Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisumlema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisumlema 26171
 Description: Lemma for dchrisum 26175. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrisum.2 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
dchrisum.6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
dchrisum.7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
dchrisumlema (𝜑 → ((𝐼 ∈ ℝ+𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ 𝐼 / 𝑛𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛, 1   𝑛,𝐹,𝑥   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝐴   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥   𝐵,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥   𝐷,𝑛,𝑥   𝑛,𝐿,𝑥   𝑛,𝑀,𝑥   𝑛,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem dchrisumlema
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrisum.4 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
21ralrimiva 3113 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ)
3 nfcsb1v 3829 . . . . 5 𝑛𝐼 / 𝑛𝐴
43nfel1 2935 . . . 4 𝑛𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ
5 csbeq1a 3819 . . . . 5 (𝑛 = 𝐼𝐴 = 𝐼 / 𝑛𝐴)
65eleq1d 2836 . . . 4 (𝑛 = 𝐼 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
74, 6rspc 3529 . . 3 (𝐼 ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ → 𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
82, 7syl5com 31 . 2 (𝜑 → (𝐼 ∈ ℝ+𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
9 eqid 2758 . . . 4 (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) = (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))
10 dchrisum.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1110nnred 11689 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
12 elicopnf 12877 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ → (𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐼)))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐼)))
1413simprbda 502 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝐼 ∈ ℝ)
1514flcld 13217 . . . . 5 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (⌊‘𝐼) ∈ ℤ)
1615peano2zd 12129 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ((⌊‘𝐼) + 1) ∈ ℤ)
17 nnuz 12321 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
18 1zzd 12052 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
19 dchrisum.6 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
20 nnrp 12441 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ+)
2120ssriv 3896 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℝ+
22 eqid 2758 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) = (𝑛 ∈ ℝ+𝐴)
2322, 1dmmptd 6476 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) = ℝ+)
2421, 23sseqtrrid 3945 . . . . . 6 (𝜑 → ℕ ⊆ dom (𝑛 ∈ ℝ+𝐴))
2517, 18, 19, 24rlimclim1 14950 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝ 0)
2625adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝ 0)
27 0red 10682 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
2811adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
2910nngt0d 11723 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝑀)
3029adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 < 𝑀)
3113simplbda 503 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀𝐼)
3227, 28, 14, 30, 31ltletrd 10838 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 < 𝐼)
3314, 32elrpd 12469 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝐼 ∈ ℝ+)
342adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ)
3533, 34, 7sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
3635recnd 10707 . . . . 5 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
37 ssid 3914 . . . . . 6 (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) ⊆ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))
38 fvex 6671 . . . . . 6 (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) ∈ V
3937, 38climconst2 14953 . . . . 5 ((𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ ∧ ((⌊‘𝐼) + 1) ∈ ℤ) → ((ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) × {𝐼 / 𝑛𝐴}) ⇝ 𝐼 / 𝑛𝐴)
4036, 16, 39syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ((ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) × {𝐼 / 𝑛𝐴}) ⇝ 𝐼 / 𝑛𝐴)
4133rpge0d 12476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐼)
42 flge0nn0 13239 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐼) → (⌊‘𝐼) ∈ ℕ0)
4314, 41, 42syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (⌊‘𝐼) ∈ ℕ0)
44 nn0p1nn 11973 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐼) ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝐼) + 1) ∈ ℕ)
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ((⌊‘𝐼) + 1) ∈ ℕ)
46 eluznn 12358 . . . . . . . 8 ((((⌊‘𝐼) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
4745, 46sylan 583 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
4847nnrpd 12470 . . . . . 6 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝑖 ∈ ℝ+)
492ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → ∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ)
50 nfcsb1v 3829 . . . . . . . . 9 𝑛𝑖 / 𝑛𝐴
5150nfel1 2935 . . . . . . . 8 𝑛𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ
52 csbeq1a 3819 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑖𝐴 = 𝑖 / 𝑛𝐴)
5352eleq1d 2836 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑖 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
5451, 53rspc 3529 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
5548, 49, 54sylc 65 . . . . . 6 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
5622fvmpts 6762 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ ℝ+𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℝ+𝐴)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑛𝐴)
5748, 55, 56syl2anc 587 . . . . 5 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → ((𝑛 ∈ ℝ+𝐴)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑛𝐴)
5857, 55eqeltrd 2852 . . . 4 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → ((𝑛 ∈ ℝ+𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
59 fvconst2g 6955 . . . . . 6 ((𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → (((ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) × {𝐼 / 𝑛𝐴})‘𝑖) = 𝐼 / 𝑛𝐴)
6035, 59sylan 583 . . . . 5 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → (((ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) × {𝐼 / 𝑛𝐴})‘𝑖) = 𝐼 / 𝑛𝐴)
