Theorem lmatfvlem 31765

Description: Useful lemma to extract literal matrix entries. Suggested by Mario Carneiro. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmatfval.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
lmatfvlem.1	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
lmatfvlem.2	⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
lmatfvlem.3	⊢ 𝐼 ≤ 𝑁
lmatfvlem.4	⊢ 𝐽 ≤ 𝑁
lmatfvlem.5	⊢ (𝐾 + 1) = 𝐼
lmatfvlem.6	⊢ (𝐿 + 1) = 𝐽
lmatfvlem.7	⊢ (𝑊‘𝐾) = 𝑋
lmatfvlem.8	⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐿) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
lmatfvlem	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑖)   𝐿(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑋(𝑖)   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem lmatfvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmatfval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2		lmatfval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		lmatfval.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
4		lmatfval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
5		lmatfval.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
6		lmatfvlem.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 + 1) = 𝐼
7		lmatfvlem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
8		nn0p1nn 12272	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 + 1) ∈ ℕ
10	6, 9	eqeltrri 2836	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ
11		nnge1 12001	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐼)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 𝐼
13		lmatfvlem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ≤ 𝑁
14	12, 13	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (1 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ 𝑁)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ 𝑁))
16		nnz 12342	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
17	10, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ ℤ
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
19		1z 12350	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
21	2	nnzd 12425	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
22		elfz 13245	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ 𝑁)))
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ 𝑁)))
24	15, 23	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
25		lmatfvlem.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 + 1) = 𝐽
26		lmatfvlem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
27		nn0p1nn 12272	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 + 1) ∈ ℕ)
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 + 1) ∈ ℕ
29	25, 28	eqeltrri 2836	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 ∈ ℕ
30		nnge1 12001	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐽)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 𝐽
32		lmatfvlem.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ≤ 𝑁
33	31, 32	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (1 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁))
35		nnz 12342	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℤ)
36	29, 35	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ ℤ
37	36	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
38		elfz 13245	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
39	37, 20, 21, 38	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
40	34, 39	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
41	1, 2, 3, 4, 5, 24, 40	lmatfval 31764	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
42	7	nn0cni 12245	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
43		ax-1cn 10929	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
44	42, 43	pncan3oi 11237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾
45	6	oveq1i 7285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 + 1) − 1) = (𝐼 − 1)
46	44, 45	eqtr3i 2768	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝐼 − 1)
47	46	fveq2i 6777	. . . . 5 ⊢ (𝑊‘𝐾) = (𝑊‘(𝐼 − 1))
48		lmatfvlem.7	. . . . 5 ⊢ (𝑊‘𝐾) = 𝑋
49	47, 48	eqtr3i 2768	. . . 4 ⊢ (𝑊‘(𝐼 − 1)) = 𝑋
50	49	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(𝐼 − 1)) = 𝑋)
51	50	fveq1d 6776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) = (𝑋‘(𝐽 − 1)))
52	26	nn0cni 12245	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 ∈ ℂ
53	52, 43	pncan3oi 11237	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 + 1) − 1) = 𝐿
54	25	oveq1i 7285	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 + 1) − 1) = (𝐽 − 1)
55	53, 54	eqtr3i 2768	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝐽 − 1)
56	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝐽 − 1))
57	56	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐿) = (𝑋‘(𝐽 − 1)))
58		lmatfvlem.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐿) = 𝑌)
59	57, 58	eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐽 − 1)) = 𝑌)
60	41, 51, 59	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Word cword 14217  litMatclmat 31761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-lmat 31762

This theorem is referenced by:  lmat22e12  31769  lmat22e21  31770  lmat22e22  31771