Theorem smfmbfcex 46765

Description: A constant function, with non-lebesgue-measurable domain is a sigma-measurable functions (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals) but it is not a measurable functions ( w.r.t. to df-mbf 25527). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfmbfcex.s	⊢ 𝑆 = dom vol
smfmbfcex.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
smfmbfcex.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑆)
smfmbfcex.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)

Assertion

Ref	Expression
smfmbfcex	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfmbfcex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		smfmbfcex.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = dom vol
3		dmvolsal 46351	. . . . 5 ⊢ dom vol ∈ SAlg
4	2, 3	eqeltri 2825	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ SAlg
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		smfmbfcex.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
7	2	unieqi 4886	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑆 = ∪ dom vol
8		unidmvol 25449	. . . . 5 ⊢ ∪ dom vol = ℝ
9	7, 8	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑆 = ℝ
10	6, 9	sseqtrrdi 3991	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ∪ 𝑆)
11		0red 11184	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12		smfmbfcex.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)
13	1, 5, 10, 11, 12	smfconst 46754	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
14		smfmbfcex.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑆)
15		0red 11184	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
16	12, 15	dmmptd 6666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
17	2	eqcomi 2739	. . . . . 6 ⊢ dom vol = 𝑆
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom vol = 𝑆)
19	16, 18	eleq12d 2823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝑋 ∈ 𝑆))
20	14, 19	mtbird 325	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ dom 𝐹 ∈ dom vol)
21		mbfdm 25534	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
22	20, 21	nsyl 140	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ MblFn)
23	13, 22	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝐹 ∈ MblFn))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  ∪ cuni 4874   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  ℝcr 11074  0cc0 11075  volcvol 25371  MblFncmbf 25522  SAlgcsalg 46313  SMblFncsmblfn 46700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cc 10395  ax-ac2 10423  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-acn 9902  df-ac 10076  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xadd 13080  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-rest 17392  df-xmet 21264  df-met 21265  df-ovol 25372  df-vol 25373  df-mbf 25527  df-salg 46314  df-smblfn 46701

This theorem is referenced by:  nsssmfmbflem  46783