MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwfseqlem4a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwfseqlem4a 10605
Description: Lemma for pwfseqlem4 10606. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pwfseqlem4.g (πœ‘ β†’ 𝐺:𝒫 𝐴–1-1β†’βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m 𝑛))
pwfseqlem4.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
pwfseqlem4.h (πœ‘ β†’ 𝐻:ω–1-1-onto→𝑋)
pwfseqlem4.ps (πœ“ ↔ ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘₯ Γ— π‘₯) ∧ π‘Ÿ We π‘₯) ∧ Ο‰ β‰Ό π‘₯))
pwfseqlem4.k ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐾:βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (π‘₯ ↑m 𝑛)–1-1β†’π‘₯)
pwfseqlem4.d 𝐷 = (πΊβ€˜{𝑀 ∈ π‘₯ ∣ ((β—‘πΎβ€˜π‘€) ∈ ran 𝐺 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (β—‘πΊβ€˜(β—‘πΎβ€˜π‘€)))})
pwfseqlem4.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ V, π‘Ÿ ∈ V ↦ if(π‘₯ ∈ Fin, (π»β€˜(cardβ€˜π‘₯)), (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯})))
Assertion
Ref Expression
pwfseqlem4a ((πœ‘ ∧ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ 𝑠 We π‘Ž)) β†’ (π‘ŽπΉπ‘ ) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑛,π‘Ÿ,𝑀,π‘₯,𝑧   𝐷,𝑛,𝑧   𝑠,π‘Ž,𝐹   𝑀,𝐺   𝑀,𝐾   π‘Ÿ,π‘Ž,π‘₯,𝑧,𝐻,𝑠   𝑛,π‘Ž,πœ‘,𝑠,π‘Ÿ,π‘₯,𝑧   πœ“,𝑛,𝑧   𝐴,π‘Ž,𝑛,π‘Ÿ,𝑠,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑀)   πœ“(π‘₯,𝑀,𝑠,π‘Ÿ,π‘Ž)   𝐴(𝑀)   𝐷(π‘₯,𝑀,𝑠,π‘Ÿ,π‘Ž)   𝐹(π‘₯,𝑧,𝑀,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑧,𝑛,𝑠,π‘Ÿ,π‘Ž)   𝐻(𝑀,𝑛)   𝐾(π‘₯,𝑧,𝑛,𝑠,π‘Ÿ,π‘Ž)   𝑋(π‘₯,𝑧,𝑀,𝑛,𝑠,π‘Ÿ,π‘Ž)

Proof of Theorem pwfseqlem4a
StepHypRef Expression
1 isfinite 9596 . . 3 (π‘Ž ∈ Fin ↔ π‘Ž β‰Ί Ο‰)
2 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Fin) β†’ π‘Ž ∈ Fin)
3 vex 3451 . . . . . . 7 𝑠 ∈ V
4 pwfseqlem4.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝒫 𝐴–1-1β†’βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (𝐴 ↑m 𝑛))
5 pwfseqlem4.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
6 pwfseqlem4.h . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻:ω–1-1-onto→𝑋)
7 pwfseqlem4.ps . . . . . . . 8 (πœ“ ↔ ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘₯ Γ— π‘₯) ∧ π‘Ÿ We π‘₯) ∧ Ο‰ β‰Ό π‘₯))
8 pwfseqlem4.k . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐾:βˆͺ 𝑛 ∈ Ο‰ (π‘₯ ↑m 𝑛)–1-1β†’π‘₯)
9 pwfseqlem4.d . . . . . . . 8 𝐷 = (πΊβ€˜{𝑀 ∈ π‘₯ ∣ ((β—‘πΎβ€˜π‘€) ∈ ran 𝐺 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (β—‘πΊβ€˜(β—‘πΎβ€˜π‘€)))})
10 pwfseqlem4.f . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘₯ ∈ V, π‘Ÿ ∈ V ↦ if(π‘₯ ∈ Fin, (π»β€˜(cardβ€˜π‘₯)), (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯})))
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10pwfseqlem2 10603 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ Fin ∧ 𝑠 ∈ V) β†’ (π‘ŽπΉπ‘ ) = (π»β€˜(cardβ€˜π‘Ž)))
