Theorem qdensere 24711

Description: ℚ is dense in the standard topology on ℝ. (Contributed by NM, 1-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
qdensere	⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ

Proof of Theorem qdensere

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24703	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		qssre 12870	. . 3 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
3		uniretop 24704	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
4	3	clsss3 23001	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ℚ ⊆ ℝ) → ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ⊆ ℝ)
5	1, 2, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ⊆ ℝ
6		ioof 13361	. . . . . . 7 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
7		ffn 6660	. . . . . . 7 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
8		ovelrn 7532	. . . . . . 7 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑦 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤)))
9	6, 7, 8	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤))
10		elioo3g 13288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑤)))
11	10	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*))
12	11	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑧 ∈ ℝ*)
13	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
14	11	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ*)
15	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
16		qre 12864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
17	16	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℝ)
18	17	rexrd 11180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
19	13, 15, 18	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤))
21		elioo3g 13288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑧(,)𝑤) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)))
22	19, 20, 21	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ (𝑧(,)𝑤))
23		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℚ)
24		inelcm 4415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅)
25	22, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅)
26	11	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑥 ∈ ℝ*)
27		eliooord 13319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → (𝑧 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑤))
28	27	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑧 < 𝑥)
29	27	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑥 < 𝑤)
30	12, 26, 14, 28, 29	xrlttrd 13071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑧 < 𝑤)
31		qbtwnxr 13113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤))
32	12, 14, 30, 31	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤))
33	25, 32	r19.29a 3142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅)
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅))
35		eleq2 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤)))
36		ineq1 4163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑦 ∩ ℚ) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ))
37	36	neeq1d 2989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → ((𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅ ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅))
38	34, 35, 37	3imtr4d 294	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
39	38	rexlimivw 3131	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
40	39	rexlimivw 3131	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
41	9, 40	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ran (,) → (𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
42	41	rgen 3051	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅)
43		eqidd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,)))
44	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ℝ = ∪ (topGen‘ran (,)))
45		retopbas 24702	. . . . . 6 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
46	45	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ran (,) ∈ TopBases)
47	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ℚ ⊆ ℝ)
48		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
49	43, 44, 46, 47, 48	elcls3 23025	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅)))
50	42, 49	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ))
51	50	ssriv 3935	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ)
52	5, 51	eqssi 3948	1 ⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3058   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4552  ∪ cuni 4861   class class class wbr 5096   × cxp 5620  ran crn 5623   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  ℝ^*cxr 11163   < clt 11164  ℚcq 12859  (,)cioo 13259  topGenctg 17355  Topctop 22835  TopBasesctb 22887  clsccl 22960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-q 12860  df-ioo 13263  df-topgen 17361  df-top 22836  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963

This theorem is referenced by:  qdensere2  24739  resscdrg  25312  ipasslem8  30861  rrhcn  34103  rrhre  34127