Theorem mbfneg 25777

Description: The negative of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfneg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
mbfneg.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)

Assertion

Ref	Expression
mbfneg	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mbfneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		mbfneg.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3	1, 2	dmmptd 6681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
4		mbfneg.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
5	4	dmexd 7899	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
6	3, 5	eqeltrrd 2870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
7		neg1rr 12203	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -1 ∈ ℝ)
9		fconstmpt 5724	. . . . 5 ⊢ (𝐴 × {-1}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -1)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {-1}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -1))
11		eqidd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
12	6, 8, 2, 10, 11	offval2 7695	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {-1}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (-1 · 𝐵)))
13	4, 2	mbfmptcl 25763	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	mulm1d 11665	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
15	14	mpteq2dva 5208	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (-1 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵))
16	12, 15	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {-1}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵))
17	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
18	13	fmpttd 7111	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
19	4, 17, 18	mbfmulc2re 25775	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {-1}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn)
20	16, 19	eqeltrrd 2870	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  {csn 4594   ↦ cmpt 5196   × cxp 5660  dom cdm 5662  (class class class)co 7411   ∘_f cof 7673  ℂcc 11097  ℝcr 11098  1c1 11100   · cmul 11104  -cneg 11441  MblFncmbf 25741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xadd 13137  df-ioo 13375  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-clim 15538  df-sum 15737  df-xmet 21483  df-met 21484  df-ovol 25591  df-vol 25592  df-mbf 25746

This theorem is referenced by:  mbfposb  25780  mbfsub  25789  mbfinf  25792  mbfi1flimlem  25849  itgreval  25924  ibladd  25948  iblabslem  25955  ibladdnc  38215  itgaddnclem2  38217  itgmulc2nclem2  38225  ftc1anclem6  38236