MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptres3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptres3 25343
Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptres3.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
dvmptres3.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvmptres3.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
dvmptres3.y (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑋) = π‘Œ)
dvmptres3.a ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
dvmptres3.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
dvmptres3.d (πœ‘ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
dvmptres3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐡))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐽(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem dvmptres3
StepHypRef Expression
1 dvmptres3.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 dvmptres3.a . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
32fmpttd 7067 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚)
4 dvmptres3.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
5 dvmptres3.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
65dmeqd 5865 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = dom (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
7 eqid 2733 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)
8 dvmptres3.b . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
97, 8dmmptd 6650 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = 𝑋)
106, 9eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = 𝑋)
11 dvmptres3.j . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1211dvres3a 25301 . . 3 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚) ∧ (𝑋 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = 𝑋)) β†’ (𝑆 D ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) β†Ύ 𝑆))
131, 3, 4, 10, 12syl22anc 838 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) β†Ύ 𝑆))
14 rescom 5967 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆) β†Ύ 𝑋)
15 resres 5954 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆) β†Ύ 𝑋) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑆 ∩ 𝑋))
1614, 15eqtri 2761 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑆 ∩ 𝑋))
17 dvmptres3.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑋) = π‘Œ)
1817reseq2d 5941 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑆 ∩ 𝑋)) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ))
1916, 18eqtrid 2785 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ))
20 ffn 6672 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) Fn 𝑋)
21 fnresdm 6624 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) Fn 𝑋 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
223, 20, 213syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
2322reseq1d 5940 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆))
24 inss2 4193 . . . . . 6 (𝑆 ∩ 𝑋) βŠ† 𝑋
2517, 24eqsstrrdi 4003 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
2625resmptd 5998 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))
2719, 23, 263eqtr3d 2781 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))
2827oveq2d 7377 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆)) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)))
29 rescom 5967 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑆) β†Ύ 𝑋)
30 resres 5954 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑆) β†Ύ 𝑋) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝑆 ∩ 𝑋))
3129, 30eqtri 2761 . . . 4 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝑆 ∩ 𝑋))
3217reseq2d 5941 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝑆 ∩ 𝑋)) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ π‘Œ))
3331, 32eqtrid 2785 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ π‘Œ))
348ralrimiva 3140 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ 𝑉)
357fnmpt 6645 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) Fn 𝑋)
36 fnresdm 6624 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) Fn 𝑋 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
3734, 35, 363syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
3837, 5eqtr4d 2776 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)))
3938reseq1d 5940 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = ((β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) β†Ύ 𝑆))
4025resmptd 5998 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ π‘Œ) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐡))
4133, 39, 403eqtr3d 2781 . 2 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) β†Ύ 𝑆) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐡))
4213, 28, 413eqtr3d 2781 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3913  {cpr 4592   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637   β†Ύ cres 5639   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  TopOpenctopn 17311  β„‚fldccnfld 20819   D cdv 25250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-icc 13280  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-rest 17312  df-topn 17313  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-limc 25253  df-dv 25254
This theorem is referenced by:  dvmptid  25344  dvmptc  25345  taylthlem1  25755  taylthlem2  25756  pige3ALT  25899  dvcxp1  26116  dvreasin  36214  dvreacos  36215  areacirclem1  36216
  Copyright terms: Public domain W3C validator