MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qdensere Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qdensere 24790
Description: is dense in the standard topology on . (Contributed by NM, 1-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
qdensere ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ

Proof of Theorem qdensere
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retop 24782 . . 3 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2 qssre 13001 . . 3 ℚ ⊆ ℝ
3 uniretop 24783 . . . 4 ℝ = (topGen‘ran (,))
43clsss3 23067 . . 3 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ℚ ⊆ ℝ) → ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ⊆ ℝ)
51, 2, 4mp2an 692 . 2 ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ⊆ ℝ
6 ioof 13487 . . . . . . 7 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
7 ffn 6736 . . . . . . 7 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
8 ovelrn 7609 . . . . . . 7 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑦 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤)))
96, 7, 8mp2b 10 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤))
10 elioo3g 13416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 < 𝑥𝑥 < 𝑤)))
1110simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*))
1211simp1d 1143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑧 ∈ ℝ*)
1312ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
1411simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ*)
1514ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
16 qre 12995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
1716ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℝ)
1817rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
1913, 15, 183jca 1129 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → (𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
20 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤))
21 elioo3g 13416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝑧(,)𝑤) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)))
2219, 20, 21sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ (𝑧(,)𝑤))
23 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℚ)
24 inelcm 4465 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅)
2522, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅)
2611simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑥 ∈ ℝ*)
27 eliooord 13446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → (𝑧 < 𝑥𝑥 < 𝑤))
2827simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑧 < 𝑥)
2927simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑥 < 𝑤)
3012, 26, 14, 28, 29xrlttrd 13201 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑧 < 𝑤)
31 qbtwnxr 13242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*𝑧 < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤))
3212, 14, 30, 31syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤))
3325, 32r19.29a 3162 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅)
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅))
35 eleq2 2830 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥𝑦𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤)))
36 ineq1 4213 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑦 ∩ ℚ) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ))
3736neeq1d 3000 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → ((𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅ ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅))
3834, 35, 373imtr4d 294 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
3938rexlimivw 3151 . . . . . . 7 (∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
4039rexlimivw 3151 . . . . . 6 (∃𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
419, 40sylbi 217 . . . . 5 (𝑦 ∈ ran (,) → (𝑥𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
4241rgen 3063 . . . 4 𝑦 ∈ ran (,)(𝑥𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅)
43 eqidd 2738 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,)))
443a1i 11 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ℝ = (topGen‘ran (,)))
45 retopbas 24781 . . . . . 6 ran (,) ∈ TopBases
4645a1i 11 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ran (,) ∈ TopBases)
472a1i 11 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ℚ ⊆ ℝ)
48 id 22 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
4943, 44, 46, 47, 48elcls3 23091 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(𝑥𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅)))
5042, 49mpbiri 258 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ))
5150ssriv 3987 . 2 ℝ ⊆ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ)
525, 51eqssi 4000 1 ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cin 3950  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600   cuni 4907   class class class wbr 5143   × cxp 5683  ran crn 5686   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  *cxr 11294   < clt 11295  cq 12990  (,)cioo 13387  topGenctg 17482  Topctop 22899  TopBasesctb 22952  clsccl 23026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-ioo 13391  df-topgen 17488  df-top 22900  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029
This theorem is referenced by:  qdensere2  24818  resscdrg  25392  ipasslem8  30856  rrhcn  33998  rrhre  34022
  Copyright terms: Public domain W3C validator