Theorem 2lgslem1a 27372

Description: Lemma 1 for 2lgslem1 27375. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1a	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)})

Distinct variable group:   𝑃,𝑖,𝑥

Proof of Theorem 2lgslem1a

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 12489	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
3	2	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ0)
4		4nn 12255	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
5	3, 4	jctir 525	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ))
6		fldivnn0 13772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
7		nn0p1nn 12467	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℕ)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℕ)
9		elnnuz 12819	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
10	8, 9	sylib 219	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
11		fzss1 13508	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ (ℤ≥‘1) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ⊆ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
12		rexss 3988	. . . . 5 ⊢ ((((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ⊆ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2))))
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2))))
14		ancom 461	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2)) ↔ (𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ 𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))))
15	2, 4	jctir 525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ))
16	15, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
17	16	nn0zd 12540	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
18	17	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
19		elfzelz 13469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑖 ∈ ℤ)
20		zltp1le 12568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖))
21	18, 19, 20	syl2an 602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖))
22	21	bicomd 224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖 ↔ (⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖))
23	22	anbi1d 637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)) ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
24	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑖 ∈ ℤ)
25	17	peano2zd 12627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℤ)
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℤ)
27	26	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℤ)
28		prmz 16635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
29		oddm1d2 16320	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
31	30	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
32	31	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
33		elfz 13458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
34	24, 27, 32, 33	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
35		elfzle2 13473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
37	36	biantrud 536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
38	23, 34, 37	3bitr4d 312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖))
39	28	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
40		2lgslem1a2 27371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ↔ (𝑃 / 2) < (𝑖 · 2)))
41	39, 19, 40	syl2an 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ↔ (𝑃 / 2) < (𝑖 · 2)))
42	38, 41	bitrd 280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑖 · 2)))
43		2lgslem1a1 27370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ∀𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑘 · 2) = ((𝑘 · 2) mod 𝑃))
44	1, 43	sylan 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ∀𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑘 · 2) = ((𝑘 · 2) mod 𝑃))
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑘 · 2) = ((𝑘 · 2) mod 𝑃))
46		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 · 2) = (𝑖 · 2))
47	46	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 · 2) mod 𝑃) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
48	46, 47	eqeq12d 2755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 · 2) = ((𝑘 · 2) mod 𝑃) ↔ (𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃)))
49	48	rspccva 3559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑘 · 2) = ((𝑘 · 2) mod 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
50	45, 49	sylan 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
51	50	breq2d 5084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 / 2) < (𝑖 · 2) ↔ (𝑃 / 2) < ((𝑖 · 2) mod 𝑃)))
52	42, 51	bitrd 280	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (𝑃 / 2) < ((𝑖 · 2) mod 𝑃)))
53		oveq1 7363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑖 · 2) → (𝑥 mod 𝑃) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
54	53	eqcomd 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑖 · 2) → ((𝑖 · 2) mod 𝑃) = (𝑥 mod 𝑃))
55	54	breq2d 5084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑖 · 2) → ((𝑃 / 2) < ((𝑖 · 2) mod 𝑃) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃)))
56	52, 55	sylan9bb 514	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2)) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃)))
57	56	pm5.32da 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ 𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))) ↔ (𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))))
58	14, 57	bitrid 284	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2)) ↔ (𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))))
59	58	rexbidva 3161	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2)) ↔ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))))
60	13, 59	bitrd 280	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))))
61	60	bicomd 224	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃)) ↔ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)))
62	61	rabbidva 3397	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  {crab 3391   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  4c4 12229  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452  ⌊cfl 13740   mod cmo 13819   ∥ cdvds 16212  ℙcprime 16631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fl 13742  df-mod 13820  df-dvds 16213  df-prm 16632

This theorem is referenced by:  2lgslem1  27375