122, 3, 11sylancl 587 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Fin) β†’ (π‘ŽπΉπ‘ ) = (π»β€˜(cardβ€˜π‘Ž)))
13 f1of 6788 . . . . . . . . 9 (𝐻:ω–1-1-onto→𝑋 β†’ 𝐻:Ο‰βŸΆπ‘‹)
146, 13syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻:Ο‰βŸΆπ‘‹)
1514, 5fssd 6690 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻:Ο‰βŸΆπ΄)
16 ficardom 9905 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ Fin β†’ (cardβ€˜π‘Ž) ∈ Ο‰)
17 ffvelcdm 7036 . . . . . . 7 ((𝐻:Ο‰βŸΆπ΄ ∧ (cardβ€˜π‘Ž) ∈ Ο‰) β†’ (π»β€˜(cardβ€˜π‘Ž)) ∈ 𝐴)
1815, 16, 17syl2an 597 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Fin) β†’ (π»β€˜(cardβ€˜π‘Ž)) ∈ 𝐴)
1912, 18eqeltrd 2834 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ Fin) β†’ (π‘ŽπΉπ‘ ) ∈ 𝐴)
2019ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ Fin β†’ (π‘ŽπΉπ‘ ) ∈ 𝐴))
2120adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ 𝑠 We π‘Ž)) β†’ (π‘Ž ∈ Fin β†’ (π‘ŽπΉπ‘ ) ∈ 𝐴))
221, 21biimtrrid 242 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ 𝑠 We π‘Ž)) β†’ (π‘Ž β‰Ί Ο‰ β†’ (π‘ŽπΉπ‘ ) ∈ 𝐴))
23 omelon 9590 . . . . 5 Ο‰ ∈ On
24 onenon 9893 . . . . 5 (Ο‰ ∈ On β†’ Ο‰ ∈ dom card)
2523, 24ax-mp 5 . . . 4 Ο‰ ∈ dom card
26 simpr3 1197 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ 𝑠 We π‘Ž)) β†’ 𝑠 We π‘Ž)
272619.8ad 2176 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ 𝑠 We π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘  𝑠 We π‘Ž)
28 ween 9979 . . . . 5 (π‘Ž ∈ dom card ↔ βˆƒπ‘  𝑠 We π‘Ž)
2927, 28sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ 𝑠 We π‘Ž)) β†’ π‘Ž ∈ dom card)
30 domtri2 9933 . . . 4 ((Ο‰ ∈ dom card ∧ π‘Ž ∈ dom card) β†’ (Ο‰ β‰Ό π‘Ž ↔ Β¬ π‘Ž β‰Ί Ο‰))
3125, 29, 30sylancr 588 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ 𝑠 We π‘Ž)) β†’ (Ο‰ β‰Ό π‘Ž ↔ Β¬ π‘Ž β‰Ί Ο‰))
32 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘Ÿ(πœ‘ ∧ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ 𝑠 We π‘Ž) ∧ Ο‰ β‰Ό π‘Ž))
33 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘Ÿπ‘Ž
34 nfmpo2 7442 . . . . . . . . . 10 β„²π‘Ÿ(π‘₯ ∈ V, π‘Ÿ ∈ V ↦ if(π‘₯ ∈ Fin, (π»β€˜(cardβ€˜π‘₯)), (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯})))
3510, 34nfcxfr 2902 . . . . . . . . 9 β„²π‘ŸπΉ
36 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘Ÿπ‘ 
3733, 35, 36nfov 7391 . . . . . . . 8 β„²π‘Ÿ(π‘ŽπΉπ‘ )
3837nfel1 2920 . . . . . . 7 β„²π‘Ÿ(π‘ŽπΉπ‘ ) ∈ (𝐴 βˆ– π‘Ž)
3932, 38nfim 1900 . . . . . 6 β„²π‘Ÿ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ 𝑠 We π‘Ž) ∧ Ο‰ β‰Ό π‘Ž)) β†’ (π‘ŽπΉπ‘ ) ∈ (𝐴 βˆ– π‘Ž))
40 sseq1 3973 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (π‘Ÿ βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ↔ 𝑠 βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž)))
