Theorem smfmbfcex 46048

Description: A constant function, with non-lebesgue-measurable domain is a sigma-measurable functions (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals) but it is not a measurable functions ( w.r.t. to df-mbf 25503). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfmbfcex.s	⊢ 𝑆 = dom vol
smfmbfcex.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
smfmbfcex.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑆)
smfmbfcex.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)

Assertion

Ref	Expression
smfmbfcex	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfmbfcex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1909	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		smfmbfcex.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = dom vol
3		dmvolsal 45634	. . . . 5 ⊢ dom vol ∈ SAlg
4	2, 3	eqeltri 2823	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ SAlg
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		smfmbfcex.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
7	2	unieqi 4914	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑆 = ∪ dom vol
8		unidmvol 25425	. . . . 5 ⊢ ∪ dom vol = ℝ
9	7, 8	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑆 = ℝ
10	6, 9	sseqtrrdi 4028	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ 𝑆)
11		0red 11221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12		smfmbfcex.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)
13	1, 5, 10, 11, 12	smfconst 46037	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
14		smfmbfcex.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑆)
15		0red 11221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
16	12, 15	dmmptd 6689	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
17	2	eqcomi 2735	. . . . . 6 ⊢ dom vol = 𝑆
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom vol = 𝑆)
19	16, 18	eleq12d 2821	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝑋 ∈ 𝑆))
20	14, 19	mtbird 325	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ dom 𝐹 ∈ dom vol)
21		mbfdm 25510	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
22	20, 21	nsyl 140	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ MblFn)
23	13, 22	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943  ∪ cuni 4902   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  ‘cfv 6537  ℝcr 11111  0cc0 11112  volcvol 25347  MblFncmbf 25498  SAlgcsalg 45596  SMblFncsmblfn 45983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-rest 17377  df-xmet 21233  df-met 21234  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-salg 45597  df-smblfn 45984

This theorem is referenced by:  nsssmfmbflem  46066