MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptres3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvmptres3 25843
Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptres3.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
dvmptres3.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvmptres3.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
dvmptres3.y (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑋) = π‘Œ)
dvmptres3.a ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
dvmptres3.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
dvmptres3.d (πœ‘ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
dvmptres3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐡))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐽(π‘₯)   𝑉(π‘₯)
Proof of Theorem dvmptres3
StepHypRef Expression
1 dvmptres3.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 dvmptres3.a . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
32fmpttd 7110 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚)
4 dvmptres3.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
5 dvmptres3.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
65dmeqd 5899 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = dom (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
7 eqid 2726 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)
8 dvmptres3.b . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
97, 8dmmptd 6689 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = 𝑋)
106, 9eqtrd 2766 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = 𝑋)
11 dvmptres3.j . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1211dvres3a 25798 . . 3 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚) ∧ (𝑋 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = 𝑋)) β†’ (𝑆 D ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) β†Ύ 𝑆))
131, 3, 4, 10, 12syl22anc 836 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) β†Ύ 𝑆))
14 rescom 6001 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆) β†Ύ 𝑋)
15 resres 5988 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆) β†Ύ 𝑋) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑆 ∩ 𝑋))
1614, 15eqtri 2754 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑆 ∩ 𝑋))
17 dvmptres3.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑋) = π‘Œ)
1817reseq2d 5975 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑆 ∩ 𝑋)) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ))
1916, 18eqtrid 2778 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ))
20 ffn 6711 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) Fn 𝑋)
21 fnresdm 6663 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) Fn 𝑋 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
223, 20, 213syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
2322reseq1d 5974 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆))
24 inss2 4224 . . . . . 6 (𝑆 ∩ 𝑋) βŠ† 𝑋
2517, 24eqsstrrdi 4032 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
2625resmptd 6034 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))
2719, 23, 263eqtr3d 2774 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))
2827oveq2d 7421 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆)) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)))
29 rescom 6001 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑆) β†Ύ 𝑋)
30 resres 5988 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑆) β†Ύ 𝑋) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝑆 ∩ 𝑋))
3129, 30eqtri 2754 . . . 4 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝑆 ∩ 𝑋))
3217reseq2d 5975 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝑆 ∩ 𝑋)) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ π‘Œ))
3331, 32eqtrid 2778 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ π‘Œ))
348ralrimiva 3140 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ 𝑉)
357fnmpt 6684 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) Fn 𝑋)
36 fnresdm 6663 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) Fn 𝑋 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
3734, 35, 363syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
3837, 5eqtr4d 2769 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)))
3938reseq1d 5974 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = ((β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) β†Ύ 𝑆))
4025resmptd 6034 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ π‘Œ) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐡))
4133, 39, 403eqtr3d 2774 . 2 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) β†Ύ 𝑆) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐡))
4213, 28, 413eqtr3d 2774 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   ∩ cin 3942  {cpr 4625   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  TopOpenctopn 17376  β„‚fldccnfld 21240   D cdv 25747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-icc 13337  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-rest 17377  df-topn 17378  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-limc 25750  df-dv 25751
This theorem is referenced by:  dvmptid  25844  dvmptc  25845  taylthlem1  26263  taylthlem2  26264  taylthlem2OLD  26265  pige3ALT  26409  dvcxp1  26629  dvreasin  37087  dvreacos  37088  areacirclem1  37089
  Copyright terms: Public domain W3C validator