MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisumlema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisumlema 26836
Description: Lemma for dchrisum 26840. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrisum.2 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
dchrisum.6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
dchrisum.7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
dchrisumlema (𝜑 → ((𝐼 ∈ ℝ+𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ 𝐼 / 𝑛𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛, 1   𝑛,𝐹,𝑥   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝐴   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥   𝐵,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥   𝐷,𝑛,𝑥   𝑛,𝐿,𝑥   𝑛,𝑀,𝑥   𝑛,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem dchrisumlema
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrisum.4 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
21ralrimiva 3143 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ)
3 nfcsb1v 3880 . . . . 5 𝑛𝐼 / 𝑛𝐴
43nfel1 2923 . . . 4 𝑛𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ
5 csbeq1a 3869 . . . . 5 (𝑛 = 𝐼𝐴 = 𝐼 / 𝑛𝐴)
65eleq1d 2822 . . . 4 (𝑛 = 𝐼 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
74, 6rspc 3569 . . 3 (𝐼 ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ → 𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
82, 7syl5com 31 . 2 (𝜑 → (𝐼 ∈ ℝ+𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
9 eqid 2736 . . . 4 (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) = (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))
10 dchrisum.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1110nnred 12168 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
12 elicopnf 13362 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ → (𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐼)))
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝐼)))
1413simprbda 499 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝐼 ∈ ℝ)
1514flcld 13703 . . . . 5 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (⌊‘𝐼) ∈ ℤ)
1615peano2zd 12610 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ((⌊‘𝐼) + 1) ∈ ℤ)
17 nnuz 12806 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
18 1zzd 12534 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
19 dchrisum.6 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
20 nnrp 12926 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ+)
2120ssriv 3948 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℝ+
22 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) = (𝑛 ∈ ℝ+𝐴)
2322, 1dmmptd 6646 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) = ℝ+)
2421, 23sseqtrrid 3997 . . . . . 6 (𝜑 → ℕ ⊆ dom (𝑛 ∈ ℝ+𝐴))
2517, 18, 19, 24rlimclim1 15427 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝ 0)
2625adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝ 0)
27 0red 11158 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
2811adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
2910nngt0d 12202 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝑀)
3029adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 < 𝑀)
3113simplbda 500 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀𝐼)
3227, 28, 14, 30, 31ltletrd 11315 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 < 𝐼)
3314, 32elrpd 12954 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝐼 ∈ ℝ+)
342adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ)
3533, 34, 7sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
3635recnd 11183 . . . . 5 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
37 ssid 3966 . . . . . 6 (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) ⊆ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))
38 fvex 6855 . . . . . 6 (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) ∈ V
3937, 38climconst2 15430 . . . . 5 ((𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ ∧ ((⌊‘𝐼) + 1) ∈ ℤ) → ((ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) × {𝐼 / 𝑛𝐴}) ⇝ 𝐼 / 𝑛𝐴)
4036, 16, 39syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ((ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) × {𝐼 / 𝑛𝐴}) ⇝ 𝐼 / 𝑛𝐴)
4133rpge0d 12961 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐼)
42 flge0nn0 13725 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐼) → (⌊‘𝐼) ∈ ℕ0)
4314, 41, 42syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (⌊‘𝐼) ∈ ℕ0)
44 nn0p1nn 12452 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐼) ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝐼) + 1) ∈ ℕ)
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ((⌊‘𝐼) + 1) ∈ ℕ)
46 eluznn 12843 . . . . . . . 8 ((((⌊‘𝐼) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
4745, 46sylan 580 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
4847nnrpd 12955 . . . . . 6 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝑖 ∈ ℝ+)
492ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → ∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ)
50 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . 9 𝑛𝑖 / 𝑛𝐴
5150nfel1 2923 . . . . . . . 8 𝑛𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ
52 csbeq1a 3869 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑖𝐴 = 𝑖 / 𝑛𝐴)
5352eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑖 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
5451, 53rspc 3569 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
5548, 49, 54sylc 65 . . . . . 6 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
5622fvmpts 6951 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ ℝ+𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℝ+𝐴)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑛𝐴)
5748, 55, 56syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → ((𝑛 ∈ ℝ+𝐴)‘𝑖) = 𝑖 / 𝑛𝐴)
5857, 55eqeltrd 2838 . . . 4 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → ((𝑛 ∈ ℝ+𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
59 fvconst2g 7151 . . . . . 6 ((𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → (((ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) × {𝐼 / 𝑛𝐴})‘𝑖) = 𝐼 / 𝑛𝐴)
