MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2i1fseq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2i1fseq2 25144
Description: In an extension to the results of itg2i1fseq 25143, if there is an upper bound on the integrals of the simple functions approaching 𝐹, then ∫2𝐹 is real and the standard limit relation applies. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
itg2i1fseq.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2i1fseq.3 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•βŸΆdom ∫1)
itg2i1fseq.4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))))
itg2i1fseq.5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
itg2i1fseq.6 𝑆 = (π‘š ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)))
itg2i1fseq2.7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
itg2i1fseq2.8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ⇝ (∫2β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   π‘˜,π‘š,𝑛,π‘₯,𝐹   π‘˜,𝑀,𝑛   𝑃,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘š   𝑆,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛)   𝑆(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝑀(π‘₯,π‘š)

Proof of Theorem itg2i1fseq2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12814 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12542 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
3 itg2i1fseq.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•βŸΆdom ∫1)
43ffvelcdmda 7039 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∈ dom ∫1)
5 itg1cl 25072 . . . . 5 ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) ∈ ℝ)
7 itg2i1fseq.6 . . . 4 𝑆 = (π‘š ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)))
86, 7fmptd 7066 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆:β„•βŸΆβ„)
93ffvelcdmda 7039 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ dom ∫1)
10 peano2nn 12173 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
11 ffvelcdm 7036 . . . . . 6 ((𝑃:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ dom ∫1)
123, 10, 11syl2an 597 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ dom ∫1)
13 itg2i1fseq.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))))
14 simpr 486 . . . . . . . 8 ((0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)))
1514ralimi 3083 . . . . . . 7 (βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)))
1613, 15syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)))
17 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›) = (π‘ƒβ€˜π‘˜))
18 fvoveq1 7384 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
1917, 18breq12d 5122 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
2019rspccva 3582 . . . . . 6 ((βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
2116, 20sylan 581 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
22 itg1le 25101 . . . . 5 (((π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ dom ∫1 ∧ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ dom ∫1 ∧ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)) ≀ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
239, 12, 21, 22syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)) ≀ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
24 2fveq3 6851 . . . . . 6 (π‘š = π‘˜ β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)))
25 fvex 6859 . . . . . 6 (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)) ∈ V
2624, 7, 25fvmpt 6952 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘˜) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)))
2726adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)))
28 2fveq3 6851 . . . . . . 7 (π‘š = (π‘˜ + 1) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
29 fvex 6859 . . . . . . 7 (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))) ∈ V
3028, 7, 29fvmpt 6952 . . . . . 6 ((π‘˜ + 1) ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1)) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3110, 30syl 17 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1)) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3231adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1)) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3323, 27, 323brtr4d 5141 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) ≀ (π‘†β€˜(π‘˜ + 1)))
34 itg2i1fseq2.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
35 itg2i1fseq2.8 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑀)
3627, 35eqbrtrd 5131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑀)
3736ralrimiva 3140 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑀)
38 brralrspcev 5169 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑧)
3934, 37, 38syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑧)
401, 2, 8, 33, 39climsup 15563 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ⇝ sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
41 itg2i1fseq.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
42 itg2i1fseq.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
43 itg2i1fseq.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
4441, 42, 3, 13, 43, 7itg2i1fseq 25143 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) = sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
458frnd 6680 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝑆 βŠ† ℝ)
467, 6dmmptd 6650 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = β„•)
47 1nn 12172 . . . . . . 7 1 ∈ β„•
48 ne0i 4298 . . . . . . 7 (1 ∈ β„• β†’ β„• β‰  βˆ…)
4947, 48mp1i 13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„• β‰  βˆ…)
5046, 49eqnetrd 3008 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 β‰  βˆ…)
51 dm0rn0 5884 . . . . . 6 (dom 𝑆 = βˆ… ↔ ran 𝑆 = βˆ…)
5251necon3bii 2993 . . . . 5 (dom 𝑆 β‰  βˆ… ↔ ran 𝑆 β‰  βˆ…)
5350, 52sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝑆 β‰  βˆ…)
54 ffn 6672 . . . . . . 7 (𝑆:β„•βŸΆβ„ β†’ 𝑆 Fn β„•)
55 breq1 5112 . . . . . . . 8 (𝑦 = (π‘†β€˜π‘˜) β†’ (𝑦 ≀ 𝑧 ↔ (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑧))
5655ralrn 7042 . . . . . . 7 (𝑆 Fn β„• β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑧))
578, 54, 563syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑧))
5857rexbidv 3172 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘†β€˜π‘˜) ≀ 𝑧))
5939, 58mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧)
60 supxrre 13255 . . . 4 ((ran 𝑆 βŠ† ℝ ∧ ran 𝑆 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
6145, 53, 59, 60syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
6244, 61eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
6340, 62breqtrrd 5137 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ⇝ (∫2β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637  ran crn 5638   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∘r cofr 7620  supcsup 9384  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  +∞cpnf 11194  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198  β„•cn 12161  [,)cico 13275   ⇝ cli 15375  MblFncmbf 25001  βˆ«1citg1 25002  βˆ«2citg2 25003  0𝑝c0p 25056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cmp 22761  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007  df-itg2 25008  df-0p 25057
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq3  25145  itg2addlem  25146
  Copyright terms: Public domain W3C validator