Theorem infunsdom 10142

Description: The union of two sets that are strictly dominated by the infinite set 𝑋 is also strictly dominated by 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infunsdom	⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)

Proof of Theorem infunsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8928	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		infunsdom1 10141	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
3	2	anass1rs 655	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ 𝐵 ≺ 𝑋) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
4	3	adantlrl 720	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
5	1, 4	sylan2 593	. 2 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
6		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → 𝑋 ∈ dom card)
7		sdomdom 8928	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≺ 𝑋 → 𝐵 ≼ 𝑋)
8	7	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → 𝐵 ≼ 𝑋)
9		numdom 9967	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≼ 𝑋) → 𝐵 ∈ dom card)
10	6, 8, 9	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → 𝐵 ∈ dom card)
11		sdomdom 8928	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝑋 → 𝐴 ≼ 𝑋)
12	11	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → 𝐴 ≼ 𝑋)
13		numdom 9967	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ dom card ∧ 𝐴 ≼ 𝑋) → 𝐴 ∈ dom card)
14	6, 12, 13	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → 𝐴 ∈ dom card)
15		domtri2 9918	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
16	10, 14, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
17	16	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
18		uncom 4117	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) = (𝐵 ∪ 𝐴)
19		infunsdom1 10141	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝑋)) → (𝐵 ∪ 𝐴) ≺ 𝑋)
20	18, 19	eqbrtrid 5137	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝑋)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
21	20	anass1rs 655	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ 𝐴 ≺ 𝑋) ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
22	21	adantlrr 721	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
23	17, 22	syldan 591	. 2 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
24	5, 23	pm2.61dan 812	1 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3909   class class class wbr 5102  dom cdm 5631  ωcom 7822   ≼ cdom 8893   ≺ csdm 8894  cardccrd 9864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-oi 9439  df-dju 9830  df-card 9868

This theorem is referenced by:  csdfil  23757