MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem1a 26901
Description: Lemma 1 for 2lgslem1 26904. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgslem1a ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))} = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)})
Distinct variable group:   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘ฅ

Proof of Theorem 2lgslem1a
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 16613 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
21nnnn0d 12534 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
32ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
4 4nn 12297 . . . . . . . 8 4 โˆˆ โ„•
53, 4jctir 521 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โˆง 4 โˆˆ โ„•))
6 fldivnn0 13789 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โˆง 4 โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„•0)
7 nn0p1nn 12513 . . . . . . 7 ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ โ„•)
85, 6, 73syl 18 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ โ„•)
9 elnnuz 12868 . . . . . 6 (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ โ„• โ†” ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
108, 9sylib 217 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
11 fzss1 13542 . . . . 5 (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โŠ† (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
12 rexss 4055 . . . . 5 ((((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โŠ† (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2))))
1310, 11, 123syl 18 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2))))
14 ancom 461 . . . . . 6 ((๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)) โ†” (๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))))
152, 4jctir 521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โˆง 4 โˆˆ โ„•))
1615, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„•0)
1716nn0zd 12586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„ค)
1817ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„ค)
19 elfzelz 13503 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
20 zltp1le 12614 . . . . . . . . . . . . . 14 (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) < ๐‘– โ†” ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘–))
2118, 19, 20syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) < ๐‘– โ†” ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘–))
2221bicomd 222 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘– โ†” (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) < ๐‘–))
2322anbi1d 630 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†” ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))))
2419adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
2517peano2zd 12671 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ โ„ค)
2625adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ โ„ค)
2726ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ โ„ค)
28 prmz 16614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
29 oddm1d2 16305 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
3130biimpa 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
3231ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
33 elfz 13492 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†” (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))))
3424, 27, 32, 33syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†” (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1) โ‰ค ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))))
35 elfzle2 13507 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘– โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
3635adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘– โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
3736biantrud 532 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) < ๐‘– โ†” ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))))
3823, 34, 373bitr4d 310 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†” (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) < ๐‘–))
3928ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
40 2lgslem1a2 26900 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) < ๐‘– โ†” (๐‘ƒ / 2) < (๐‘– ยท 2)))
4139, 19, 40syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) < ๐‘– โ†” (๐‘ƒ / 2) < (๐‘– ยท 2)))
4238, 41bitrd 278 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†” (๐‘ƒ / 2) < (๐‘– ยท 2)))
43 2lgslem1a1 26899 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘˜ ยท 2) = ((๐‘˜ ยท 2) mod ๐‘ƒ))
441, 43sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘˜ ยท 2) = ((๐‘˜ ยท 2) mod ๐‘ƒ))
4544adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘˜ ยท 2) = ((๐‘˜ ยท 2) mod ๐‘ƒ))
46 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐‘˜ ยท 2) = (๐‘– ยท 2))
4746oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘– ยท 2) mod ๐‘ƒ))
4846, 47eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) = ((๐‘˜ ยท 2) mod ๐‘ƒ) โ†” (๐‘– ยท 2) = ((๐‘– ยท 2) mod ๐‘ƒ)))
4948rspccva 3611 . . . . . . . . . . 11 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘˜ ยท 2) = ((๐‘˜ ยท 2) mod ๐‘ƒ) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘– ยท 2) = ((๐‘– ยท 2) mod ๐‘ƒ))
5045, 49sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘– ยท 2) = ((๐‘– ยท 2) mod ๐‘ƒ))
5150breq2d 5160 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ƒ / 2) < (๐‘– ยท 2) โ†” (๐‘ƒ / 2) < ((๐‘– ยท 2) mod ๐‘ƒ)))
5242, 51bitrd 278 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†” (๐‘ƒ / 2) < ((๐‘– ยท 2) mod ๐‘ƒ)))
53 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†’ (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ) = ((๐‘– ยท 2) mod ๐‘ƒ))
5453eqcomd 2738 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†’ ((๐‘– ยท 2) mod ๐‘ƒ) = (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))
5554breq2d 5160 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†’ ((๐‘ƒ / 2) < ((๐‘– ยท 2) mod ๐‘ƒ) โ†” (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ)))
5652, 55sylan9bb 510 . . . . . . 7 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)) โ†’ (๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†” (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ)))
5756pm5.32da 579 . . . . . 6 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†” (๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))))
5814, 57bitrid 282 . . . . 5 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)) โ†” (๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))))
5958rexbidva 3176 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆง ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))))
6013, 59bitrd 278 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))))
6160bicomd 222 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ)) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)))
6261rabbidva 3439 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))(๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โˆง (๐‘ƒ / 2) < (๐‘ฅ mod ๐‘ƒ))} = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ (((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) + 1)...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  {crab 3432   โŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  โ„•cn 12214  2c2 12269  4c4 12271  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560  โ„คโ‰ฅcuz 12824  ...cfz 13486  โŒŠcfl 13757   mod cmo 13836   โˆฅ cdvds 16199  โ„™cprime 16610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fl 13759  df-mod 13837  df-dvds 16200  df-prm 16611
This theorem is referenced by:  2lgslem1  26904
  Copyright terms: Public domain W3C validator