Theorem smfmbfcex 42578

Description: A constant function, with non-lebesgue-measurable domain is a sigma-measurable functions (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals) but it is not a measurable functions ( w.r.t. to df-mbf 23903). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfmbfcex.s	⊢ 𝑆 = dom vol
smfmbfcex.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
smfmbfcex.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑆)
smfmbfcex.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)

Assertion

Ref	Expression
smfmbfcex	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfmbfcex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1892	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		smfmbfcex.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = dom vol
3		dmvolsal 42171	. . . . 5 ⊢ dom vol ∈ SAlg
4	2, 3	eqeltri 2879	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ SAlg
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		smfmbfcex.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
7	2	unieqi 4754	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑆 = ∪ dom vol
8		unidmvol 23825	. . . . 5 ⊢ ∪ dom vol = ℝ
9	7, 8	eqtri 2819	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑆 = ℝ
10	6, 9	syl6sseqr 3939	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ 𝑆)
11		0red 10490	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12		smfmbfcex.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)
13	1, 5, 10, 11, 12	smfconst 42568	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
14		smfmbfcex.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑆)
15		0red 10490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
16	15, 12	fmptd 6741	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
17	16	fdmd 6391	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
18	2	eqcomi 2804	. . . . . . 7 ⊢ dom vol = 𝑆
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom vol = 𝑆)
20	17, 19	eleq12d 2877	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝑋 ∈ 𝑆))
21	20	notbid 319	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ ¬ 𝑋 ∈ 𝑆))
22	14, 21	mpbird 258	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ dom 𝐹 ∈ dom vol)
23		mbfdm 23910	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
24	23	con3i 157	. . 3 ⊢ (¬ dom 𝐹 ∈ dom vol → ¬ 𝐹 ∈ MblFn)
25	22, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ MblFn)
26	13, 25	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ⊆ wss 3859  ∪ cuni 4745   ↦ cmpt 5041  dom cdm 5443  ‘cfv 6225  ℝcr 10382  0cc0 10383  volcvol 23747  MblFncmbf 23898  SAlgcsalg 42135  SMblFncsmblfn 42519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cc 9703  ax-ac2 9731  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-disj 4931  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-dju 9176  df-card 9214  df-acn 9217  df-ac 9388  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xadd 12358  df-ioo 12592  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-rest 16525  df-xmet 20220  df-met 20221  df-ovol 23748  df-vol 23749  df-mbf 23903  df-salg 42136  df-smblfn 42520

This theorem is referenced by:  nsssmfmbflem  42596