MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptres3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvmptres3 25916
Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptres3.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
dvmptres3.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvmptres3.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
dvmptres3.y (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑋) = π‘Œ)
dvmptres3.a ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
dvmptres3.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
dvmptres3.d (πœ‘ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
dvmptres3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐡))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐽(π‘₯)   𝑉(π‘₯)
Proof of Theorem dvmptres3
StepHypRef Expression
1 dvmptres3.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 dvmptres3.a . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
32fmpttd 7130 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚)
4 dvmptres3.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
5 dvmptres3.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
65dmeqd 5912 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = dom (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
7 eqid 2728 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)
8 dvmptres3.b . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
97, 8dmmptd 6705 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = 𝑋)
106, 9eqtrd 2768 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = 𝑋)
11 dvmptres3.j . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1211dvres3a 25871 . . 3 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚) ∧ (𝑋 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = 𝑋)) β†’ (𝑆 D ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) β†Ύ 𝑆))
131, 3, 4, 10, 12syl22anc 837 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) β†Ύ 𝑆))
14 rescom 6012 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆) β†Ύ 𝑋)
15 resres 6002 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆) β†Ύ 𝑋) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑆 ∩ 𝑋))
1614, 15eqtri 2756 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑆 ∩ 𝑋))
17 dvmptres3.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑋) = π‘Œ)
1817reseq2d 5989 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑆 ∩ 𝑋)) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ))
1916, 18eqtrid 2780 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ))
20 ffn 6727 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) Fn 𝑋)
21 fnresdm 6679 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) Fn 𝑋 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
223, 20, 213syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
2322reseq1d 5988 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆))
24 inss2 4232 . . . . . 6 (𝑆 ∩ 𝑋) βŠ† 𝑋
2517, 24eqsstrrdi 4037 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
2625resmptd 6049 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))
2719, 23, 263eqtr3d 2776 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))
2827oveq2d 7442 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆)) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)))
29 rescom 6012 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑆) β†Ύ 𝑋)
30 resres 6002 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑆) β†Ύ 𝑋) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝑆 ∩ 𝑋))
3129, 30eqtri 2756 . . . 4 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝑆 ∩ 𝑋))
3217reseq2d 5989 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝑆 ∩ 𝑋)) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ π‘Œ))
3331, 32eqtrid 2780 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ π‘Œ))
348ralrimiva 3143 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ 𝑉)
357fnmpt 6700 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) Fn 𝑋)
36 fnresdm 6679 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) Fn 𝑋 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
3734, 35, 363syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
3837, 5eqtr4d 2771 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)))
3938reseq1d 5988 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = ((β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) β†Ύ 𝑆))
4025resmptd 6049 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ π‘Œ) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐡))
4133, 39, 403eqtr3d 2776 . 2 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) β†Ύ 𝑆) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐡))
4213, 28, 413eqtr3d 2776 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058   ∩ cin 3948  {cpr 4634   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682   β†Ύ cres 5684   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11146  β„cr 11147  TopOpenctopn 17412  β„‚fldccnfld 21293   D cdv 25820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-icc 13373  df-fz 13527  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-struct 17125  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-rest 17413  df-topn 17414  df-topgen 17434  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-nei 23030  df-lp 23068  df-perf 23069  df-cnp 23160  df-haus 23247  df-fil 23778  df-fm 23870  df-flim 23871  df-flf 23872  df-xms 24254  df-ms 24255  df-limc 25823  df-dv 25824
This theorem is referenced by:  dvmptid  25917  dvmptc  25918  taylthlem1  26336  taylthlem2  26337  taylthlem2OLD  26338  pige3ALT  26482  dvcxp1  26702  dvreasin  37220  dvreacos  37221  areacirclem1  37222
  Copyright terms: Public domain W3C validator