MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2i1fseq2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg2i1fseq2 25702
Description: In an extension to the results of itg2i1fseq 25701, if there is an upper bound on the integrals of the simple functions approaching 𝐹, then ∫2𝐹 is real and the standard limit relation applies. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
itg2i1fseq.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2i1fseq.3 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•βŸΆdom ∫1)
itg2i1fseq.4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))))
itg2i1fseq.5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
itg2i1fseq.6 𝑆 = (π‘š ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)))
itg2i1fseq2.7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
itg2i1fseq2.8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ⇝ (∫2β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘š,𝑛,π‘₯,𝐹   π‘˜,𝑀,𝑛   𝑃,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘š   𝑆,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛)   𝑆(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝑀(π‘₯,π‘š)
Proof of Theorem itg2i1fseq2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12893 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12621 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
3 itg2i1fseq.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•βŸΆdom ∫1)
43ffvelcdmda 7088 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∈ dom ∫1)
5 itg1cl 25630 . . . . 5 ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) ∈ ℝ)
7 itg2i1fseq.6 . . . 4 𝑆 = (π‘š ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)))
86, 7fmptd 7118 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆:β„•βŸΆβ„)
93ffvelcdmda 7088 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ dom ∫1)
10 peano2nn 12252 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
11 ffvelcdm 7085 . . . . . 6 ((𝑃:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ dom ∫1)
123, 10, 11syl2an 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ dom ∫1)
13 itg2i1fseq.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))))
14 simpr 483 . . . . . . . 8 ((0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)))
1514ralimi 3073 . . . . . . 7 (βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)))
1613, 15syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)))
17 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›) = (π‘ƒβ€˜π‘˜))
18 fvoveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
1917, 18breq12d 5156 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
2019rspccva 3601 . . . . . 6 ((βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
2116, 20sylan 578 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
22 itg1le 25659 . . . . 5 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ dom ∫1 ∧ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ dom ∫1 ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)) ≀ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
239, 12, 21, 22syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)) ≀ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
24 2fveq3 6896 . . . . . 6 (π‘š = π‘˜ β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)))
25 fvex 6904 . . . . . 6 (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)) ∈ V
2624, 7, 25fvmpt 6999 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘˜) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)))
2726adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)))
28 2fveq3 6896 . . . . . . 7 (π‘š = (π‘˜ + 1) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
29 fvex 6904 . . . . . . 7 (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))) ∈ V
3028, 7, 29fvmpt 6999 . . . . . 6 ((π‘˜ + 1) ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1)) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3110, 30syl 17 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1)) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3231adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1)) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3323, 27, 323brtr4d 5175 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1)))
34 itg2i1fseq2.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
35 itg2i1fseq2.8 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑀)
3627, 35eqbrtrd 5165 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑀)
3736ralrimiva 3136 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑀)
38 brralrspcev 5203 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑧)
3934, 37, 38syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑧)
401, 2, 8, 33, 39climsup 15646 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ⇝ sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
41 itg2i1fseq.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
42 itg2i1fseq.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
43 itg2i1fseq.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
4441, 42, 3, 13, 43, 7itg2i1fseq 25701 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) = sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
458frnd 6724 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝑆 βŠ† ℝ)
467, 6dmmptd 6694 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = β„•)
47 1nn 12251 . . . . . . 7 1 ∈ β„•
48 ne0i 4330 . . . . . . 7 (1 ∈ β„• β†’ β„• β‰  βˆ…)
4947, 48mp1i 13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„• β‰  βˆ…)
5046, 49eqnetrd 2998 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 β‰  βˆ…)
51 dm0rn0 5921 . . . . . 6 (dom 𝑆 = βˆ… ↔ ran 𝑆 = βˆ…)
5251necon3bii 2983 . . . . 5 (dom 𝑆 β‰  βˆ… ↔ ran 𝑆 β‰  βˆ…)
5350, 52sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝑆 β‰  βˆ…)
54 ffn 6716 . . . . . . 7 (𝑆:β„•βŸΆβ„ β†’ 𝑆 Fn β„•)
55 breq1 5146 . . . . . . . 8 (𝑦 = (π‘†β€˜π‘˜) β†’ (𝑦 ≀ 𝑧 ↔ (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑧))
5655ralrn 7092 . . . . . . 7 (𝑆 Fn β„• β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑧))
578, 54, 563syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑧))
5857rexbidv 3169 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑧))
5939, 58mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧)
60 supxrre 13336 . . . 4 ((ran 𝑆 βŠ† ℝ ∧ ran 𝑆 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
6145, 53, 59, 60syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
6244, 61eqtrd 2765 . 2 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
6340, 62breqtrrd 5171 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ⇝ (∫2β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5672  ran crn 5673   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ∘r cofr 7680  supcsup 9461  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139  +∞cpnf 11273  β„*cxr 11275   < clt 11276   ≀ cle 11277  β„•cn 12240  [,)cico 13356   ⇝ cli 15458  MblFncmbf 25559  βˆ«1citg1 25560  βˆ«2citg2 25561  0𝑝c0p 25614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cc 10456  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-acn 9963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-rest 17401  df-topgen 17422  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-top 22812  df-topon 22829  df-bases 22865  df-cmp 23307  df-ovol 25409  df-vol 25410  df-mbf 25564  df-itg1 25565  df-itg2 25566  df-0p 25615
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq3  25703  itg2addlem  25704
  Copyright terms: Public domain W3C validator