Theorem infunsdom 10218

Description: The union of two sets that are strictly dominated by the infinite set 𝑋 is also strictly dominated by 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infunsdom	⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)

Proof of Theorem infunsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8989	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		infunsdom1 10217	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
3	2	anass1rs 668	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ 𝐵 ≺ 𝑋) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
4	3	adantlrl 733	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
5	1, 4	sylan2 605	. 2 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) ∧ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
6		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → 𝑋 ∈ dom card)
7		sdomdom 8989	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≺ 𝑋 → 𝐵 ≼ 𝑋)
8	7	ad2antll 742	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → 𝐵 ≼ 𝑋)
9		numdom 10044	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≼ 𝑋) → 𝐵 ∈ dom card)
10	6, 8, 9	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → 𝐵 ∈ dom card)
11		sdomdom 8989	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝑋 → 𝐴 ≼ 𝑋)
12	11	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → 𝐴 ≼ 𝑋)
13		numdom 10044	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ dom card ∧ 𝐴 ≼ 𝑋) → 𝐴 ∈ dom card)
14	6, 12, 13	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → 𝐴 ∈ dom card)
15		domtri2 9997	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
16	10, 14, 15	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
17	16	biimpar 483	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
18		uncom 4105	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) = (𝐵 ∪ 𝐴)
19		infunsdom1 10217	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝑋)) → (𝐵 ∪ 𝐴) ≺ 𝑋)
20	18, 19	eqbrtrid 5140	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐵 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝑋)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
21	20	anass1rs 668	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ 𝐴 ≺ 𝑋) ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
22	21	adantlrr 734	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
23	17, 22	syldan 603	. 2 ⊢ ((((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)
24	5, 23	pm2.61dan 825	1 ⊢ (((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) ∧ (𝐴 ≺ 𝑋 ∧ 𝐵 ≺ 𝑋)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   class class class wbr 5103  dom cdm 5655  ωcom 7863   ≼ cdom 8953   ≺ csdm 8954  cardccrd 9943

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947

This theorem is used by:  csdfil  24123