Theorem 2lgslem1a 27317

Description: Lemma 1 for 2lgslem1 27320. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1a	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)})

Distinct variable group:   𝑃,𝑖,𝑥

Proof of Theorem 2lgslem1a

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 12556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
3	2	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ0)
4		4nn 12319	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
5	3, 4	jctir 520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ))
6		fldivnn0 13813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
7		nn0p1nn 12535	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℕ)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℕ)
9		elnnuz 12890	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
10	8, 9	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
11		fzss1 13566	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ (ℤ≥‘1) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ⊆ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
12		rexss 4051	. . . . 5 ⊢ ((((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ⊆ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2))))
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2))))
14		ancom 460	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2)) ↔ (𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ 𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))))
15	2, 4	jctir 520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ))
16	15, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
17	16	nn0zd 12608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
18	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
19		elfzelz 13527	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑖 ∈ ℤ)
20		zltp1le 12636	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖))
21	18, 19, 20	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖))
22	21	bicomd 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖 ↔ (⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖))
23	22	anbi1d 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)) ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
24	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑖 ∈ ℤ)
25	17	peano2zd 12693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℤ)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℤ)
27	26	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℤ)
28		prmz 16639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
29		oddm1d2 16330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
31	30	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
32	31	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
33		elfz 13516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
34	24, 27, 32, 33	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
35		elfzle2 13531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
37	36	biantrud 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
38	23, 34, 37	3bitr4d 311	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖))
39	28	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
40		2lgslem1a2 27316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ↔ (𝑃 / 2) < (𝑖 · 2)))
41	39, 19, 40	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ↔ (𝑃 / 2) < (𝑖 · 2)))
42	38, 41	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑖 · 2)))
43		2lgslem1a1 27315	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ∀𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑘 · 2) = ((𝑘 · 2) mod 𝑃))
44	1, 43	sylan 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ∀𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑘 · 2) = ((𝑘 · 2) mod 𝑃))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑘 · 2) = ((𝑘 · 2) mod 𝑃))
46		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 · 2) = (𝑖 · 2))
47	46	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 · 2) mod 𝑃) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
48	46, 47	eqeq12d 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 · 2) = ((𝑘 · 2) mod 𝑃) ↔ (𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃)))
49	48	rspccva 3607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑘 · 2) = ((𝑘 · 2) mod 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
50	45, 49	sylan 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
51	50	breq2d 5154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 / 2) < (𝑖 · 2) ↔ (𝑃 / 2) < ((𝑖 · 2) mod 𝑃)))
52	42, 51	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (𝑃 / 2) < ((𝑖 · 2) mod 𝑃)))
53		oveq1 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑖 · 2) → (𝑥 mod 𝑃) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
54	53	eqcomd 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑖 · 2) → ((𝑖 · 2) mod 𝑃) = (𝑥 mod 𝑃))
55	54	breq2d 5154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑖 · 2) → ((𝑃 / 2) < ((𝑖 · 2) mod 𝑃) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃)))
56	52, 55	sylan9bb 509	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2)) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃)))
57	56	pm5.32da 578	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ 𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))) ↔ (𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))))
58	14, 57	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2)) ↔ (𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))))
59	58	rexbidva 3172	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2)) ↔ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))))
60	13, 59	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))))
61	60	bicomd 222	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃)) ↔ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)))
62	61	rabbidva 3435	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3057  ∃wrex 3066  {crab 3428   ⊆ wss 3945   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11133   + caddc 11135   · cmul 11137   < clt 11272   ≤ cle 11273   − cmin 11468   / cdiv 11895  ℕcn 12236  2c2 12291  4c4 12293  ℕ₀cn0 12496  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12846  ...cfz 13510  ⌊cfl 13781   mod cmo 13860   ∥ cdvds 16224  ℙcprime 16635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-fz 13511  df-fl 13783  df-mod 13861  df-dvds 16225  df-prm 16636

This theorem is referenced by:  2lgslem1  27320