Theorem mbfneg 26026

Description: The negative of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfneg.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
mbfneg.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)

Assertion

Ref	Expression
mbfneg	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mbfneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		mbfneg.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3	1, 2	dmmptd 6714	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
4		mbfneg.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
5	4	dmexd 7949	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
6	3, 5	eqeltrrd 2865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
7		neg1rr 12346	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -1 ∈ ℝ)
9		fconstmpt 5720	. . . . 5 ⊢ (𝐴 × { -1}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -1)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × { -1}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -1))
11		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
12	6, 8, 2, 10, 11	offval2 7745	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × { -1}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( -1 · 𝐵)))
13	4, 2	mbfmptcl 26012	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13	mulm1d 11807	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ( -1 · 𝐵) = -𝐵)
15	14	mpteq2dva 5204	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( -1 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵))
16	12, 15	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × { -1}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵))
17	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
18	13	fmpttd 7147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
19	4, 17, 18	mbfmulc2re 26024	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × { -1}) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ MblFn)
20	16, 19	eqeltrrd 2865	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ MblFn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  {csn 4588   ↦ cmpt 5192   × cxp 5656  dom cdm 5658  (class class class)co 7451   ∘_f cof 7723  ℂcc 11237  ℝcr 11238  1c1 11240   · cmul 11244   -cneg 11581  MblFncmbf 25990

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xadd 13282  df-ioo 13520  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-sum 15898  df-xmet 21722  df-met 21723  df-ovol 25840  df-vol 25841  df-mbf 25995

This theorem is used by:  mbfposb  26029  mbfsub  26038  mbfinf  26041  mbfi1flimlem  26098  itgreval  26172  ibladd  26196  iblabslem  26203  ibladdnc  38863  itgaddnclem2  38865  itgmulc2nclem2  38873  ftc1anclem6  38884