Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfmbfcex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfmbfcex 43804
 Description: A constant function, with non-lebesgue-measurable domain is a sigma-measurable functions (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals) but it is not a measurable functions ( w.r.t. to df-mbf 24333). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfmbfcex.s 𝑆 = dom vol
smfmbfcex.x (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
smfmbfcex.n (𝜑 → ¬ 𝑋𝑆)
smfmbfcex.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ 0)
Assertion
Ref Expression
smfmbfcex (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfmbfcex
StepHypRef Expression
1 nfv 1915 . . 3 𝑥𝜑
2 smfmbfcex.s . . . . 5 𝑆 = dom vol
3 dmvolsal 43397 . . . . 5 dom vol ∈ SAlg
42, 3eqeltri 2848 . . . 4 𝑆 ∈ SAlg
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
6 smfmbfcex.x . . . 4 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
72unieqi 4814 . . . . 5 𝑆 = dom vol
8 unidmvol 24255 . . . . 5 dom vol = ℝ
97, 8eqtri 2781 . . . 4 𝑆 = ℝ
106, 9sseqtrrdi 3945 . . 3 (𝜑𝑋 𝑆)
11 0red 10695 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12 smfmbfcex.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ 0)
131, 5, 10, 11, 12smfconst 43794 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
14 smfmbfcex.n . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑆)
15 0red 10695 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ∈ ℝ)
1612, 15dmmptd 6481 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
172eqcomi 2767 . . . . . 6 dom vol = 𝑆
1817a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → dom vol = 𝑆)
1916, 18eleq12d 2846 . . . 4 (𝜑 → (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝑋𝑆))
2014, 19mtbird 328 . . 3 (𝜑 → ¬ dom 𝐹 ∈ dom vol)
21 mbfdm 24340 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
2220, 21nsyl 142 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ MblFn)
2313, 22jca 515 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3860  ∪ cuni 4801   ↦ cmpt 5116  dom cdm 5528  ‘cfv 6340  ℝcr 10587  0cc0 10588  volcvol 24177  MblFncmbf 24328  SAlgcsalg 43361  SMblFncsmblfn 43745 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cc 9908  ax-ac2 9936  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-disj 5002  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-dju 9376  df-card 9414  df-acn 9417  df-ac 9589  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xadd 12562  df-ioo 12796  df-ico 12798  df-icc 12799  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-fl 13224  df-seq 13432  df-exp 13493  df-hash 13754  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-clim 14906  df-rlim 14907  df-sum 15104  df-rest 16768  df-xmet 20173  df-met 20174  df-ovol 24178  df-vol 24179  df-mbf 24333  df-salg 43362  df-smblfn 43746 This theorem is referenced by:  nsssmfmbflem  43822
 Copyright terms: Public domain W3C validator