MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptres3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvmptres3 25472
Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptres3.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
dvmptres3.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvmptres3.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
dvmptres3.y (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑋) = π‘Œ)
dvmptres3.a ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
dvmptres3.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
dvmptres3.d (πœ‘ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
dvmptres3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐡))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐽(π‘₯)   𝑉(π‘₯)
Proof of Theorem dvmptres3
StepHypRef Expression
1 dvmptres3.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 dvmptres3.a . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
32fmpttd 7114 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚)
4 dvmptres3.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
5 dvmptres3.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
65dmeqd 5905 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = dom (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
7 eqid 2732 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)
8 dvmptres3.b . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
97, 8dmmptd 6695 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = 𝑋)
106, 9eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = 𝑋)
11 dvmptres3.j . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1211dvres3a 25430 . . 3 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚) ∧ (𝑋 ∈ 𝐽 ∧ dom (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = 𝑋)) β†’ (𝑆 D ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) β†Ύ 𝑆))
131, 3, 4, 10, 12syl22anc 837 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) β†Ύ 𝑆))
14 rescom 6007 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆) β†Ύ 𝑋)
15 resres 5994 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆) β†Ύ 𝑋) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑆 ∩ 𝑋))
1614, 15eqtri 2760 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑆 ∩ 𝑋))
17 dvmptres3.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑋) = π‘Œ)
1817reseq2d 5981 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑆 ∩ 𝑋)) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ))
1916, 18eqtrid 2784 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ))
20 ffn 6717 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆβ„‚ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) Fn 𝑋)
21 fnresdm 6669 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) Fn 𝑋 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
223, 20, 213syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴))
2322reseq1d 5980 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆))
24 inss2 4229 . . . . . 6 (𝑆 ∩ 𝑋) βŠ† 𝑋
2517, 24eqsstrrdi 4037 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
2625resmptd 6040 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ π‘Œ) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))
2719, 23, 263eqtr3d 2780 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴))
2827oveq2d 7424 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) β†Ύ 𝑆)) = (𝑆 D (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)))
29 rescom 6007 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑆) β†Ύ 𝑋)
30 resres 5994 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑆) β†Ύ 𝑋) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝑆 ∩ 𝑋))
3129, 30eqtri 2760 . . . 4 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝑆 ∩ 𝑋))
3217reseq2d 5981 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ (𝑆 ∩ 𝑋)) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ π‘Œ))
3331, 32eqtrid 2784 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ π‘Œ))
348ralrimiva 3146 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ 𝑉)
357fnmpt 6690 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) Fn 𝑋)
36 fnresdm 6669 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) Fn 𝑋 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
3734, 35, 363syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡))
3837, 5eqtr4d 2775 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)))
3938reseq1d 5980 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ 𝑋) β†Ύ 𝑆) = ((β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) β†Ύ 𝑆))
4025resmptd 6040 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) β†Ύ π‘Œ) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐡))
4133, 39, 403eqtr3d 2780 . 2 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) β†Ύ 𝑆) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐡))
4213, 28, 413eqtr3d 2780 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3947  {cpr 4630   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108  TopOpenctopn 17366  β„‚fldccnfld 20943   D cdv 25379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-icc 13330  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-limc 25382  df-dv 25383
This theorem is referenced by:  dvmptid  25473  dvmptc  25474  taylthlem1  25884  taylthlem2  25885  pige3ALT  26028  dvcxp1  26245  dvreasin  36569  dvreacos  36570  areacirclem1  36571
  Copyright terms: Public domain W3C validator