Theorem infunsdom 10169

Description: The union of two sets that are strictly dominated by the infinite set 𝑋 is also strictly dominated by 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infunsdom	⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)

Proof of Theorem infunsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8961	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		infunsdom1 10168	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
3	2	anass1rs 665	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ 𝐵 ≺ 𝑋) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
4	3	adantlrl 730	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
5	1, 4	sylan2 602	. 2 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
6		simpll 776	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → 𝑋 ∈ dom card)
7		sdomdom 8961	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≺ 𝑋 → 𝐵 ≼ 𝑋)
8	7	ad2antll 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → 𝐵 ≼ 𝑋)
9		numdom 9994	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≼ 𝑋) → 𝐵 ∈ dom card)
10	6, 8, 9	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → 𝐵 ∈ dom card)
11		sdomdom 8961	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝑋 → 𝐴 ≼ 𝑋)
12	11	ad2antrl 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → 𝐴 ≼ 𝑋)
13		numdom 9994	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ dom card ∧ 𝐴 ≼ 𝑋) → 𝐴 ∈ dom card)
14	6, 12, 13	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → 𝐴 ∈ dom card)
15		domtri2 9947	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
16	10, 14, 15	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
17	16	biimpar 481	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
18		uncom 4111	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) = (𝐵 ∪ 𝐴)
19		infunsdom1 10168	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝑋)) → (𝐵 ∪ 𝐴) ≺ 𝑋)
20	18, 19	eqbrtrid 5135	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝑋)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
21	20	anass1rs 665	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ 𝐴 ≺ 𝑋) ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
22	21	adantlrr 731	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
23	17, 22	syldan 600	. 2 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
24	5, 23	pm2.61dan 822	1 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142   ∪ cun 3902   class class class wbr 5100  dom cdm 5647  ωcom 7846   ≼ cdom 8925   ≺ csdm 8926  cardccrd 9893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-oi 9458  df-dju 9859  df-card 9897

This theorem is referenced by:  csdfil  23954