Theorem qdensere 24734

Description: ℚ is dense in the standard topology on ℝ. (Contributed by NM, 1-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
qdensere	⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ

Proof of Theorem qdensere

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24726	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		qssre 12909	. . 3 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
3		uniretop 24727	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
4	3	clsss3 23024	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ℚ ⊆ ℝ) → ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ⊆ ℝ)
5	1, 2, 4	mp2an 693	. 2 ⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ⊆ ℝ
6		ioof 13400	. . . . . . 7 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
7		ffn 6668	. . . . . . 7 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
8		ovelrn 7543	. . . . . . 7 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑦 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤)))
9	6, 7, 8	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤))
10		elioo3g 13327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑤)))
11	10	simplbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*))
12	11	simp1d 1143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑧 ∈ ℝ*)
13	12	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
14	11	simp2d 1144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ*)
15	14	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
16		qre 12903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
17	16	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℝ)
18	17	rexrd 11195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
19	13, 15, 18	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤))
21		elioo3g 13327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑧(,)𝑤) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)))
22	19, 20, 21	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ (𝑧(,)𝑤))
23		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℚ)
24		inelcm 4405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅)
25	22, 23, 24	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅)
26	11	simp3d 1145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑥 ∈ ℝ*)
27		eliooord 13358	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → (𝑧 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑤))
28	27	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑧 < 𝑥)
29	27	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑥 < 𝑤)
30	12, 26, 14, 28, 29	xrlttrd 13110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑧 < 𝑤)
31		qbtwnxr 13152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤))
32	12, 14, 30, 31	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤))
33	25, 32	r19.29a 3145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅)
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅))
35		eleq2 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤)))
36		ineq1 4153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑦 ∩ ℚ) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ))
37	36	neeq1d 2991	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → ((𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅ ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅))
38	34, 35, 37	3imtr4d 294	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
39	38	rexlimivw 3134	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
40	39	rexlimivw 3134	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
41	9, 40	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ran (,) → (𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
42	41	rgen 3053	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅)
43		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,)))
44	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ℝ = ∪ (topGen‘ran (,)))
45		retopbas 24725	. . . . . 6 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
46	45	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ran (,) ∈ TopBases)
47	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ℚ ⊆ ℝ)
48		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
49	43, 44, 46, 47, 48	elcls3 23048	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅)))
50	42, 49	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ))
51	50	ssriv 3925	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ)
52	5, 51	eqssi 3938	1 ⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  𝒫 cpw 4541  ∪ cuni 4850   class class class wbr 5085   × cxp 5629  ran crn 5632   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179  ℚcq 12898  (,)cioo 13298  topGenctg 17400  Topctop 22858  TopBasesctb 22910  clsccl 22983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-ioo 13302  df-topgen 17406  df-top 22859  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986

This theorem is referenced by:  qdensere2  24762  resscdrg  25325  ipasslem8  30908  rrhcn  34141  rrhre  34165