Theorem qdensere 24655

Description: ℚ is dense in the standard topology on ℝ. (Contributed by NM, 1-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
qdensere	⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ

Proof of Theorem qdensere

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24647	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		qssre 12860	. . 3 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
3		uniretop 24648	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
4	3	clsss3 22944	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ℚ ⊆ ℝ) → ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ⊆ ℝ)
5	1, 2, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ⊆ ℝ
6		ioof 13350	. . . . . . 7 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
7		ffn 6652	. . . . . . 7 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
8		ovelrn 7525	. . . . . . 7 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑦 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤)))
9	6, 7, 8	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤))
10		elioo3g 13277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑤)))
11	10	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*))
12	11	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑧 ∈ ℝ*)
13	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
14	11	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ*)
15	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
16		qre 12854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
17	16	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℝ)
18	17	rexrd 11165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
19	13, 15, 18	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤))
21		elioo3g 13277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑧(,)𝑤) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)))
22	19, 20, 21	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ (𝑧(,)𝑤))
23		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℚ)
24		inelcm 4416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅)
25	22, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅)
26	11	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑥 ∈ ℝ*)
27		eliooord 13308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → (𝑧 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑤))
28	27	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑧 < 𝑥)
29	27	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑥 < 𝑤)
30	12, 26, 14, 28, 29	xrlttrd 13061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑧 < 𝑤)
31		qbtwnxr 13102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤))
32	12, 14, 30, 31	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤))
33	25, 32	r19.29a 3137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅)
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅))
35		eleq2 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤)))
36		ineq1 4164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑦 ∩ ℚ) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ))
37	36	neeq1d 2984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → ((𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅ ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅))
38	34, 35, 37	3imtr4d 294	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
39	38	rexlimivw 3126	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
40	39	rexlimivw 3126	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
41	9, 40	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ran (,) → (𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
42	41	rgen 3046	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅)
43		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,)))
44	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ℝ = ∪ (topGen‘ran (,)))
45		retopbas 24646	. . . . . 6 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
46	45	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ran (,) ∈ TopBases)
47	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ℚ ⊆ ℝ)
48		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
49	43, 44, 46, 47, 48	elcls3 22968	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅)))
50	42, 49	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ))
51	50	ssriv 3939	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ)
52	5, 51	eqssi 3952	1 ⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  𝒫 cpw 4551  ∪ cuni 4858   class class class wbr 5092   × cxp 5617  ran crn 5620   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149  ℚcq 12849  (,)cioo 13248  topGenctg 17341  Topctop 22778  TopBasesctb 22830  clsccl 22903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-ioo 13252  df-topgen 17347  df-top 22779  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906

This theorem is referenced by:  qdensere2  24683  resscdrg  25256  ipasslem8  30781  rrhcn  33964  rrhre  33988