6135adantr 484 . . . . 5 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
6260, 61eqeltrd 2852 . . . 4 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → (((ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) × {𝐼 / 𝑛𝐴})‘𝑖) ∈ ℝ)
6333adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝐼 ∈ ℝ+)
64 dchrisum.5 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
65643expia 1118 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+)) → ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴))
6665ralrimivva 3120 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴))
6766ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → ∀𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴))
68 nfcv 2919 . . . . . . . . 9 𝑛+
69 nfv 1915 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝑀𝐼𝐼𝑥)
70 nfcv 2919 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝐵
71 nfcv 2919 . . . . . . . . . . 11 𝑛
7270, 71, 3nfbr 5079 . . . . . . . . . 10 𝑛 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴
7369, 72nfim 1897 . . . . . . . . 9 𝑛((𝑀𝐼𝐼𝑥) → 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴)
7468, 73nfralw 3153 . . . . . . . 8 𝑛𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝐼𝐼𝑥) → 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴)
75 breq2 5036 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐼 → (𝑀𝑛𝑀𝐼))
76 breq1 5035 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐼 → (𝑛𝑥𝐼𝑥))
7775, 76anbi12d 633 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝐼 → ((𝑀𝑛𝑛𝑥) ↔ (𝑀𝐼𝐼𝑥)))
785breq2d 5044 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝐼 → (𝐵𝐴𝐵𝐼 / 𝑛𝐴))
7977, 78imbi12d 348 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝐼 → (((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) ↔ ((𝑀𝐼𝐼𝑥) → 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴)))
8079ralbidv 3126 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝐼 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝐼𝐼𝑥) → 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴)))
8174, 80rspc 3529 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝐼𝐼𝑥) → 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴)))
8263, 67, 81sylc 65 . . . . . 6 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝐼𝐼𝑥) → 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴))
8331adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝑀𝐼)
8414adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝐼 ∈ ℝ)
85 reflcl 13215 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℝ → (⌊‘𝐼) ∈ ℝ)
86 peano2re 10851 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐼) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐼) + 1) ∈ ℝ)
8784, 85, 863syl 18 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → ((⌊‘𝐼) + 1) ∈ ℝ)
8847nnred 11689 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
89 fllep1 13220 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 ≤ ((⌊‘𝐼) + 1))
9014, 89syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝐼 ≤ ((⌊‘𝐼) + 1))
9190adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝐼 ≤ ((⌊‘𝐼) + 1))
92 eluzle 12295 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) → ((⌊‘𝐼) + 1) ≤ 𝑖)
9392adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → ((⌊‘𝐼) + 1) ≤ 𝑖)
9484, 87, 88, 91, 93letrd 10835 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝐼𝑖)
9583, 94jca 515 . . . . . 6 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → (𝑀𝐼𝐼𝑖))
96 breq2 5036 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑖 → (𝐼𝑥𝐼𝑖))
9796anbi2d 631 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑖 → ((𝑀𝐼𝐼𝑥) ↔ (𝑀𝐼𝐼𝑖)))
98 eqvisset 3427 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑖𝑖 ∈ V)
99 equtr2 2034 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑖𝑛 = 𝑖) → 𝑥 = 𝑛)
100 dchrisum.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
101100equcoms 2027 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑛𝐴 = 𝐵)
10299, 101syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝑖𝑛 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐵)
10398, 102csbied 3841 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑖𝑖 / 𝑛𝐴 = 𝐵)
104103eqcomd 2764 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑖𝐵 = 𝑖 / 𝑛𝐴)
105104breq1d 5042 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑖 → (𝐵𝐼 / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴𝐼 / 𝑛𝐴))
10697, 105imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑖 → (((𝑀𝐼𝐼𝑥) → 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴) ↔ ((𝑀𝐼𝐼𝑖) → 𝑖 / 𝑛𝐴𝐼 / 𝑛𝐴)))
107106rspcv 3536 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝐼𝐼𝑥) → 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴) → ((𝑀𝐼𝐼𝑖) → 𝑖 / 𝑛𝐴𝐼 / 𝑛𝐴)))
10848, 82, 95, 107syl3c 66 . . . . 5 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝑖 / 𝑛𝐴𝐼 / 𝑛𝐴)
109108, 57, 603brtr4d 5064 . . . 4 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → ((𝑛 ∈ ℝ+𝐴)‘𝑖) ≤ (((ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) × {𝐼 / 𝑛𝐴})‘𝑖))
1109, 16, 26, 40, 58, 62, 109climle 15044 . . 3 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐼 / 𝑛𝐴)
111110ex 416 . 2 (𝜑 → (𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ 𝐼 / 𝑛𝐴))
1128, 111jca 515 1 (𝜑 → ((𝐼 ∈ ℝ+𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ 𝐼 / 𝑛𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  Vcvv 3409  ⦋csb 3805  {csn 4522   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112   × cxp 5522  dom cdm 5524  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℂcc 10573  ℝcr 10574  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   · cmul 10580  +∞cpnf 10710   < clt 10713   ≤ cle 10714  ℕcn 11674  ℕ0cn0 11934  ℤcz 12020  ℤ≥cuz 12282  ℝ+crp 12430  [,)cico 12781  ⌊cfl 13209   ⇝ cli 14889   ⇝𝑟 crli 14890  Basecbs 16541  0gc0g 16771  ℤRHomczrh 20269  ℤ/nℤczn 20272  DChrcdchr 25915 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-pm 8419  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-sup 8939  df-inf 8940  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-ico 12785  df-fl 13211  df-seq 13419  df-exp 13480  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-clim 14893  df-rlim 14894 This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  26173  dchrisumlem3  26174
 Copyright terms: Public domain W3C validator