Theorem smfmbfcex 47298

Description: A constant function, with non-lebesgue-measurable domain is a sigma-measurable functions (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals) but it is not a measurable functions ( w.r.t. to df-mbf 25661). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfmbfcex.s	⊢ 𝑆 = dom vol
smfmbfcex.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
smfmbfcex.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑆)
smfmbfcex.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)

Assertion

Ref	Expression
smfmbfcex	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfmbfcex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1933	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		smfmbfcex.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = dom vol
3		dmvolsal 46884	. . . . 5 ⊢ dom vol ∈ SAlg
4	2, 3	eqeltri 2857	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ SAlg
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		smfmbfcex.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
7	2	unieqi 4876	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑆 = ∪ dom vol
8		unidmvol 25583	. . . . 5 ⊢ ∪ dom vol = ℝ
9	7, 8	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑆 = ℝ
10	6, 9	sseqtrrdi 3977	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ 𝑆)
11		0red 11181	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12		smfmbfcex.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)
13	1, 5, 10, 11, 12	smfconst 47287	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
14		smfmbfcex.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑆)
15		0red 11181	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
16	12, 15	dmmptd 6662	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
17	2	eqcomi 2770	. . . . . 6 ⊢ dom vol = 𝑆
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom vol = 𝑆)
19	16, 18	eleq12d 2855	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝑋 ∈ 𝑆))
20	14, 19	mtbird 327	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ dom 𝐹 ∈ dom vol)
21		mbfdm 25668	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
22	20, 21	nsyl 140	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ MblFn)
23	13, 22	jca 519	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904  ∪ cuni 4864   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5645  ‘cfv 6517  ℝcr 11069  0cc0 11070  volcvol 25505  MblFncmbf 25656  SAlgcsalg 46846  SMblFncsmblfn 47233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cc 10389  ax-ac2 10417  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-dju 9856  df-card 9894  df-acn 9897  df-ac 10069  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xadd 13112  df-ioo 13350  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-rest 17434  df-xmet 21397  df-met 21398  df-ovol 25506  df-vol 25507  df-mbf 25661  df-salg 46847  df-smblfn 47234

This theorem is referenced by:  nsssmfmbflem  47316