Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmatfvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmatfvlem 30651
Description: Useful lemma to extract literal matrix entries. Suggested by Mario Carneiro. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmatfval.m 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w (𝜑𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1 (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁)
lmatfvlem.1 𝐾 ∈ ℕ0
lmatfvlem.2 𝐿 ∈ ℕ0
lmatfvlem.3 𝐼𝑁
lmatfvlem.4 𝐽𝑁
lmatfvlem.5 (𝐾 + 1) = 𝐼
lmatfvlem.6 (𝐿 + 1) = 𝐽
lmatfvlem.7 (𝑊𝐾) = 𝑋
lmatfvlem.8 (𝜑 → (𝑋𝐿) = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
lmatfvlem (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = 𝑌)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑖)   𝐿(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑋(𝑖)   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem lmatfvlem
StepHypRef Expression
1 lmatfval.m . . 3 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2 lmatfval.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 lmatfval.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
4 lmatfval.1 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
5 lmatfval.2 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁)
6 lmatfvlem.5 . . . . . . . 8 (𝐾 + 1) = 𝐼
7 lmatfvlem.1 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ ℕ0
8 nn0p1nn 11773 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐾 + 1) ∈ ℕ
106, 9eqeltrri 2878 . . . . . . 7 𝐼 ∈ ℕ
11 nnge1 11502 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐼)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 1 ≤ 𝐼
13 lmatfvlem.3 . . . . . 6 𝐼𝑁
1412, 13pm3.2i 471 . . . . 5 (1 ≤ 𝐼𝐼𝑁)
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1 ≤ 𝐼𝐼𝑁))
16 nnz 11842 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
1710, 16ax-mp 5 . . . . . 6 𝐼 ∈ ℤ
1817a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
19 1z 11850 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
2019a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
212nnzd 11924 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
22 elfz 12737 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐼𝐼𝑁)))
2318, 20, 21, 22syl3anc 1362 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐼𝐼𝑁)))
2415, 23mpbird 258 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑁))
25 lmatfvlem.6 . . . . . . . 8 (𝐿 + 1) = 𝐽
26 lmatfvlem.2 . . . . . . . . 9 𝐿 ∈ ℕ0
27 nn0p1nn 11773 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 + 1) ∈ ℕ)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐿 + 1) ∈ ℕ
2925, 28eqeltrri 2878 . . . . . . 7 𝐽 ∈ ℕ
30 nnge1 11502 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐽)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . 6 1 ≤ 𝐽
32 lmatfvlem.4 . . . . . 6 𝐽𝑁
3331, 32pm3.2i 471 . . . . 5 (1 ≤ 𝐽𝐽𝑁)
3433a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1 ≤ 𝐽𝐽𝑁))
35 nnz 11842 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℤ)
3629, 35ax-mp 5 . . . . . 6 𝐽 ∈ ℤ
3736a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
38 elfz 12737 . . . . 5 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐽𝐽𝑁)))
3937, 20, 21, 38syl3anc 1362 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐽𝐽𝑁)))
4034, 39mpbird 258 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑁))
411, 2, 3, 4, 5, 24, 40lmatfval 30650 . 2 (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
427nn0cni 11746 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ ℂ
43 ax-1cn 10430 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
4442, 43pncan3oi 10739 . . . . . . 7 ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾
456oveq1i 7017 . . . . . . 7 ((𝐾 + 1) − 1) = (𝐼 − 1)
4644, 45eqtr3i 2819 . . . . . 6 𝐾 = (𝐼 − 1)
4746fveq2i 6533 . . . . 5 (𝑊𝐾) = (𝑊‘(𝐼 − 1))
48 lmatfvlem.7 . . . . 5 (𝑊𝐾) = 𝑋
4947, 48eqtr3i 2819 . . . 4 (𝑊‘(𝐼 − 1)) = 𝑋
5049a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑊‘(𝐼 − 1)) = 𝑋)
5150fveq1d 6532 . 2 (𝜑 → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) = (𝑋‘(𝐽 − 1)))
5226nn0cni 11746 . . . . . . 7 𝐿 ∈ ℂ
5352, 43pncan3oi 10739 . . . . . 6 ((𝐿 + 1) − 1) = 𝐿
5425oveq1i 7017 . . . . . 6 ((𝐿 + 1) − 1) = (𝐽 − 1)
5553, 54eqtr3i 2819 . . . . 5 𝐿 = (𝐽 − 1)
5655a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐿 = (𝐽 − 1))
5756fveq2d 6534 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐿) = (𝑋‘(𝐽 − 1)))
58 lmatfvlem.8 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐿) = 𝑌)
5957, 58eqtr3d 2831 . 2 (𝜑 → (𝑋‘(𝐽 − 1)) = 𝑌)
6041, 51, 593eqtrd 2833 1 (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1520  wcel 2079   class class class wbr 4956  cfv 6217  (class class class)co 7007  0cc0 10372  1c1 10373   + caddc 10375  cle 10511  cmin 10706  cn 11475  0cn0 11734  cz 11818  ...cfz 12731  ..^cfzo 12872  chash 13528  Word cword 13695  litMatclmat 30647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-hash 13529  df-word 13696  df-lmat 30648
This theorem is referenced by:  lmat22e12  30655  lmat22e21  30656  lmat22e22  30657
  Copyright terms: Public domain W3C validator