Theorem infunsdom 10209

Description: The union of two sets that are strictly dominated by the infinite set 𝑋 is also strictly dominated by 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infunsdom	⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)

Proof of Theorem infunsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8976	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		infunsdom1 10208	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
3	2	anass1rs 654	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ 𝐵 ≺ 𝑋) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
4	3	adantlrl 719	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
5	1, 4	sylan2 594	. 2 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
6		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → 𝑋 ∈ dom card)
7		sdomdom 8976	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≺ 𝑋 → 𝐵 ≼ 𝑋)
8	7	ad2antll 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → 𝐵 ≼ 𝑋)
9		numdom 10033	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≼ 𝑋) → 𝐵 ∈ dom card)
10	6, 8, 9	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → 𝐵 ∈ dom card)
11		sdomdom 8976	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝑋 → 𝐴 ≼ 𝑋)
12	11	ad2antrl 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → 𝐴 ≼ 𝑋)
13		numdom 10033	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ dom card ∧ 𝐴 ≼ 𝑋) → 𝐴 ∈ dom card)
14	6, 12, 13	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → 𝐴 ∈ dom card)
15		domtri2 9984	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
16	10, 14, 15	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
17	16	biimpar 479	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
18		uncom 4154	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) = (𝐵 ∪ 𝐴)
19		infunsdom1 10208	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝑋)) → (𝐵 ∪ 𝐴) ≺ 𝑋)
20	18, 19	eqbrtrid 5184	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝑋)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
21	20	anass1rs 654	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ 𝐴 ≺ 𝑋) ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
22	21	adantlrr 720	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
23	17, 22	syldan 592	. 2 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
24	5, 23	pm2.61dan 812	1 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3947   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ωcom 7855   ≼ cdom 8937   ≺ csdm 8938  cardccrd 9930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934

This theorem is referenced by:  csdfil  23398