Theorem qdensere 23375

Description: ℚ is dense in the standard topology on ℝ. (Contributed by NM, 1-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
qdensere	⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ

Proof of Theorem qdensere

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 23367	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		qssre 12346	. . 3 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
3		uniretop 23368	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
4	3	clsss3 21664	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ℚ ⊆ ℝ) → ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ⊆ ℝ)
5	1, 2, 4	mp2an 691	. 2 ⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ⊆ ℝ
6		ioof 12825	. . . . . . 7 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
7		ffn 6487	. . . . . . 7 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
8		ovelrn 7304	. . . . . . 7 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑦 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤)))
9	6, 7, 8	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤))
10		elioo3g 12755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑤)))
11	10	simplbi 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*))
12	11	simp1d 1139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑧 ∈ ℝ*)
13	12	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
14	11	simp2d 1140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ*)
15	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
16		qre 12341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
17	16	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℝ)
18	17	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
19	13, 15, 18	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*))
20		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤))
21		elioo3g 12755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑧(,)𝑤) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)))
22	19, 20, 21	sylanbrc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ (𝑧(,)𝑤))
23		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → 𝑦 ∈ ℚ)
24		inelcm 4372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅)
25	22, 23, 24	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅)
26	11	simp3d 1141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑥 ∈ ℝ*)
27		eliooord 12784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → (𝑧 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑤))
28	27	simpld 498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑧 < 𝑥)
29	27	simprd 499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑥 < 𝑤)
30	12, 26, 14, 28, 29	xrlttrd 12540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → 𝑧 < 𝑤)
31		qbtwnxr 12581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤))
32	12, 14, 30, 31	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑤))
33	25, 32	r19.29a 3248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅)
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅))
35		eleq2 2878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ (𝑧(,)𝑤)))
36		ineq1 4131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑦 ∩ ℚ) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ))
37	36	neeq1d 3046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → ((𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅ ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ ℚ) ≠ ∅))
38	34, 35, 37	3imtr4d 297	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
39	38	rexlimivw 3241	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
40	39	rexlimivw 3241	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑦 = (𝑧(,)𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
41	9, 40	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ran (,) → (𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅))
42	41	rgen 3116	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅)
43		eqidd 2799	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,)))
44	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ℝ = ∪ (topGen‘ran (,)))
45		retopbas 23366	. . . . . 6 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
46	45	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ran (,) ∈ TopBases)
47	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ℚ ⊆ ℝ)
48		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
49	43, 44, 46, 47, 48	elcls3 21688	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑦 → (𝑦 ∩ ℚ) ≠ ∅)))
50	42, 49	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ))
51	50	ssriv 3919	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ)
52	5, 51	eqssi 3931	1 ⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  𝒫 cpw 4497  ∪ cuni 4800   class class class wbr 5030   × cxp 5517  ran crn 5520   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664  ℚcq 12336  (,)cioo 12726  topGenctg 16703  Topctop 21498  TopBasesctb 21550  clsccl 21623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-ioo 12730  df-topgen 16709  df-top 21499  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626

This theorem is referenced by:  qdensere2  23402  resscdrg  23962  ipasslem8  28620  rrhcn  31348  rrhre  31372