  25320  iblabslem  25327  ibladdnc  36483  itgaddnclem2  36485  itgmulc2nclem2  36493  ftc1anclem6  36504
  Copyright terms: Public domain W3C validator