Theorem 2lgslem1a 27630

Description: Lemma 1 for 2lgslem1 27633. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1a	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)})

Distinct variable group:   𝑃,𝑖,𝑥

Proof of Theorem 2lgslem1a

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 12592	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
3	2	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ0)
4		4nn 12351	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
5	3, 4	jctir 530	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ))
6		fldivnn0 13886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
7		nn0p1nn 12570	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℕ)
8	5, 6, 7	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℕ)
9		elnnuz 12930	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
10	8, 9	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
11		fzss1 13621	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ (ℤ≥‘1) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ⊆ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
12		rexss 4005	. . . . 5 ⊢ ((((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ⊆ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2))))
13	10, 11, 12	3syl 19	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2))))
14		ancom 466	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2)) ↔ (𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ 𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))))
15	2, 4	jctir 530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ))
16	15, 6	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ0)
17	16	nn0zd 12643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
18	17	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
19		elfzelz 13581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑖 ∈ ℤ)
20		zltp1le 12671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖))
21	18, 19, 20	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖))
22	21	bicomd 226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖 ↔ (⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖))
23	22	anbi1d 643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)) ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
24	19	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑖 ∈ ℤ)
25	17	peano2zd 12731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℤ)
26	25	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℤ)
27	26	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℤ)
28		prmz 16768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
29		oddm1d2 16453	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
30	28, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
31	30	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
32	31	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
33		elfz 13570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
34	24, 27, 32, 33	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
35		elfzle2 13585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
36	35	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
37	36	biantrud 541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
38	23, 34, 37	3bitr4d 314	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖))
39	28	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
40		2lgslem1a2 27629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ↔ (𝑃 / 2) < (𝑖 · 2)))
41	39, 19, 40	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) < 𝑖 ↔ (𝑃 / 2) < (𝑖 · 2)))
42	38, 41	bitrd 282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑖 · 2)))
43		2lgslem1a1 27628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ∀𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑘 · 2) = ((𝑘 · 2) mod 𝑃))
44	1, 43	sylan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ∀𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑘 · 2) = ((𝑘 · 2) mod 𝑃))
45	44	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑘 · 2) = ((𝑘 · 2) mod 𝑃))
46		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 · 2) = (𝑖 · 2))
47	46	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 · 2) mod 𝑃) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
48	46, 47	eqeq12d 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 · 2) = ((𝑘 · 2) mod 𝑃) ↔ (𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃)))
49	48	rspccva 3575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑘 · 2) = ((𝑘 · 2) mod 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
50	45, 49	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
51	50	breq2d 5115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 / 2) < (𝑖 · 2) ↔ (𝑃 / 2) < ((𝑖 · 2) mod 𝑃)))
52	42, 51	bitrd 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (𝑃 / 2) < ((𝑖 · 2) mod 𝑃)))
53		oveq1 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑖 · 2) → (𝑥 mod 𝑃) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
54	53	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑖 · 2) → ((𝑖 · 2) mod 𝑃) = (𝑥 mod 𝑃))
55	54	breq2d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑖 · 2) → ((𝑃 / 2) < ((𝑖 · 2) mod 𝑃) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃)))
56	52, 55	sylan9bb 519	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2)) → (𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃)))
57	56	pm5.32da 590	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ 𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))) ↔ (𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))))
58	14, 57	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2)) ↔ (𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))))
59	58	rexbidva 3184	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 = (𝑖 · 2)) ↔ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))))
60	13, 59	bitrd 282	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))))
61	60	bicomd 226	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃)) ↔ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)))
62	61	rabbidva 3418	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)...((𝑃 − 1) / 2))𝑥 = (𝑖 · 2)})

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11468   / cdiv 11898  ℕcn 12260  2c2 12322  4c4 12324  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  ...cfz 13564  ⌊cfl 13854   mod cmo 13933   ∥ cdvds 16345  ℙcprime 16764

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-fz 13565  df-fl 13856  df-mod 13934  df-dvds 16346  df-prm 16765

This theorem is used by:  2lgslem1  27633