MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptres3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptres3 25901
Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptres3.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
dvmptres3.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptres3.x (𝜑𝑋𝐽)
dvmptres3.y (𝜑 → (𝑆𝑋) = 𝑌)
dvmptres3.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptres3.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
dvmptres3.d (𝜑 → (ℂ D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
Assertion
Ref Expression
dvmptres3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑌𝐴)) = (𝑥𝑌𝐵))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dvmptres3
StepHypRef Expression
1 dvmptres3.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvmptres3.a . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
32fmpttd 7125 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
4 dvmptres3.x . . 3 (𝜑𝑋𝐽)
5 dvmptres3.d . . . . 5 (𝜑 → (ℂ D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
65dmeqd 5908 . . . 4 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑥𝑋𝐴)) = dom (𝑥𝑋𝐵))
7 eqid 2728 . . . . 5 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝐵)
8 dvmptres3.b . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
97, 8dmmptd 6700 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝑋𝐵) = 𝑋)
106, 9eqtrd 2768 . . 3 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑥𝑋𝐴)) = 𝑋)
11 dvmptres3.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
1211dvres3a 25856 . . 3 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋𝐽 ∧ dom (ℂ D (𝑥𝑋𝐴)) = 𝑋)) → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ 𝑆))
131, 3, 4, 10, 12syl22anc 838 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ 𝑆))
14 rescom 6011 . . . . . 6 (((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑋) ↾ 𝑆) = (((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑆) ↾ 𝑋)
15 resres 5998 . . . . . 6 (((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑆) ↾ 𝑋) = ((𝑥𝑋𝐴) ↾ (𝑆𝑋))
1614, 15eqtri 2756 . . . . 5 (((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑋) ↾ 𝑆) = ((𝑥𝑋𝐴) ↾ (𝑆𝑋))
17 dvmptres3.y . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑋) = 𝑌)
1817reseq2d 5985 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ (𝑆𝑋)) = ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌))
1916, 18eqtrid 2780 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑋) ↾ 𝑆) = ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌))
20 ffn 6722 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ → (𝑥𝑋𝐴) Fn 𝑋)
21 fnresdm 6674 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝐴) Fn 𝑋 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑋) = (𝑥𝑋𝐴))
223, 20, 213syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑋) = (𝑥𝑋𝐴))
2322reseq1d 5984 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑋) ↾ 𝑆) = ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑆))
24 inss2 4230 . . . . . 6 (𝑆𝑋) ⊆ 𝑋
2517, 24eqsstrrdi 4035 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑋)
2625resmptd 6044 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌) = (𝑥𝑌𝐴))
2719, 23, 263eqtr3d 2776 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑆) = (𝑥𝑌𝐴))
2827oveq2d 7436 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑥𝑌𝐴)))
29 rescom 6011 . . . . 5 (((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑋) ↾ 𝑆) = (((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑆) ↾ 𝑋)
30 resres 5998 . . . . 5 (((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑆) ↾ 𝑋) = ((𝑥𝑋𝐵) ↾ (𝑆𝑋))
3129, 30eqtri 2756 . . . 4 (((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑋) ↾ 𝑆) = ((𝑥𝑋𝐵) ↾ (𝑆𝑋))
3217reseq2d 5985 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐵) ↾ (𝑆𝑋)) = ((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑌))
3331, 32eqtrid 2780 . . 3 (𝜑 → (((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑋) ↾ 𝑆) = ((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑌))
348ralrimiva 3143 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐵𝑉)
357fnmpt 6695 . . . . . 6 (∀𝑥𝑋 𝐵𝑉 → (𝑥𝑋𝐵) Fn 𝑋)
36 fnresdm 6674 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝐵) Fn 𝑋 → ((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑋) = (𝑥𝑋𝐵))
3734, 35, 363syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑋) = (𝑥𝑋𝐵))
3837, 5eqtr4d 2771 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑋) = (ℂ D (𝑥𝑋𝐴)))
3938reseq1d 5984 . . 3 (𝜑 → (((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑋) ↾ 𝑆) = ((ℂ D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ 𝑆))
4025resmptd 6044 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑌) = (𝑥𝑌𝐵))
4133, 39, 403eqtr3d 2776 . 2 (𝜑 → ((ℂ D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ 𝑆) = (𝑥𝑌𝐵))
4213, 28, 413eqtr3d 2776 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑌𝐴)) = (𝑥𝑌𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3058  cin 3946  {cpr 4631  cmpt 5231  dom cdm 5678  cres 5680   Fn wfn 6543  wf 6544  cfv 6548  (class class class)co 7420  cc 11137  cr 11138  TopOpenctopn 17403  fldccnfld 21279   D cdv 25805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-icc 13364  df-fz 13518  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-struct 17116  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-rest 17404  df-topn 17405  df-topgen 17425  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-limc 25808  df-dv 25809
This theorem is referenced by:  dvmptid  25902  dvmptc  25903  taylthlem1  26321  taylthlem2  26322  taylthlem2OLD  26323  pige3ALT  26467  dvcxp1  26687  dvreasin  37179  dvreacos  37180  areacirclem1  37181
  Copyright terms: Public domain W3C validator