Theorem lmatfvlem 30651

Description: Useful lemma to extract literal matrix entries. Suggested by Mario Carneiro. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmatfval.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
lmatfvlem.1	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
lmatfvlem.2	⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
lmatfvlem.3	⊢ 𝐼 ≤ 𝑁
lmatfvlem.4	⊢ 𝐽 ≤ 𝑁
lmatfvlem.5	⊢ (𝐾 + 1) = 𝐼
lmatfvlem.6	⊢ (𝐿 + 1) = 𝐽
lmatfvlem.7	⊢ (𝑊‘𝐾) = 𝑋
lmatfvlem.8	⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐿) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
lmatfvlem	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑖)   𝐿(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑋(𝑖)   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem lmatfvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmatfval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2		lmatfval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		lmatfval.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
4		lmatfval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
5		lmatfval.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
6		lmatfvlem.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 + 1) = 𝐼
7		lmatfvlem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
8		nn0p1nn 11773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 + 1) ∈ ℕ
10	6, 9	eqeltrri 2878	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ
11		nnge1 11502	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐼)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 𝐼
13		lmatfvlem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ≤ 𝑁
14	12, 13	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (1 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ 𝑁)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ 𝑁))
16		nnz 11842	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
17	10, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ ℤ
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
19		1z 11850	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
21	2	nnzd 11924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
22		elfz 12737	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ 𝑁)))
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1362	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ 𝑁)))
24	15, 23	mpbird 258	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
25		lmatfvlem.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 + 1) = 𝐽
26		lmatfvlem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
27		nn0p1nn 11773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 + 1) ∈ ℕ)
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 + 1) ∈ ℕ
29	25, 28	eqeltrri 2878	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 ∈ ℕ
30		nnge1 11502	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐽)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 𝐽
32		lmatfvlem.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ≤ 𝑁
33	31, 32	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (1 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁))
35		nnz 11842	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℤ)
36	29, 35	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ ℤ
37	36	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
38		elfz 12737	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
39	37, 20, 21, 38	syl3anc 1362	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
40	34, 39	mpbird 258	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
41	1, 2, 3, 4, 5, 24, 40	lmatfval 30650	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
42	7	nn0cni 11746	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
43		ax-1cn 10430	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
44	42, 43	pncan3oi 10739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾
45	6	oveq1i 7017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 + 1) − 1) = (𝐼 − 1)
46	44, 45	eqtr3i 2819	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝐼 − 1)
47	46	fveq2i 6533	. . . . 5 ⊢ (𝑊‘𝐾) = (𝑊‘(𝐼 − 1))
48		lmatfvlem.7	. . . . 5 ⊢ (𝑊‘𝐾) = 𝑋
49	47, 48	eqtr3i 2819	. . . 4 ⊢ (𝑊‘(𝐼 − 1)) = 𝑋
50	49	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(𝐼 − 1)) = 𝑋)
51	50	fveq1d 6532	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) = (𝑋‘(𝐽 − 1)))
52	26	nn0cni 11746	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 ∈ ℂ
53	52, 43	pncan3oi 10739	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 + 1) − 1) = 𝐿
54	25	oveq1i 7017	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 + 1) − 1) = (𝐽 − 1)
55	53, 54	eqtr3i 2819	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝐽 − 1)
56	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝐽 − 1))
57	56	fveq2d 6534	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐿) = (𝑋‘(𝐽 − 1)))
58		lmatfvlem.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐿) = 𝑌)
59	57, 58	eqtr3d 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐽 − 1)) = 𝑌)
60	41, 51, 59	3eqtrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1520   ∈ wcel 2079   class class class wbr 4956  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007  0cc0 10372  1c1 10373   + caddc 10375   ≤ cle 10511   − cmin 10706  ℕcn 11475  ℕ₀cn0 11734  ℤcz 11818  ...cfz 12731  ..^cfzo 12872  ♯chash 13528  Word cword 13695  litMatclmat 30647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-hash 13529  df-word 13696  df-lmat 30648

This theorem is referenced by:  lmat22e12  30655  lmat22e21  30656  lmat22e22  30657