Theorem qdensere 24805

Description: ℚ is dense in the standard topology on ℝ. (Contributed by NM, 1-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
qdensere	⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ

Proof of Theorem qdensere

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24797	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		qssre 12998	. . 3 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
3		uniretop 24798	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
4	3	clsss3 23082	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ℚ ⊆ ℝ) → ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ⊆ ℝ)
5	1, 2, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ⊆ ℝ
6		ioof 13483	. . . . . . 7 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
7		ffn 6736	. . . . . . 7 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
8		ovelrn 7608	. . . . . . 7 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑦 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤)))
9	6, 7, 8	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤))
10		elioo3g 13412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑤)))
11	10	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*))
12	11	simp1d 1141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑧 ∈ ℝ*)
13	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
14	11	simp2d 1142	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ*)
15	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
16		qre 12992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
17	16	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℝ)
18	17	rexrd 11308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
19	13, 15, 18	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤))
21		elioo3g 13412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑧(,)𝑤) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)))
22	19, 20, 21	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ (𝑧(,)𝑤))
23		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℚ)
24		inelcm 4470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅)
25	22, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅)
26	11	simp3d 1143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑥 ∈ ℝ*)
27		eliooord 13442	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → (𝑧 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑤))
28	27	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑧 < 𝑥)
29	27	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑥 < 𝑤)
30	12, 26, 14, 28, 29	xrlttrd 13197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑧 < 𝑤)
31		qbtwnxr 13238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤))
32	12, 14, 30, 31	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤))
33	25, 32	r19.29a 3159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅)
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅))
35		eleq2 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤)))
36		ineq1 4220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑦 ∩ ℚ) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ))
37	36	neeq1d 2997	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → ((𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅ ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅))
38	34, 35, 37	3imtr4d 294	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
39	38	rexlimivw 3148	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
40	39	rexlimivw 3148	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
41	9, 40	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ran (,) → (𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
42	41	rgen 3060	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅)
43		eqidd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,)))
44	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ℝ = ∪ (topGen‘ran (,)))
45		retopbas 24796	. . . . . 6 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
46	45	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ran (,) ∈ TopBases)
47	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ℚ ⊆ ℝ)
48		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
49	43, 44, 46, 47, 48	elcls3 23106	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅)))
50	42, 49	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ))
51	50	ssriv 3998	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ)
52	5, 51	eqssi 4011	1 ⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   ∩ cin 3961   ⊆ wss 3962  ∅c0 4338  𝒫 cpw 4604  ∪ cuni 4911   class class class wbr 5147   × cxp 5686  ran crn 5689   Fn wfn 6557  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  ℝ^*cxr 11291   < clt 11292  ℚcq 12987  (,)cioo 13383  topGenctg 17483  Topctop 22914  TopBasesctb 22967  clsccl 23041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-ioo 13387  df-topgen 17489  df-top 22915  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044

This theorem is referenced by:  qdensere2  24832  resscdrg  25405  ipasslem8  30865  rrhcn  33959  rrhre  33983