Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptres3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptres3 24548
 Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptres3.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
dvmptres3.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptres3.x (𝜑𝑋𝐽)
dvmptres3.y (𝜑 → (𝑆𝑋) = 𝑌)
dvmptres3.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptres3.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
dvmptres3.d (𝜑 → (ℂ D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
Assertion
Ref Expression
dvmptres3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑌𝐴)) = (𝑥𝑌𝐵))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dvmptres3
StepHypRef Expression
1 dvmptres3.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvmptres3.a . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
32fmpttd 6860 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
4 dvmptres3.x . . 3 (𝜑𝑋𝐽)
5 dvmptres3.d . . . . 5 (𝜑 → (ℂ D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
65dmeqd 5755 . . . 4 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑥𝑋𝐴)) = dom (𝑥𝑋𝐵))
7 eqid 2824 . . . . 5 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝐵)
8 dvmptres3.b . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
97, 8dmmptd 6474 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝑋𝐵) = 𝑋)
106, 9eqtrd 2859 . . 3 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑥𝑋𝐴)) = 𝑋)
11 dvmptres3.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
1211dvres3a 24506 . . 3 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋𝐽 ∧ dom (ℂ D (𝑥𝑋𝐴)) = 𝑋)) → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ 𝑆))
131, 3, 4, 10, 12syl22anc 837 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ 𝑆))
14 rescom 5860 . . . . . 6 (((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑋) ↾ 𝑆) = (((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑆) ↾ 𝑋)
15 resres 5847 . . . . . 6 (((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑆) ↾ 𝑋) = ((𝑥𝑋𝐴) ↾ (𝑆𝑋))
1614, 15eqtri 2847 . . . . 5 (((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑋) ↾ 𝑆) = ((𝑥𝑋𝐴) ↾ (𝑆𝑋))
17 dvmptres3.y . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑋) = 𝑌)
1817reseq2d 5834 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ (𝑆𝑋)) = ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌))
1916, 18syl5eq 2871 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑋) ↾ 𝑆) = ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌))
20 ffn 6495 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ → (𝑥𝑋𝐴) Fn 𝑋)
21 fnresdm 6447 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝐴) Fn 𝑋 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑋) = (𝑥𝑋𝐴))
223, 20, 213syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑋) = (𝑥𝑋𝐴))
2322reseq1d 5833 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑋) ↾ 𝑆) = ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑆))
24 inss2 4189 . . . . . 6 (𝑆𝑋) ⊆ 𝑋
2517, 24eqsstrrdi 4006 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑋)
2625resmptd 5889 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑌) = (𝑥𝑌𝐴))
2719, 23, 263eqtr3d 2867 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑆) = (𝑥𝑌𝐴))
2827oveq2d 7154 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑥𝑌𝐴)))
29 rescom 5860 . . . . 5 (((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑋) ↾ 𝑆) = (((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑆) ↾ 𝑋)
30 resres 5847 . . . . 5 (((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑆) ↾ 𝑋) = ((𝑥𝑋𝐵) ↾ (𝑆𝑋))
3129, 30eqtri 2847 . . . 4 (((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑋) ↾ 𝑆) = ((𝑥𝑋𝐵) ↾ (𝑆𝑋))
3217reseq2d 5834 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐵) ↾ (𝑆𝑋)) = ((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑌))
3331, 32syl5eq 2871 . . 3 (𝜑 → (((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑋) ↾ 𝑆) = ((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑌))
348ralrimiva 3176 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐵𝑉)
357fnmpt 6469 . . . . . 6 (∀𝑥𝑋 𝐵𝑉 → (𝑥𝑋𝐵) Fn 𝑋)
36 fnresdm 6447 . . . . . 6 ((𝑥𝑋𝐵) Fn 𝑋 → ((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑋) = (𝑥𝑋𝐵))
3734, 35, 363syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑋) = (𝑥𝑋𝐵))
3837, 5eqtr4d 2862 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑋) = (ℂ D (𝑥𝑋𝐴)))
3938reseq1d 5833 . . 3 (𝜑 → (((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑋) ↾ 𝑆) = ((ℂ D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ 𝑆))
4025resmptd 5889 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑌) = (𝑥𝑌𝐵))
4133, 39, 403eqtr3d 2867 . 2 (𝜑 → ((ℂ D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ 𝑆) = (𝑥𝑌𝐵))
4213, 28, 413eqtr3d 2867 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑌𝐴)) = (𝑥𝑌𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3132   ∩ cin 3917  {cpr 4550   ↦ cmpt 5127  dom cdm 5536   ↾ cres 5538   Fn wfn 6331  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138  ℂcc 10520  ℝcr 10521  TopOpenctopn 16684  ℂfldccnfld 20531   D cdv 24455 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-q 12335  df-rp 12376  df-xneg 12493  df-xadd 12494  df-xmul 12495  df-icc 12731  df-fz 12884  df-seq 13363  df-exp 13424  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-starv 16569  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-unif 16577  df-rest 16685  df-topn 16686  df-topgen 16706  df-psmet 20523  df-xmet 20524  df-met 20525  df-bl 20526  df-mopn 20527  df-fbas 20528  df-fg 20529  df-cnfld 20532  df-top 21488  df-topon 21505  df-topsp 21527  df-bases 21540  df-cld 21613  df-ntr 21614  df-cls 21615  df-nei 21692  df-lp 21730  df-perf 21731  df-cnp 21822  df-haus 21909  df-fil 22440  df-fm 22532  df-flim 22533  df-flf 22534  df-xms 22916  df-ms 22917  df-limc 24458  df-dv 24459 This theorem is referenced by:  dvmptid  24549  dvmptc  24550  taylthlem1  24957  taylthlem2  24958  pige3ALT  25101  dvcxp1  25318  dvreasin  35043  dvreacos  35044  areacirclem1  35045
 Copyright terms: Public domain W3C validator