MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2i1fseq2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg2i1fseq2 25273
Description: In an extension to the results of itg2i1fseq 25272, if there is an upper bound on the integrals of the simple functions approaching 𝐹, then ∫2𝐹 is real and the standard limit relation applies. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
itg2i1fseq.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2i1fseq.3 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•βŸΆdom ∫1)
itg2i1fseq.4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))))
itg2i1fseq.5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
itg2i1fseq.6 𝑆 = (π‘š ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)))
itg2i1fseq2.7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
itg2i1fseq2.8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ⇝ (∫2β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘š,𝑛,π‘₯,𝐹   π‘˜,𝑀,𝑛   𝑃,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘š   𝑆,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛)   𝑆(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝑀(π‘₯,π‘š)
Proof of Theorem itg2i1fseq2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12864 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12592 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
3 itg2i1fseq.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•βŸΆdom ∫1)
43ffvelcdmda 7086 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∈ dom ∫1)
5 itg1cl 25201 . . . . 5 ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) ∈ ℝ)
7 itg2i1fseq.6 . . . 4 𝑆 = (π‘š ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)))
86, 7fmptd 7113 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆:β„•βŸΆβ„)
93ffvelcdmda 7086 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ dom ∫1)
10 peano2nn 12223 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
11 ffvelcdm 7083 . . . . . 6 ((𝑃:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ dom ∫1)
123, 10, 11syl2an 596 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ dom ∫1)
13 itg2i1fseq.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))))
14 simpr 485 . . . . . . . 8 ((0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)))
1514ralimi 3083 . . . . . . 7 (βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)))
1613, 15syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)))
17 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›) = (π‘ƒβ€˜π‘˜))
18 fvoveq1 7431 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
1917, 18breq12d 5161 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
2019rspccva 3611 . . . . . 6 ((βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
2116, 20sylan 580 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
22 itg1le 25230 . . . . 5 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ dom ∫1 ∧ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ dom ∫1 ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)) ≀ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
239, 12, 21, 22syl3anc 1371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)) ≀ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
24 2fveq3 6896 . . . . . 6 (π‘š = π‘˜ β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)))
25 fvex 6904 . . . . . 6 (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)) ∈ V
2624, 7, 25fvmpt 6998 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘˜) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)))
2726adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)))
28 2fveq3 6896 . . . . . . 7 (π‘š = (π‘˜ + 1) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
29 fvex 6904 . . . . . . 7 (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))) ∈ V
3028, 7, 29fvmpt 6998 . . . . . 6 ((π‘˜ + 1) ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1)) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3110, 30syl 17 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1)) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3231adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1)) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3323, 27, 323brtr4d 5180 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1)))
34 itg2i1fseq2.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
35 itg2i1fseq2.8 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑀)
3627, 35eqbrtrd 5170 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑀)
3736ralrimiva 3146 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑀)
38 brralrspcev 5208 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑧)
3934, 37, 38syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑧)
401, 2, 8, 33, 39climsup 15615 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ⇝ sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
41 itg2i1fseq.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
42 itg2i1fseq.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
43 itg2i1fseq.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
4441, 42, 3, 13, 43, 7itg2i1fseq 25272 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) = sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
458frnd 6725 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝑆 βŠ† ℝ)
467, 6dmmptd 6695 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = β„•)
47 1nn 12222 . . . . . . 7 1 ∈ β„•
48 ne0i 4334 . . . . . . 7 (1 ∈ β„• β†’ β„• β‰  βˆ…)
4947, 48mp1i 13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„• β‰  βˆ…)
5046, 49eqnetrd 3008 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 β‰  βˆ…)
51 dm0rn0 5924 . . . . . 6 (dom 𝑆 = βˆ… ↔ ran 𝑆 = βˆ…)
5251necon3bii 2993 . . . . 5 (dom 𝑆 β‰  βˆ… ↔ ran 𝑆 β‰  βˆ…)
5350, 52sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝑆 β‰  βˆ…)
54 ffn 6717 . . . . . . 7 (𝑆:β„•βŸΆβ„ β†’ 𝑆 Fn β„•)
55 breq1 5151 . . . . . . . 8 (𝑦 = (π‘†β€˜π‘˜) β†’ (𝑦 ≀ 𝑧 ↔ (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑧))
5655ralrn 7089 . . . . . . 7 (𝑆 Fn β„• β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑧))
578, 54, 563syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑧))
5857rexbidv 3178 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑧))
5939, 58mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧)
60 supxrre 13305 . . . 4 ((ran 𝑆 βŠ† ℝ ∧ ran 𝑆 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
6145, 53, 59, 60syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
6244, 61eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
6340, 62breqtrrd 5176 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ⇝ (∫2β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘r cofr 7668  supcsup 9434  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  +∞cpnf 11244  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  β„•cn 12211  [,)cico 13325   ⇝ cli 15427  MblFncmbf 25130  βˆ«1citg1 25131  βˆ«2citg2 25132  0𝑝c0p 25185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cmp 22890  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-mbf 25135  df-itg1 25136  df-itg2 25137  df-0p 25186
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq3  25274  itg2addlem  25275
  Copyright terms: Public domain W3C validator