Theorem mbfneg 25608

Description: The negative of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfneg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
mbfneg.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)

Assertion

Ref	Expression
mbfneg	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mbfneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		mbfneg.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3	1, 2	dmmptd 6688	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
4		mbfneg.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
5	4	dmexd 7904	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
6	3, 5	eqeltrrd 2836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
7		neg1rr 12360	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -1 ∈ ℝ)
9		fconstmpt 5721	. . . . 5 ⊢ (𝐴 × {-1}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -1)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {-1}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -1))
11		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
12	6, 8, 2, 10, 11	offval2 7696	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {-1}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (-1 · 𝐵)))
13	4, 2	mbfmptcl 25594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	mulm1d 11694	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
15	14	mpteq2dva 5219	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (-1 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵))
16	12, 15	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {-1}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵))
17	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
18	13	fmpttd 7110	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
19	4, 17, 18	mbfmulc2re 25606	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {-1}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn)
20	16, 19	eqeltrrd 2836	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464  {csn 4606   ↦ cmpt 5206   × cxp 5657  dom cdm 5659  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7674  ℂcc 11132  ℝcr 11133  1c1 11135   · cmul 11139  -cneg 11472  MblFncmbf 25572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xadd 13134  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-sum 15708  df-xmet 21313  df-met 21314  df-ovol 25422  df-vol 25423  df-mbf 25577

This theorem is referenced by:  mbfposb  25611  mbfsub  25620  mbfinf  25623  mbfi1flimlem  25680  itgreval  25755  ibladd  25779  iblabslem  25786  ibladdnc  37706  itgaddnclem2  37708  itgmulc2nclem2  37716  ftc1anclem6  37727