41 weeq1 5625 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (π‘Ÿ We π‘Ž ↔ 𝑠 We π‘Ž))
4240, 413anbi23d 1440 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ π‘Ÿ We π‘Ž) ↔ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ 𝑠 We π‘Ž)))
4342anbi1d 631 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ π‘Ÿ We π‘Ž) ∧ Ο‰ β‰Ό π‘Ž) ↔ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ 𝑠 We π‘Ž) ∧ Ο‰ β‰Ό π‘Ž)))
4443anbi2d 630 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ π‘Ÿ We π‘Ž) ∧ Ο‰ β‰Ό π‘Ž)) ↔ (πœ‘ ∧ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ 𝑠 We π‘Ž) ∧ Ο‰ β‰Ό π‘Ž))))
45 oveq2 7369 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (π‘ŽπΉπ‘Ÿ) = (π‘ŽπΉπ‘ ))
4645eleq1d 2819 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ ((π‘ŽπΉπ‘Ÿ) ∈ (𝐴 βˆ– π‘Ž) ↔ (π‘ŽπΉπ‘ ) ∈ (𝐴 βˆ– π‘Ž)))
4744, 46imbi12d 345 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (((πœ‘ ∧ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ π‘Ÿ We π‘Ž) ∧ Ο‰ β‰Ό π‘Ž)) β†’ (π‘ŽπΉπ‘Ÿ) ∈ (𝐴 βˆ– π‘Ž)) ↔ ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ 𝑠 We π‘Ž) ∧ Ο‰ β‰Ό π‘Ž)) β†’ (π‘ŽπΉπ‘ ) ∈ (𝐴 βˆ– π‘Ž))))
48 nfv 1918 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ π‘Ÿ We π‘Ž) ∧ Ο‰ β‰Ό π‘Ž))
49 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯π‘Ž
50 nfmpo1 7441 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ V, π‘Ÿ ∈ V ↦ if(π‘₯ ∈ Fin, (π»β€˜(cardβ€˜π‘₯)), (π·β€˜βˆ© {𝑧 ∈ Ο‰ ∣ Β¬ (π·β€˜π‘§) ∈ π‘₯})))
5110, 50nfcxfr 2902 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯𝐹
52 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯π‘Ÿ
5349, 51, 52nfov 7391 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(π‘ŽπΉπ‘Ÿ)
5453nfel1 2920 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(π‘ŽπΉπ‘Ÿ) ∈ (𝐴 βˆ– π‘Ž)
5548, 54nfim 1900 . . . . . . 7 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ π‘Ÿ We π‘Ž) ∧ Ο‰ β‰Ό π‘Ž)) β†’ (π‘ŽπΉπ‘Ÿ) ∈ (𝐴 βˆ– π‘Ž))
56 sseq1 3973 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ↔ π‘Ž βŠ† 𝐴))
57 xpeq12 5662 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ = π‘Ž ∧ π‘₯ = π‘Ž) β†’ (π‘₯ Γ— π‘₯) = (π‘Ž Γ— π‘Ž))
5857anidms 568 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (π‘₯ Γ— π‘₯) = (π‘Ž Γ— π‘Ž))
5958sseq2d 3980 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (π‘Ÿ βŠ† (π‘₯ Γ— π‘₯) ↔ π‘Ÿ βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž)))
60 weeq2 5626 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (π‘Ÿ We π‘₯ ↔ π‘Ÿ We π‘Ž))
6156, 59, 603anbi123d 1437 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = π‘Ž β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘₯ Γ— π‘₯) ∧ π‘Ÿ We π‘₯) ↔ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ π‘Ÿ We π‘Ž)))
