Theorem lmatfvlem 34551

Description: Useful lemma to extract literal matrix entries. Suggested by Mario Carneiro. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmatfval.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
lmatfvlem.1	⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
lmatfvlem.2	⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
lmatfvlem.3	⊢ 𝐼 ≤ 𝑁
lmatfvlem.4	⊢ 𝐽 ≤ 𝑁
lmatfvlem.5	⊢ (𝐾 + 1) = 𝐼
lmatfvlem.6	⊢ (𝐿 + 1) = 𝐽
lmatfvlem.7	⊢ (𝑊‘𝐾) = 𝑋
lmatfvlem.8	⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐿) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
lmatfvlem	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑖)   𝐿(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑋(𝑖)   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem lmatfvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmatfval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2		lmatfval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		lmatfval.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
4		lmatfval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
5		lmatfval.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊‘𝑖)) = 𝑁)
6		lmatfvlem.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 + 1) = 𝐼
7		lmatfvlem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
8		nn0p1nn 12683	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 + 1) ∈ ℕ
10	6, 9	eqeltrri 2861	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ
11		nnge1 12404	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐼)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 𝐼
13		lmatfvlem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ≤ 𝑁
14	12, 13	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (1 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ 𝑁)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ 𝑁))
16		nnz 12752	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
17	10, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ ℤ
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
19		1z 12764	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
21	2	nnzd 12757	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
22		elfz 13683	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ 𝑁)))
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 ≤ 𝑁)))
24	15, 23	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
25		lmatfvlem.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 + 1) = 𝐽
26		lmatfvlem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 ∈ ℕ0
27		nn0p1nn 12683	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 + 1) ∈ ℕ)
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 + 1) ∈ ℕ
29	25, 28	eqeltrri 2861	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 ∈ ℕ
30		nnge1 12404	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐽)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 𝐽
32		lmatfvlem.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ≤ 𝑁
33	31, 32	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (1 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁))
35		nnz 12752	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℤ)
36	29, 35	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ ℤ
37	36	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
38		elfz 13683	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
39	37, 20, 21, 38	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≤ 𝑁)))
40	34, 39	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (1...𝑁))
41	1, 2, 3, 4, 5, 24, 40	lmatfval 34550	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
42	7	nn0cni 12656	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
43		ax-1cn 11295	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
44	42, 43	pncan3oi 11610	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾
45	6	oveq1i 7459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 + 1) − 1) = (𝐼 − 1)
46	44, 45	eqtr3i 2788	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝐼 − 1)
47	46	fveq2i 6917	. . . . 5 ⊢ (𝑊‘𝐾) = (𝑊‘(𝐼 − 1))
48		lmatfvlem.7	. . . . 5 ⊢ (𝑊‘𝐾) = 𝑋
49	47, 48	eqtr3i 2788	. . . 4 ⊢ (𝑊‘(𝐼 − 1)) = 𝑋
50	49	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘(𝐼 − 1)) = 𝑋)
51	50	fveq1d 6916	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) = (𝑋‘(𝐽 − 1)))
52	26	nn0cni 12656	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 ∈ ℂ
53	52, 43	pncan3oi 11610	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 + 1) − 1) = 𝐿
54	25	oveq1i 7459	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 + 1) − 1) = (𝐽 − 1)
55	53, 54	eqtr3i 2788	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝐽 − 1)
56	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝐽 − 1))
57	56	fveq2d 6918	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐿) = (𝑋‘(𝐽 − 1)))
58		lmatfvlem.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝐿) = 𝑌)
59	57, 58	eqtr3d 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘(𝐽 − 1)) = 𝑌)
60	41, 51, 59	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  0cc0 11237  1c1 11238   + caddc 11240   ≤ cle 11381   − cmin 11578  ℕcn 12373  ℕ₀cn0 12644  ℤcz 12731  ...cfz 13677  ..^cfzo 13826  ♯chash 14513  Word cword 14697  litMatclmat 34547

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-hash 14514  df-word 14698  df-lmat 34548

This theorem is used by:  lmat22e12  34555  lmat22e21  34556  lmat22e22  34557