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Theorem 2ndcsep 22963
Description: A second-countable topology is separable, which is to say it contains a countable dense subset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2ndcsep.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
2ndcsep (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑋

Proof of Theorem 2ndcsep
Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 22950 . 2 (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ ↔ βˆƒπ‘ ∈ TopBases (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽))
2 vex 3479 . . . . . . . . 9 𝑏 ∈ V
3 difss 4132 . . . . . . . . 9 (𝑏 βˆ– {βˆ…}) βŠ† 𝑏
4 ssdomg 8996 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ V β†’ ((𝑏 βˆ– {βˆ…}) βŠ† 𝑏 β†’ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό 𝑏))
52, 3, 4mp2 9 . . . . . . . 8 (𝑏 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό 𝑏
6 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝑏 β‰Ό Ο‰)
7 domtr 9003 . . . . . . . 8 (((𝑏 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό 𝑏 ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό Ο‰)
85, 6, 7sylancr 588 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό Ο‰)
9 eldifsn 4791 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) ↔ (𝑦 ∈ 𝑏 ∧ 𝑦 β‰  βˆ…))
10 n0 4347 . . . . . . . . . 10 (𝑦 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ 𝑦)
11 elunii 4914 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑏)
12 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ 𝑧 ∈ 𝑦)
1311, 12jca 513 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ (𝑧 ∈ βˆͺ 𝑏 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
1413expcom 415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝑏 β†’ (𝑧 ∈ 𝑦 β†’ (𝑧 ∈ βˆͺ 𝑏 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
1514eximdv 1921 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝑏 β†’ (βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ βˆͺ 𝑏 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
1615imp 408 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝑏 ∧ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ βˆͺ 𝑏 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
17 df-rex 3072 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘§ ∈ βˆͺ 𝑏𝑧 ∈ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ βˆͺ 𝑏 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
1816, 17sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝑏 ∧ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ βˆͺ 𝑏𝑧 ∈ 𝑦)
1910, 18sylan2b 595 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝑏 ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ βˆͺ 𝑏𝑧 ∈ 𝑦)
209, 19sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ βˆͺ 𝑏𝑧 ∈ 𝑦)
2120rgen 3064 . . . . . . 7 βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})βˆƒπ‘§ ∈ βˆͺ 𝑏𝑧 ∈ 𝑦
22 vuniex 7729 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝑏 ∈ V
23 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘¦) β†’ (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦))
2422, 23axcc4dom 10436 . . . . . . 7 (((𝑏 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό Ο‰ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})βˆƒπ‘§ ∈ βˆͺ 𝑏𝑧 ∈ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦))
258, 21, 24sylancl 587 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦))
26 frn 6725 . . . . . . . . 9 (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑏)
2726ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑏)
28 vex 3479 . . . . . . . . . 10 𝑓 ∈ V
2928rnex 7903 . . . . . . . . 9 ran 𝑓 ∈ V
3029elpw 4607 . . . . . . . 8 (ran 𝑓 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑏 ↔ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑏)
3127, 30sylibr 233 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ ran 𝑓 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑏)
32 omelon 9641 . . . . . . . . . . 11 Ο‰ ∈ On
336adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ 𝑏 β‰Ό Ο‰)
34 ondomen 10032 . . . . . . . . . . 11 ((Ο‰ ∈ On ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝑏 ∈ dom card)
3532, 33, 34sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ 𝑏 ∈ dom card)
36 ssnum 10034 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ dom card ∧ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) βŠ† 𝑏) β†’ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) ∈ dom card)
3735, 3, 36sylancl 587 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) ∈ dom card)
38 ffn 6718 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 β†’ 𝑓 Fn (𝑏 βˆ– {βˆ…}))
3938ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ 𝑓 Fn (𝑏 βˆ– {βˆ…}))
40 dffn4 6812 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn (𝑏 βˆ– {βˆ…}) ↔ 𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})–ontoβ†’ran 𝑓)
4139, 40sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ 𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})–ontoβ†’ran 𝑓)
42 fodomnum 10052 . . . . . . . . 9 ((𝑏 βˆ– {βˆ…}) ∈ dom card β†’ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})–ontoβ†’ran 𝑓 β†’ ran 𝑓 β‰Ό (𝑏 βˆ– {βˆ…})))
4337, 41, 42sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ ran 𝑓 β‰Ό (𝑏 βˆ– {βˆ…}))
448adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό Ο‰)
45 domtr 9003 . . . . . . . 8 ((ran 𝑓 β‰Ό (𝑏 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό Ο‰) β†’ ran 𝑓 β‰Ό Ο‰)
4643, 44, 45syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ ran 𝑓 β‰Ό Ο‰)
47 tgcl 22472 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ TopBases β†’ (topGenβ€˜π‘) ∈ Top)
4847ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ (topGenβ€˜π‘) ∈ Top)
49 unitg 22470 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ V β†’ βˆͺ (topGenβ€˜π‘) = βˆͺ 𝑏)
5049elv 3481 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ (topGenβ€˜π‘) = βˆͺ 𝑏
5150eqcomi 2742 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑏 = βˆͺ (topGenβ€˜π‘)
5251clsss3 22563 . . . . . . . . 9 (((topGenβ€˜π‘) ∈ Top ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑏) β†’ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜ran 𝑓) βŠ† βˆͺ 𝑏)
