MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcsep Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2ndcsep 23183
Description: A second-countable topology is separable, which is to say it contains a countable dense subset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2ndcsep.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
2ndcsep (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑋

Proof of Theorem 2ndcsep
Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 23170 . 2 (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ ↔ βˆƒπ‘ ∈ TopBases (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽))
2 vex 3476 . . . . . . . . 9 𝑏 ∈ V
3 difss 4130 . . . . . . . . 9 (𝑏 βˆ– {βˆ…}) βŠ† 𝑏
4 ssdomg 8998 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ V β†’ ((𝑏 βˆ– {βˆ…}) βŠ† 𝑏 β†’ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό 𝑏))
52, 3, 4mp2 9 . . . . . . . 8 (𝑏 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό 𝑏
6 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝑏 β‰Ό Ο‰)
7 domtr 9005 . . . . . . . 8 (((𝑏 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό 𝑏 ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό Ο‰)
85, 6, 7sylancr 585 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό Ο‰)
9 eldifsn 4789 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) ↔ (𝑦 ∈ 𝑏 ∧ 𝑦 β‰  βˆ…))
10 n0 4345 . . . . . . . . . 10 (𝑦 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ 𝑦)
11 elunii 4912 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ 𝑧 ∈ βˆͺ 𝑏)
12 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ 𝑧 ∈ 𝑦)
1311, 12jca 510 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑏) β†’ (𝑧 ∈ βˆͺ 𝑏 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
1413expcom 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝑏 β†’ (𝑧 ∈ 𝑦 β†’ (𝑧 ∈ βˆͺ 𝑏 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
1514eximdv 1918 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝑏 β†’ (βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ βˆͺ 𝑏 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
1615imp 405 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝑏 ∧ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ βˆͺ 𝑏 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
17 df-rex 3069 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘§ ∈ βˆͺ 𝑏𝑧 ∈ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ βˆͺ 𝑏 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
1816, 17sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝑏 ∧ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ βˆͺ 𝑏𝑧 ∈ 𝑦)
1910, 18sylan2b 592 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝑏 ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ βˆͺ 𝑏𝑧 ∈ 𝑦)
209, 19sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ βˆͺ 𝑏𝑧 ∈ 𝑦)
2120rgen 3061 . . . . . . 7 βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})βˆƒπ‘§ ∈ βˆͺ 𝑏𝑧 ∈ 𝑦
22 vuniex 7731 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝑏 ∈ V
23 eleq1 2819 . . . . . . . 8 (𝑧 = (π‘“β€˜π‘¦) β†’ (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦))
2422, 23axcc4dom 10438 . . . . . . 7 (((𝑏 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό Ο‰ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})βˆƒπ‘§ ∈ βˆͺ 𝑏𝑧 ∈ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦))
258, 21, 24sylancl 584 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦))
26 frn 6723 . . . . . . . . 9 (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑏)
2726ad2antrl 724 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑏)
28 vex 3476 . . . . . . . . . 10 𝑓 ∈ V
2928rnex 7905 . . . . . . . . 9 ran 𝑓 ∈ V
3029elpw 4605 . . . . . . . 8 (ran 𝑓 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑏 ↔ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑏)
3127, 30sylibr 233 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ ran 𝑓 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑏)
32 omelon 9643 . . . . . . . . . . 11 Ο‰ ∈ On
336adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ 𝑏 β‰Ό Ο‰)
34 ondomen 10034 . . . . . . . . . . 11 ((Ο‰ ∈ On ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) β†’ 𝑏 ∈ dom card)
3532, 33, 34sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ 𝑏 ∈ dom card)
36 ssnum 10036 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ dom card ∧ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) βŠ† 𝑏) β†’ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) ∈ dom card)
3735, 3, 36sylancl 584 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) ∈ dom card)
38 ffn 6716 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 β†’ 𝑓 Fn (𝑏 βˆ– {βˆ…}))
3938ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ 𝑓 Fn (𝑏 βˆ– {βˆ…}))
40 dffn4 6810 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn (𝑏 βˆ– {βˆ…}) ↔ 𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})–ontoβ†’ran 𝑓)
4139, 40sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ 𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})–ontoβ†’ran 𝑓)
42 fodomnum 10054 . . . . . . . . 9 ((𝑏 βˆ– {βˆ…}) ∈ dom card β†’ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})–ontoβ†’ran 𝑓 β†’ ran 𝑓 β‰Ό (𝑏 βˆ– {βˆ…})))
4337, 41, 42sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ ran 𝑓 β‰Ό (𝑏 βˆ– {βˆ…}))
448adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό Ο‰)
45 domtr 9005 . . . . . . . 8 ((ran 𝑓 β‰Ό (𝑏 βˆ– {βˆ…}) ∧ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) β‰Ό Ο‰) β†’ ran 𝑓 β‰Ό Ο‰)
4643, 44, 45syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ ran 𝑓 β‰Ό Ο‰)
47 tgcl 22692 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ TopBases β†’ (topGenβ€˜π‘) ∈ Top)
4847ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ (topGenβ€˜π‘) ∈ Top)
49 unitg 22690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ V β†’ βˆͺ (topGenβ€˜π‘) = βˆͺ 𝑏)
5049elv 3478 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ (topGenβ€˜π‘) = βˆͺ 𝑏
5150eqcomi 2739 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑏 = βˆͺ (topGenβ€˜π‘)
5251clsss3 22783 . . . . . . . . 9 (((topGenβ€˜π‘) ∈ Top ∧ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑏) β†’ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜ran 𝑓) βŠ† βˆͺ 𝑏)
5348, 27, 52syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜ran 𝑓) βŠ† βˆͺ 𝑏)
54 ne0i 4333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ 𝑦 β‰  βˆ…)
5554anim2i 615 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ (𝑦 ∈ 𝑏 ∧ 𝑦 β‰  βˆ…))
