Theorem lmatfvlem 33630

Description: Useful lemma to extract literal matrix entries. Suggested by Mario Carneiro. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmatfval.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
lmatfvlem.1	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
lmatfvlem.2	⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
lmatfvlem.3	⊢ 𝐼 ≤ 𝑁
lmatfvlem.4	⊢ 𝐽 ≤ 𝑁
lmatfvlem.5	⊢ (𝐾 + 1) = 𝐼
lmatfvlem.6	⊢ (𝐿 + 1) = 𝐽
lmatfvlem.7	⊢ (𝑊‘𝐾) = 𝑋
lmatfvlem.8	⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐿) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
lmatfvlem	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑖)   𝐿(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑋(𝑖)   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem lmatfvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmatfval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2		lmatfval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		lmatfval.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
4		lmatfval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
5		lmatfval.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
6		lmatfvlem.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 + 1) = 𝐼
7		lmatfvlem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
8		nn0p1nn 12563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 + 1) ∈ ℕ
10	6, 9	eqeltrri 2823	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ
11		nnge1 12292	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐼)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 𝐼
13		lmatfvlem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ≤ 𝑁
14	12, 13	pm3.2i 469	. . . . 5 ⊢ (1 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ 𝑁)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ 𝑁))
16		nnz 12631	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
17	10, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ ℤ
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
19		1z 12644	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
21	2	nnzd 12637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
22		elfz 13544	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ 𝑁)))
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ 𝑁)))
24	15, 23	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
25		lmatfvlem.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 + 1) = 𝐽
26		lmatfvlem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
27		nn0p1nn 12563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 + 1) ∈ ℕ)
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 + 1) ∈ ℕ
29	25, 28	eqeltrri 2823	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 ∈ ℕ
30		nnge1 12292	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐽)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 𝐽
32		lmatfvlem.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ≤ 𝑁
33	31, 32	pm3.2i 469	. . . . 5 ⊢ (1 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁))
35		nnz 12631	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℤ)
36	29, 35	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ ℤ
37	36	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
38		elfz 13544	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
39	37, 20, 21, 38	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
40	34, 39	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
41	1, 2, 3, 4, 5, 24, 40	lmatfval 33629	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
42	7	nn0cni 12536	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
43		ax-1cn 11216	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
44	42, 43	pncan3oi 11526	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾
45	6	oveq1i 7434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 + 1) − 1) = (𝐼 − 1)
46	44, 45	eqtr3i 2756	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝐼 − 1)
47	46	fveq2i 6904	. . . . 5 ⊢ (𝑊‘𝐾) = (𝑊‘(𝐼 − 1))
48		lmatfvlem.7	. . . . 5 ⊢ (𝑊‘𝐾) = 𝑋
49	47, 48	eqtr3i 2756	. . . 4 ⊢ (𝑊‘(𝐼 − 1)) = 𝑋
50	49	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(𝐼 − 1)) = 𝑋)
51	50	fveq1d 6903	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) = (𝑋‘(𝐽 − 1)))
52	26	nn0cni 12536	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 ∈ ℂ
53	52, 43	pncan3oi 11526	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 + 1) − 1) = 𝐿
54	25	oveq1i 7434	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 + 1) − 1) = (𝐽 − 1)
55	53, 54	eqtr3i 2756	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝐽 − 1)
56	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝐽 − 1))
57	56	fveq2d 6905	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐿) = (𝑋‘(𝐽 − 1)))
58		lmatfvlem.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐿) = 𝑌)
59	57, 58	eqtr3d 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐽 − 1)) = 𝑌)
60	41, 51, 59	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5153  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   ≤ cle 11299   − cmin 11494  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12610  ...cfz 13538  ..^cfzo 13681  ♯chash 14347  Word cword 14522  litMatclmat 33626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-lmat 33627

This theorem is referenced by:  lmat22e12  33634  lmat22e21  33635  lmat22e22  33636