Theorem numinfctb 43076

Description: A numerable infinite set contains a countable subset. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
numinfctb	⊢ ((𝑆 ∈ dom card ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ≼ 𝑆)

Proof of Theorem numinfctb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 9542	. . . . 5 ⊢ ω ∈ On
2		onenon 9845	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ω ∈ dom card
4		domtri2 9885	. . . 4 ⊢ ((ω ∈ dom card ∧ 𝑆 ∈ dom card) → (ω ≼ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≺ ω))
5	3, 4	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ dom card → (ω ≼ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≺ ω))
6		isfinite 9548	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Fin ↔ 𝑆 ≺ ω)
7	6	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑆 ≺ ω)
8	5, 7	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ dom card → (ω ≼ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ∈ Fin))
9	8	biimpar 477	1 ⊢ ((𝑆 ∈ dom card ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ≼ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  dom cdm 5619  Oncon0 6307  ωcom 7799   ≼ cdom 8870   ≺ csdm 8871  Fincfn 8872  cardccrd 9831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835

This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  43078