5655, 9sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…}))
57 fnfvelrn 7081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 Fn (𝑏 βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ran 𝑓)
5838, 57sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ 𝑦 ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ran 𝑓)
59 inelcm 4463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦 ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ ran 𝑓) β†’ (𝑦 ∩ ran 𝑓) β‰  βˆ…)
6059expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘“β€˜π‘¦) ∈ ran 𝑓 β†’ ((π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦 β†’ (𝑦 ∩ ran 𝑓) β‰  βˆ…))
6158, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ 𝑦 ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦 β†’ (𝑦 ∩ ran 𝑓) β‰  βˆ…))
6261ex 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 β†’ (𝑦 ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦 β†’ (𝑦 ∩ ran 𝑓) β‰  βˆ…)))
6362a2d 29 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 β†’ ((𝑦 ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦) β†’ (𝑦 ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) β†’ (𝑦 ∩ ran 𝑓) β‰  βˆ…)))
6456, 63syl7 74 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 β†’ ((𝑦 ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑏 ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ (𝑦 ∩ ran 𝑓) β‰  βˆ…)))
6564exp4a 430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 β†’ ((𝑦 ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…}) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦) β†’ (𝑦 ∈ 𝑏 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ (𝑦 ∩ ran 𝑓) β‰  βˆ…))))
6665ralimdv2 3161 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ (𝑦 ∩ ran 𝑓) β‰  βˆ…)))
6766imp 405 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ (𝑦 ∩ ran 𝑓) β‰  βˆ…))
6867ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑏) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ (𝑦 ∩ ran 𝑓) β‰  βˆ…))
69 eqidd 2731 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑏) β†’ (topGenβ€˜π‘) = (topGenβ€˜π‘))
7051a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑏) β†’ βˆͺ 𝑏 = βˆͺ (topGenβ€˜π‘))
71 simplll 771 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ TopBases)
7227adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑏) β†’ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑏)
73 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑏) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑏)
7469, 70, 71, 72, 73elcls3 22807 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑏) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜ran 𝑓) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯ ∈ 𝑦 β†’ (𝑦 ∩ ran 𝑓) β‰  βˆ…)))
7568, 74mpbird 256 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑏) β†’ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜ran 𝑓))
7653, 75eqelssd 4002 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜ran 𝑓) = βˆͺ 𝑏)
77 breq1 5150 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = ran 𝑓 β†’ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ↔ ran 𝑓 β‰Ό Ο‰))
78 fveqeq2 6899 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = ran 𝑓 β†’ (((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝑏 ↔ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜ran 𝑓) = βˆͺ 𝑏))
7977, 78anbi12d 629 . . . . . . . 8 (π‘₯ = ran 𝑓 β†’ ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝑏) ↔ (ran 𝑓 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜ran 𝑓) = βˆͺ 𝑏)))
8079rspcev 3611 . . . . . . 7 ((ran 𝑓 ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑏 ∧ (ran 𝑓 β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜ran 𝑓) = βˆͺ 𝑏)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑏(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝑏))
8131, 46, 76, 80syl12anc 833 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) ∧ (𝑓:(𝑏 βˆ– {βˆ…})⟢βˆͺ 𝑏 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑏 βˆ– {βˆ…})(π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑏(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝑏))
8225, 81exlimddv 1936 . . . . 5 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑏(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝑏))
83 unieq 4918 . . . . . . . 8 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ βˆͺ (topGenβ€˜π‘) = βˆͺ 𝐽)
84 2ndcsep.1 . . . . . . . 8 𝑋 = βˆͺ 𝐽
8583, 51, 843eqtr4g 2795 . . . . . . 7 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ βˆͺ 𝑏 = 𝑋)
8685pweqd 4618 . . . . . 6 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ 𝒫 βˆͺ 𝑏 = 𝒫 𝑋)
87 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ (clsβ€˜(topGenβ€˜π‘)) = (clsβ€˜π½))
8887fveq1d 6892 . . . . . . . 8 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜π‘₯) = ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯))
8988, 85eqeq12d 2746 . . . . . . 7 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ (((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝑏 ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋))
9089anbi2d 627 . . . . . 6 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝑏) ↔ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋)))
9186, 90rexeqbidv 3341 . . . . 5 ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑏(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜(topGenβ€˜π‘))β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝑏) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋)))
9282, 91syl5ibcom 244 . . . 4 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑏 β‰Ό Ο‰) β†’ ((topGenβ€˜π‘) = 𝐽 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋)))
9392impr 453 . . 3 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋))
9493rexlimiva 3145 . 2 (βˆƒπ‘ ∈ TopBases (𝑏 β‰Ό Ο‰ ∧ (topGenβ€˜π‘) = 𝐽) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋))
951, 94sylbi 216 1 (𝐽 ∈ 2ndΟ‰ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝑋(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘₯) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  ran crn 5676  Oncon0 6363   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€˜cfv 6542  Ο‰com 7857   β‰Ό cdom 8939  cardccrd 9932  topGenctg 17387  Topctop 22615  TopBasesctb 22668  clsccl 22742  2ndΟ‰c2ndc 23162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-acn 9939  df-topgen 17393  df-top 22616  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-2ndc 23164
This theorem is referenced by:  met2ndc  24252
  Copyright terms: Public domain W3C validator