MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qdensere Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qdensere 24641
Description: is dense in the standard topology on . (Contributed by NM, 1-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
qdensere ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ

Proof of Theorem qdensere
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retop 24633 . . 3 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2 qssre 12947 . . 3 ℚ ⊆ ℝ
3 uniretop 24634 . . . 4 ℝ = (topGen‘ran (,))
43clsss3 22918 . . 3 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ℚ ⊆ ℝ) → ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ⊆ ℝ)
51, 2, 4mp2an 689 . 2 ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ⊆ ℝ
6 ioof 13430 . . . . . . 7 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
7 ffn 6711 . . . . . . 7 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
8 ovelrn 7580 . . . . . . 7 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑦 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤)))
96, 7, 8mp2b 10 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤))
10 elioo3g 13359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 < 𝑥𝑥 < 𝑤)))
1110simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*))
1211simp1d 1139 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑧 ∈ ℝ*)
1312ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
1411simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ*)
1514ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
16 qre 12941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
1716ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℝ)
1817rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
1913, 15, 183jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → (𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*))
20 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤))
21 elioo3g 13359 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝑧(,)𝑤) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)))
2219, 20, 21sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ (𝑧(,)𝑤))
23 simplr 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℚ)
24 inelcm 4459 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅)
2522, 23, 24syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅)
2611simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑥 ∈ ℝ*)
27 eliooord 13389 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → (𝑧 < 𝑥𝑥 < 𝑤))
2827simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑧 < 𝑥)
2927simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑥 < 𝑤)
3012, 26, 14, 28, 29xrlttrd 13144 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑧 < 𝑤)
31 qbtwnxr 13185 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*𝑧 < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤))
3212, 14, 30, 31syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑦𝑦 < 𝑤))
3325, 32r19.29a 3156 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅)
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅))
35 eleq2 2816 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥𝑦𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤)))
36 ineq1 4200 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑦 ∩ ℚ) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ))
3736neeq1d 2994 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → ((𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅ ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅))
3834, 35, 373imtr4d 294 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
3938rexlimivw 3145 . . . . . . 7 (∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
4039rexlimivw 3145 . . . . . 6 (∃𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
419, 40sylbi 216 . . . . 5 (𝑦 ∈ ran (,) → (𝑥𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
4241rgen 3057 . . . 4 𝑦 ∈ ran (,)(𝑥𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅)
43 eqidd 2727 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,)))
443a1i 11 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ℝ = (topGen‘ran (,)))
45 retopbas 24632 . . . . . 6 ran (,) ∈ TopBases
4645a1i 11 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ran (,) ∈ TopBases)
472a1i 11 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ℚ ⊆ ℝ)
48 id 22 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
4943, 44, 46, 47, 48elcls3 22942 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(𝑥𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅)))
5042, 49mpbiri 258 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ))
5150ssriv 3981 . 2 ℝ ⊆ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ)
525, 51eqssi 3993 1 ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wral 3055  wrex 3064  cin 3942  wss 3943  c0 4317  𝒫 cpw 4597   cuni 4902   class class class wbr 5141   × cxp 5667  ran crn 5670   Fn wfn 6532  wf 6533  cfv 6537  (class class class)co 7405  cr 11111  *cxr 11251   < clt 11252  cq 12936  (,)cioo 13330  topGenctg 17392  Topctop 22750  TopBasesctb 22803  clsccl 22877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-ioo 13334  df-topgen 17398  df-top 22751  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880
This theorem is referenced by:  qdensere2  24668  resscdrg  25241  ipasslem8  30599  rrhcn  33507  rrhre  33531
  Copyright terms: Public domain W3C validator