62 breq2 5113 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (Ο‰ β‰Ό π‘₯ ↔ Ο‰ β‰Ό π‘Ž))
6361, 62anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘₯ Γ— π‘₯) ∧ π‘Ÿ We π‘₯) ∧ Ο‰ β‰Ό π‘₯) ↔ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ π‘Ÿ We π‘Ž) ∧ Ο‰ β‰Ό π‘Ž)))
647, 63bitrid 283 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (πœ“ ↔ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ π‘Ÿ We π‘Ž) ∧ Ο‰ β‰Ό π‘Ž)))
6564anbi2d 630 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘Ž β†’ ((πœ‘ ∧ πœ“) ↔ (πœ‘ ∧ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ π‘Ÿ We π‘Ž) ∧ Ο‰ β‰Ό π‘Ž))))
66 oveq1 7368 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (π‘₯πΉπ‘Ÿ) = (π‘ŽπΉπ‘Ÿ))
67 difeq2 4080 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (𝐴 βˆ– π‘₯) = (𝐴 βˆ– π‘Ž))
6866, 67eleq12d 2828 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘Ž β†’ ((π‘₯πΉπ‘Ÿ) ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯) ↔ (π‘ŽπΉπ‘Ÿ) ∈ (𝐴 βˆ– π‘Ž)))
6965, 68imbi12d 345 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘₯πΉπ‘Ÿ) ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯)) ↔ ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ π‘Ÿ We π‘Ž) ∧ Ο‰ β‰Ό π‘Ž)) β†’ (π‘ŽπΉπ‘Ÿ) ∈ (𝐴 βˆ– π‘Ž))))
704, 5, 6, 7, 8, 9, 10pwfseqlem3 10604 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (π‘₯πΉπ‘Ÿ) ∈ (𝐴 βˆ– π‘₯))
7155, 69, 70chvarfv 2234 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ π‘Ÿ βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ π‘Ÿ We π‘Ž) ∧ Ο‰ β‰Ό π‘Ž)) β†’ (π‘ŽπΉπ‘Ÿ) ∈ (𝐴 βˆ– π‘Ž))
7239, 47, 71chvarfv 2234 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ 𝑠 We π‘Ž) ∧ Ο‰ β‰Ό π‘Ž)) β†’ (π‘ŽπΉπ‘ ) ∈ (𝐴 βˆ– π‘Ž))
7372eldifad 3926 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ 𝑠 We π‘Ž) ∧ Ο‰ β‰Ό π‘Ž)) β†’ (π‘ŽπΉπ‘ ) ∈ 𝐴)
7473expr 458 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ 𝑠 We π‘Ž)) β†’ (Ο‰ β‰Ό π‘Ž β†’ (π‘ŽπΉπ‘ ) ∈ 𝐴))
7531, 74sylbird 260 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ 𝑠 We π‘Ž)) β†’ (Β¬ π‘Ž β‰Ί Ο‰ β†’ (π‘ŽπΉπ‘ ) ∈ 𝐴))
7622, 75pm2.61d 179 1 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 𝑠 βŠ† (π‘Ž Γ— π‘Ž) ∧ 𝑠 We π‘Ž)) β†’ (π‘ŽπΉπ‘ ) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  ifcif 4490  π’« cpw 4564  βˆ© cint 4911  βˆͺ ciun 4958   class class class wbr 5109   We wwe 5591   Γ— cxp 5635  β—‘ccnv 5636  dom cdm 5637  ran crn 5638  Oncon0 6321  βŸΆwf 6496  β€“1-1β†’wf1 6497  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6499  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  Ο‰com 7806   ↑m cmap 8771   β‰Ό cdom 8887   β‰Ί csdm 8888  Fincfn 8889  cardccrd 9879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883
This theorem is referenced by:  pwfseqlem4  10606
  Copyright terms: Public domain W3C validator