MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem1a 26894
Description: Lemma 1 for 2lgslem1 26897. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgslem1a ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))} = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)})
Distinct variable group:   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘ฅ

Proof of Theorem 2lgslem1a
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 16611 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
21nnnn0d 12532 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
32ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
4 4nn 12295 . . . . . . . 8 4 โˆˆ โ„•
53, 4jctir 522 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โˆง 4 โˆˆ โ„•))
6 fldivnn0 13787 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โˆง 4 โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„•0)
7 nn0p1nn 12511 . . . . . . 7 ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ โ„•)
85, 6, 73syl 18 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ โ„•)
9 elnnuz 12866 . . . . . 6 (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ โ„• โ†” ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
108, 9sylib 217 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
11 fzss1 13540 . . . . 5 (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โŠ† (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
12 rexss 4056 . . . . 5 ((((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โŠ† (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2))))
1310, 11, 123syl 18 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2))))
14 ancom 462 . . . . . 6 ((๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)) โ†” (๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))))
152, 4jctir 522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โˆง 4 โˆˆ โ„•))
1615, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„•0)
1716nn0zd 12584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„ค)
1817ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„ค)
19 elfzelz 13501 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
20 zltp1le 12612 . . . . . . . . . . . . . 14 (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) < ๐‘– โ†” ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘–))
2118, 19, 20syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) < ๐‘– โ†” ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘–))
2221bicomd 222 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘– โ†” (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) < ๐‘–))
2322anbi1d 631 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†” ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))))
2419adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
2517peano2zd 12669 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ โ„ค)
2625adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ โ„ค)
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ โ„ค)
28 prmz 16612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
29 oddm1d2 16303 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
3130biimpa 478 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
3231ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
33 elfz 13490 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†” (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))))
3424, 27, 32, 33syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†” (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))))
35 elfzle2 13505 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘– โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
3635adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘– โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
3736biantrud 533 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) < ๐‘– โ†” ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))))
3823, 34, 373bitr4d 311 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†” (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) < ๐‘–))
3928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
40 2lgslem1a2 26893 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) < ๐‘– โ†” (๐‘ƒ / 2) < (๐‘– ยท 2)))
4139, 19, 40syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) < ๐‘– โ†” (๐‘ƒ / 2) < (๐‘– ยท 2)))
4238, 41bitrd 279 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†” (๐‘ƒ / 2) < (๐‘– ยท 2)))
43 2lgslem1a1 26892 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘˜ ยท 2) = ((๐‘˜ ยท 2) mod ๐‘ƒ))
441, 43sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘˜ ยท 2) = ((๐‘˜ ยท 2) mod ๐‘ƒ))
4544adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘˜ ยท 2) = ((๐‘˜ ยท 2) mod ๐‘ƒ))
46 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐‘˜ ยท 2) = (๐‘– ยท 2))
4746oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘– ยท 2) mod ๐‘ƒ))
4846, 47eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) = ((๐‘˜ ยท 2) mod ๐‘ƒ) โ†” (๐‘– ยท 2) = ((๐‘– ยท 2) mod ๐‘ƒ)))
4948rspccva 3612 . . . . . . . . . . 11 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘˜ ยท 2) = ((๐‘˜ ยท 2) mod ๐‘ƒ) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘– ยท 2) = ((๐‘– ยท 2) mod ๐‘ƒ))
5045, 49sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘– ยท 2) = ((๐‘– ยท 2) mod ๐‘ƒ))
5150breq2d 5161 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ƒ / 2) < (๐‘– ยท 2) โ†” (๐‘ƒ / 2) < ((๐‘– ยท 2) mod ๐‘ƒ)))
5242, 51bitrd 279 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†” (๐‘ƒ / 2) < ((๐‘– ยท 2) mod ๐‘ƒ)))
53 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†’ (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ) = ((๐‘– ยท 2) mod ๐‘ƒ))
5453eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†’ ((๐‘– ยท 2) mod ๐‘ƒ) = (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))
5554breq2d 5161 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†’ ((๐‘ƒ / 2) < ((๐‘– ยท 2) mod ๐‘ƒ) โ†” (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ)))
5652, 55sylan9bb 511 . . . . . . 7 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)) โ†’ (๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†” (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ)))
5756pm5.32da 580 . . . . . 6 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†” (๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))))
5814, 57bitrid 283 . . . . 5 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)) โ†” (๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))))
5958rexbidva 3177 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))))
6013, 59bitrd 279 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))))
6160bicomd 222 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ)) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)))
6261rabbidva 3440 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))} = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071  {crab 3433   โŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  4c4 12269  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  ...cfz 13484  โŒŠcfl 13755   mod cmo 13834   โˆฅ cdvds 16197  โ„™cprime 16608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fl 13757  df-mod 13835  df-dvds 16198  df-prm 16609
This theorem is referenced by:  2lgslem1  26897
  Copyright terms: Public domain W3C validator