MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2i1fseq2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg2i1fseq2 25641
Description: In an extension to the results of itg2i1fseq 25640, if there is an upper bound on the integrals of the simple functions approaching 𝐹, then ∫2𝐹 is real and the standard limit relation applies. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
itg2i1fseq.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2i1fseq.3 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•βŸΆdom ∫1)
itg2i1fseq.4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))))
itg2i1fseq.5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
itg2i1fseq.6 𝑆 = (π‘š ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)))
itg2i1fseq2.7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
itg2i1fseq2.8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ⇝ (∫2β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘š,𝑛,π‘₯,𝐹   π‘˜,𝑀,𝑛   𝑃,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘š   𝑆,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛)   𝑆(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝑀(π‘₯,π‘š)
Proof of Theorem itg2i1fseq2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12869 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12597 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
3 itg2i1fseq.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•βŸΆdom ∫1)
43ffvelcdmda 7080 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∈ dom ∫1)
5 itg1cl 25569 . . . . 5 ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) ∈ ℝ)
7 itg2i1fseq.6 . . . 4 𝑆 = (π‘š ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)))
86, 7fmptd 7109 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆:β„•βŸΆβ„)
93ffvelcdmda 7080 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ dom ∫1)
10 peano2nn 12228 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
11 ffvelcdm 7077 . . . . . 6 ((𝑃:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ dom ∫1)
123, 10, 11syl2an 595 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ dom ∫1)
13 itg2i1fseq.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))))
14 simpr 484 . . . . . . . 8 ((0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)))
1514ralimi 3077 . . . . . . 7 (βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)))
1613, 15syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)))
17 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›) = (π‘ƒβ€˜π‘˜))
18 fvoveq1 7428 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
1917, 18breq12d 5154 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
2019rspccva 3605 . . . . . 6 ((βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
2116, 20sylan 579 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
22 itg1le 25598 . . . . 5 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ dom ∫1 ∧ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ dom ∫1 ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)) ≀ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
239, 12, 21, 22syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)) ≀ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
24 2fveq3 6890 . . . . . 6 (π‘š = π‘˜ β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)))
25 fvex 6898 . . . . . 6 (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)) ∈ V
2624, 7, 25fvmpt 6992 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘˜) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)))
2726adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)))
28 2fveq3 6890 . . . . . . 7 (π‘š = (π‘˜ + 1) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
29 fvex 6898 . . . . . . 7 (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))) ∈ V
3028, 7, 29fvmpt 6992 . . . . . 6 ((π‘˜ + 1) ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1)) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3110, 30syl 17 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1)) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3231adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1)) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3323, 27, 323brtr4d 5173 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1)))
34 itg2i1fseq2.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
35 itg2i1fseq2.8 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑀)
3627, 35eqbrtrd 5163 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑀)
3736ralrimiva 3140 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑀)
38 brralrspcev 5201 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑧)
3934, 37, 38syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑧)
401, 2, 8, 33, 39climsup 15622 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ⇝ sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
41 itg2i1fseq.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
42 itg2i1fseq.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
43 itg2i1fseq.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
4441, 42, 3, 13, 43, 7itg2i1fseq 25640 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) = sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
458frnd 6719 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝑆 βŠ† ℝ)
467, 6dmmptd 6689 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = β„•)
47 1nn 12227 . . . . . . 7 1 ∈ β„•
48 ne0i 4329 . . . . . . 7 (1 ∈ β„• β†’ β„• β‰  βˆ…)
4947, 48mp1i 13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„• β‰  βˆ…)
5046, 49eqnetrd 3002 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 β‰  βˆ…)
51 dm0rn0 5918 . . . . . 6 (dom 𝑆 = βˆ… ↔ ran 𝑆 = βˆ…)
5251necon3bii 2987 . . . . 5 (dom 𝑆 β‰  βˆ… ↔ ran 𝑆 β‰  βˆ…)
5350, 52sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝑆 β‰  βˆ…)
54 ffn 6711 . . . . . . 7 (𝑆:β„•βŸΆβ„ β†’ 𝑆 Fn β„•)
55 breq1 5144 . . . . . . . 8 (𝑦 = (π‘†β€˜π‘˜) β†’ (𝑦 ≀ 𝑧 ↔ (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑧))
5655ralrn 7083 . . . . . . 7 (𝑆 Fn β„• β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑧))
578, 54, 563syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑧))
5857rexbidv 3172 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑧))
5939, 58mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧)
60 supxrre 13312 . . . 4 ((ran 𝑆 βŠ† ℝ ∧ ran 𝑆 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
6145, 53, 59, 60syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
6244, 61eqtrd 2766 . 2 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
6340, 62breqtrrd 5169 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ⇝ (∫2β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  ran crn 5670   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘r cofr 7666  supcsup 9437  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  [,)cico 13332   ⇝ cli 15434  MblFncmbf 25498  βˆ«1citg1 25499  βˆ«2citg2 25500  0𝑝c0p 25553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cmp 23246  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505  df-0p 25554
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq3  25642  itg2addlem  25643
  Copyright terms: Public domain W3C validator