6035, 59sylan 580 . . . . 5 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → (((ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) × {𝐼 / 𝑛𝐴})‘𝑖) = 𝐼 / 𝑛𝐴)
6135adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
6260, 61eqeltrd 2838 . . . 4 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → (((ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) × {𝐼 / 𝑛𝐴})‘𝑖) ∈ ℝ)
6333adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝐼 ∈ ℝ+)
64 dchrisum.5 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
65643expia 1121 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+)) → ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴))
6665ralrimivva 3197 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴))
6766ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → ∀𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴))
68 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑛+
69 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝑀𝐼𝐼𝑥)
70 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝐵
71 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑛
7270, 71, 3nfbr 5152 . . . . . . . . . 10 𝑛 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴
7369, 72nfim 1899 . . . . . . . . 9 𝑛((𝑀𝐼𝐼𝑥) → 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴)
7468, 73nfralw 3294 . . . . . . . 8 𝑛𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝐼𝐼𝑥) → 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴)
75 breq2 5109 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐼 → (𝑀𝑛𝑀𝐼))
76 breq1 5108 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐼 → (𝑛𝑥𝐼𝑥))
7775, 76anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝐼 → ((𝑀𝑛𝑛𝑥) ↔ (𝑀𝐼𝐼𝑥)))
785breq2d 5117 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝐼 → (𝐵𝐴𝐵𝐼 / 𝑛𝐴))
7977, 78imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝐼 → (((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) ↔ ((𝑀𝐼𝐼𝑥) → 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴)))
8079ralbidv 3174 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝐼 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝐼𝐼𝑥) → 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴)))
8174, 80rspc 3569 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝑛𝑛𝑥) → 𝐵𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝐼𝐼𝑥) → 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴)))
8263, 67, 81sylc 65 . . . . . 6 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝐼𝐼𝑥) → 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴))
8331adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝑀𝐼)
8414adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝐼 ∈ ℝ)
85 reflcl 13701 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℝ → (⌊‘𝐼) ∈ ℝ)
86 peano2re 11328 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐼) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐼) + 1) ∈ ℝ)
8784, 85, 863syl 18 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → ((⌊‘𝐼) + 1) ∈ ℝ)
8847nnred 12168 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
89 fllep1 13706 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 ≤ ((⌊‘𝐼) + 1))
9014, 89syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝐼 ≤ ((⌊‘𝐼) + 1))
9190adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝐼 ≤ ((⌊‘𝐼) + 1))
92 eluzle 12776 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) → ((⌊‘𝐼) + 1) ≤ 𝑖)
9392adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → ((⌊‘𝐼) + 1) ≤ 𝑖)
9484, 87, 88, 91, 93letrd 11312 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝐼𝑖)
9583, 94jca 512 . . . . . 6 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → (𝑀𝐼𝐼𝑖))
96 breq2 5109 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑖 → (𝐼𝑥𝐼𝑖))
9796anbi2d 629 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑖 → ((𝑀𝐼𝐼𝑥) ↔ (𝑀𝐼𝐼𝑖)))
98 eqvisset 3462 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑖𝑖 ∈ V)
99 equtr2 2030 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑖𝑛 = 𝑖) → 𝑥 = 𝑛)
100 dchrisum.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
101100equcoms 2023 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑛𝐴 = 𝐵)
10299, 101syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝑖𝑛 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐵)
10398, 102csbied 3893 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑖𝑖 / 𝑛𝐴 = 𝐵)
104103eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑖𝐵 = 𝑖 / 𝑛𝐴)
105104breq1d 5115 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑖 → (𝐵𝐼 / 𝑛𝐴𝑖 / 𝑛𝐴𝐼 / 𝑛𝐴))
10697, 105imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑖 → (((𝑀𝐼𝐼𝑥) → 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴) ↔ ((𝑀𝐼𝐼𝑖) → 𝑖 / 𝑛𝐴𝐼 / 𝑛𝐴)))
107106rspcv 3577 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑀𝐼𝐼𝑥) → 𝐵𝐼 / 𝑛𝐴) → ((𝑀𝐼𝐼𝑖) → 𝑖 / 𝑛𝐴𝐼 / 𝑛𝐴)))
10848, 82, 95, 107syl3c 66 . . . . 5 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → 𝑖 / 𝑛𝐴𝐼 / 𝑛𝐴)
109108, 57, 603brtr4d 5137 . . . 4 (((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1))) → ((𝑛 ∈ ℝ+𝐴)‘𝑖) ≤ (((ℤ‘((⌊‘𝐼) + 1)) × {𝐼 / 𝑛𝐴})‘𝑖))
1109, 16, 26, 40, 58, 62, 109climle 15522 . . 3 ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐼 / 𝑛𝐴)
111110ex 413 . 2 (𝜑 → (𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ 𝐼 / 𝑛𝐴))
1128, 111jca 512 1 (𝜑 → ((𝐼 ∈ ℝ+𝐼 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐼 ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ 𝐼 / 𝑛𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  csb 3855  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  dom cdm 5633  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186   < clt 11189  cle 11190  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  [,)cico 13266  cfl 13695  cli 15366  𝑟 crli 15367  Basecbs 17083  0gc0g 17321  ℤRHomczrh 20900  ℤ/nczn 20903  DChrcdchr 26580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371
This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  26838  dchrisumlem3  26839
  Copyright terms: Public domain W3C validator