5348, 27, 52syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜ran 𝑓) βŠ† βˆͺ 𝑏)
54 ne0i 4335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ 𝑦 β‰  βˆ…)
5554anim2i 618 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ (𝑦 ∈ 𝑏 ∧ 𝑦 β‰  βˆ…))
5655, 9sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…}))
57 fnfvelrn 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 Fn (𝑏 βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ran 𝑓)
5838, 57sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ 𝑦 ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ran 𝑓)
59 inelcm 4465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦 ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ran 𝑓) β†’ (𝑦 ∩ ran 𝑓) β‰  βˆ…)
6059expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘“β€˜π‘¦) ∈ ran 𝑓 β†’ ((π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦 β†’ (𝑦 ∩ ran 𝑓) β‰  βˆ…))
6158, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ 𝑦 ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦 β†’ (𝑦 ∩ ran 𝑓) β‰  βˆ…))
6261ex 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 β†’ (𝑦 ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦 β†’ (𝑦 ∩ ran 𝑓) β‰  βˆ…)))
6362a2d 29 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 β†’ ((𝑦 ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦) β†’ (𝑦 ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) β†’ (𝑦 ∩ ran 𝑓) β‰  βˆ…)))
6456, 63syl7 74 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 β†’ ((𝑦 ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ (𝑦 ∩ ran 𝑓) β‰  βˆ…)))
6564exp4a 433 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 β†’ ((𝑦 ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦) β†’ (𝑦 ∈ 𝑏 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ (𝑦 ∩ ran 𝑓) β‰  βˆ…))))
6665ralimdv2 3164 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ (𝑦 ∩ ran 𝑓) β‰  βˆ…)))
6766imp 408 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ (𝑦 ∩ ran 𝑓) β‰  βˆ…))
6867ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑏) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ (𝑦 ∩ ran 𝑓) β‰  βˆ…))
69 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑏) β†’ (topGenβ€˜π‘) = (topGenβ€˜π‘))
7051a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑏) β†’ βˆͺ 𝑏 = βˆͺ (topGenβ€˜π‘))
71 simplll 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ TopBases)
7227adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑏) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑏)
73 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑏) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑏)
7469, 70, 71, 72, 73elcls3 22587 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑏) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜ran 𝑓) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ (𝑦 ∩ ran 𝑓) β‰  βˆ…)))
7568, 74mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑏) β†’ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜ran 𝑓))
7653, 75eqelssd 4004 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜ran 𝑓) = βˆͺ 𝑏)
77 breq1 5152 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = ran 𝑓 β†’ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ↔ ran 𝑓 β‰Ό Ο‰))
78 fveqeq2 6901 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = ran 𝑓 β†’ (((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝑏 ↔ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜ran 𝑓) = βˆͺ 𝑏))
7977, 78anbi12d 632 . . . . . . . 8 (π‘₯ = ran 𝑓 β†’ ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝑏) ↔ (ran 𝑓 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜ran 𝑓) = βˆͺ 𝑏)))
8079rspcev 3613 . . . . . . 7 ((ran 𝑓 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑏 ∧ (ran 𝑓 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜ran 𝑓) = βˆͺ 𝑏)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑏(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝑏))
8131, 46, 76, 80syl12anc 836 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑏(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝑏))
8225, 81exlimddv 1939 . . . . 5 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑏(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝑏))
83 unieq 4920 . . . . . . . 8 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ βˆͺ (topGenβ€˜π‘) = βˆͺ 𝐽)
84 2ndcsep.1 . . . . . . . 8 𝑋 = βˆͺ 𝐽
8583, 51, 843eqtr4g 2798 . . . . . . 7 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ βˆͺ 𝑏 = 𝑋)
8685pweqd 4620 . . . . . 6 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ 𝒫 βˆͺ 𝑏 = 𝒫 𝑋)
87 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ (clsβ€˜(topGenβ€˜π‘)) = (clsβ€˜π½))
8887fveq1d 6894 . . . . . . . 8 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜π‘₯) = ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯))
8988, 85eqeq12d 2749 . . . . . . 7 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ (((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝑏 ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋))
9089anbi2d 630 . . . . . 6 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝑏) ↔ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋)))
9186, 90rexeqbidv 3344 . . . . 5 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑏(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝑏) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋)))
9282, 91syl5ibcom 244 . . . 4 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) β†’ ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋)))
9392impr 456 . . 3 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋))
9493rexlimiva 3148 . 2 (βˆƒπ‘ ∈ TopBases (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋))
951, 94sylbi 216 1 (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ran crn 5678  Oncon0 6365   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€˜cfv 6544  Ο‰com 7855   β‰Ό cdom 8937  cardccrd 9930  topGenctg 17383  Topctop 22395  TopBasesctb 22448  clsccl 22522  2ndΟ‰c2ndc 22942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-acn 9937  df-topgen 17389  df-top 22396  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-2ndc 22944
This theorem is referenced by:  met2ndc  24032
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