Theorem smfmbfcex 47332

Description: A constant function, with non-lebesgue-measurable domain is a sigma-measurable functions (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals) but it is not a measurable functions ( w.r.t. to df-mbf 25739). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfmbfcex.s	⊢ 𝑆 = dom vol
smfmbfcex.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
smfmbfcex.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑆)
smfmbfcex.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)

Assertion

Ref	Expression
smfmbfcex	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfmbfcex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1937	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		smfmbfcex.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = dom vol
3		dmvolsal 46918	. . . . 5 ⊢ dom vol ∈ SAlg
4	2, 3	eqeltri 2861	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ SAlg
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		smfmbfcex.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
7	2	unieqi 4880	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑆 = ∪ dom vol
8		unidmvol 25661	. . . . 5 ⊢ ∪ dom vol = ℝ
9	7, 8	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑆 = ℝ
10	6, 9	sseqtrrdi 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ 𝑆)
11		0red 11199	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12		smfmbfcex.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)
13	1, 5, 10, 11, 12	smfconst 47321	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
14		smfmbfcex.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑆)
15		0red 11199	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
16	12, 15	dmmptd 6670	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
17	2	eqcomi 2774	. . . . . 6 ⊢ dom vol = 𝑆
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom vol = 𝑆)
19	16, 18	eleq12d 2859	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝑋 ∈ 𝑆))
20	14, 19	mtbird 328	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ dom 𝐹 ∈ dom vol)
21		mbfdm 25746	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
22	20, 21	nsyl 141	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ MblFn)
23	13, 22	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  ∪ cuni 4868   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5652  ‘cfv 6525  ℝcr 11087  0cc0 11088  volcvol 25583  MblFncmbf 25734  SAlgcsalg 46880  SMblFncsmblfn 47267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cc 10407  ax-ac2 10435  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-disj 5073  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913  df-acn 9916  df-ac 10088  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xadd 13129  df-ioo 13367  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-rlim 15530  df-sum 15728  df-rest 17465  df-xmet 21475  df-met 21476  df-ovol 25584  df-vol 25585  df-mbf 25739  df-salg 46881  df-smblfn 47268

This theorem is referenced by:  nsssmfmbflem  47350