Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmatfvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmatfvlem 33776
Description: Useful lemma to extract literal matrix entries. Suggested by Mario Carneiro. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmatfval.m 𝑀 = (litMat‘𝑊)
lmatfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lmatfval.w (𝜑𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
lmatfval.1 (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
lmatfval.2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁)
lmatfvlem.1 𝐾 ∈ ℕ0
lmatfvlem.2 𝐿 ∈ ℕ0
lmatfvlem.3 𝐼𝑁
lmatfvlem.4 𝐽𝑁
lmatfvlem.5 (𝐾 + 1) = 𝐼
lmatfvlem.6 (𝐿 + 1) = 𝐽
lmatfvlem.7 (𝑊𝐾) = 𝑋
lmatfvlem.8 (𝜑 → (𝑋𝐿) = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
lmatfvlem (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = 𝑌)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑖)   𝐿(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑋(𝑖)   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem lmatfvlem
StepHypRef Expression
1 lmatfval.m . . 3 𝑀 = (litMat‘𝑊)
2 lmatfval.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 lmatfval.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ Word Word 𝑉)
4 lmatfval.1 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝑁)
5 lmatfval.2 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑊𝑖)) = 𝑁)
6 lmatfvlem.5 . . . . . . . 8 (𝐾 + 1) = 𝐼
7 lmatfvlem.1 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ ℕ0
8 nn0p1nn 12563 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐾 + 1) ∈ ℕ
106, 9eqeltrri 2836 . . . . . . 7 𝐼 ∈ ℕ
11 nnge1 12292 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐼)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 1 ≤ 𝐼
13 lmatfvlem.3 . . . . . 6 𝐼𝑁
1412, 13pm3.2i 470 . . . . 5 (1 ≤ 𝐼𝐼𝑁)
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1 ≤ 𝐼𝐼𝑁))
16 nnz 12632 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
1710, 16ax-mp 5 . . . . . 6 𝐼 ∈ ℤ
1817a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
19 1z 12645 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
2019a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
212nnzd 12638 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
22 elfz 13550 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐼𝐼𝑁)))
2318, 20, 21, 22syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐼𝐼𝑁)))
2415, 23mpbird 257 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑁))
25 lmatfvlem.6 . . . . . . . 8 (𝐿 + 1) = 𝐽
26 lmatfvlem.2 . . . . . . . . 9 𝐿 ∈ ℕ0
27 nn0p1nn 12563 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 + 1) ∈ ℕ)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐿 + 1) ∈ ℕ
2925, 28eqeltrri 2836 . . . . . . 7 𝐽 ∈ ℕ
30 nnge1 12292 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐽)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . 6 1 ≤ 𝐽
32 lmatfvlem.4 . . . . . 6 𝐽𝑁
3331, 32pm3.2i 470 . . . . 5 (1 ≤ 𝐽𝐽𝑁)
3433a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1 ≤ 𝐽𝐽𝑁))
35 nnz 12632 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℤ)
3629, 35ax-mp 5 . . . . . 6 𝐽 ∈ ℤ
3736a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
38 elfz 13550 . . . . 5 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐽𝐽𝑁)))
3937, 20, 21, 38syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 𝐽𝐽𝑁)))
4034, 39mpbird 257 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (1...𝑁))
411, 2, 3, 4, 5, 24, 40lmatfval 33775 . 2 (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)))
427nn0cni 12536 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ ℂ
43 ax-1cn 11211 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
4442, 43pncan3oi 11522 . . . . . . 7 ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾
456oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((𝐾 + 1) − 1) = (𝐼 − 1)
4644, 45eqtr3i 2765 . . . . . 6 𝐾 = (𝐼 − 1)
4746fveq2i 6910 . . . . 5 (𝑊𝐾) = (𝑊‘(𝐼 − 1))
48 lmatfvlem.7 . . . . 5 (𝑊𝐾) = 𝑋
4947, 48eqtr3i 2765 . . . 4 (𝑊‘(𝐼 − 1)) = 𝑋
5049a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑊‘(𝐼 − 1)) = 𝑋)
5150fveq1d 6909 . 2 (𝜑 → ((𝑊‘(𝐼 − 1))‘(𝐽 − 1)) = (𝑋‘(𝐽 − 1)))
5226nn0cni 12536 . . . . . . 7 𝐿 ∈ ℂ
5352, 43pncan3oi 11522 . . . . . 6 ((𝐿 + 1) − 1) = 𝐿
5425oveq1i 7441 . . . . . 6 ((𝐿 + 1) − 1) = (𝐽 − 1)
5553, 54eqtr3i 2765 . . . . 5 𝐿 = (𝐽 − 1)
5655a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐿 = (𝐽 − 1))
5756fveq2d 6911 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐿) = (𝑋‘(𝐽 − 1)))
58 lmatfvlem.8 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐿) = 𝑌)
5957, 58eqtr3d 2777 . 2 (𝜑 → (𝑋‘(𝐽 − 1)) = 𝑌)
6041, 51, 593eqtrd 2779 1 (𝜑 → (𝐼𝑀𝐽) = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549  litMatclmat 33772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-lmat 33773
This theorem is referenced by:  lmat22e12  33780  lmat22e21  33781  lmat22e22  33782
  Copyright terms: Public domain W3C validator