MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isprm3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isprm3 16619
Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 with no divisors strictly between 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
isprm3 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧𝑃))
Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm3
StepHypRef Expression
1 isprm2 16618 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2 iman 402 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ (𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
3 eluz2nn 12867 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
4 nnz 12578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
5 dvdsle 16252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃𝑧𝑃))
64, 5sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃𝑧𝑃))
7 nnge1 12239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑧)
87adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑧)
96, 8jctild 526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃 → (1 ≤ 𝑧𝑧𝑃)))
103, 9sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑧𝑃 → (1 ≤ 𝑧𝑧𝑃)))
11 zre 12561 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
12 nnre 12218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
13 1re 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℝ
14 leltne 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧𝑧 ≠ 1))
1513, 14mp3an1 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧𝑧 ≠ 1))
16153adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧𝑧 ≠ 1))
17163expia 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝑧 → (1 < 𝑧𝑧 ≠ 1)))
18 leltne 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝑃) → (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧))
19183expia 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑧𝑃 → (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧)))
2017, 19anim12d 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝑧𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧))))
2111, 12, 20syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((1 ≤ 𝑧𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧))))
22 pm4.38 636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((1 < 𝑧𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧)) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ (𝑧 ≠ 1 ∧ 𝑃𝑧)))
23 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑧 = 1)
24 nesym 2997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃𝑧 ↔ ¬ 𝑧 = 𝑃)
2523, 24anbi12i 627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ≠ 1 ∧ 𝑃𝑧) ↔ (¬ 𝑧 = 1 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃))
26 ioran 982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃))
2725, 26bitr4i 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ≠ 1 ∧ 𝑃𝑧) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
2822, 27bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 < 𝑧𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧)) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
2921, 28syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((1 ≤ 𝑧𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
304, 3, 29syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) → ((1 ≤ 𝑧𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
3110, 30syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑧𝑃 → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
3231imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
33 eluzelz 12831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
34 1z 12591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℤ
35 zltp1le 12611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (1 < 𝑧 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑧))
3634, 35mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℤ → (1 < 𝑧 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑧))
37 df-2 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 = (1 + 1)
3837breq1i 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ≤ 𝑧 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑧)
3936, 38bitr4di 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℤ → (1 < 𝑧 ↔ 2 ≤ 𝑧))
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (1 < 𝑧 ↔ 2 ≤ 𝑧))
41 zltlem1 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧 < 𝑃𝑧 ≤ (𝑃 − 1)))
4240, 41anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
43 peano2zm 12604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
44 2z 12593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℤ
45 elfz 13489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
4644, 45mp3an2 1449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
4743, 46sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
4842, 47bitr4d 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
494, 33, 48syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
5049adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
5132, 50bitr3d 280 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑧𝑃) → (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
5251anasss 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃)) → (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
5352expcom 414 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → (𝑧 ∈ ℕ → (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))))
5453pm5.32d 577 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))))
55 fzssuz 13541 . . . . . . . . . . . . 13 (2...(𝑃 − 1)) ⊆ (ℤ‘2)
56 2eluzge1 12877 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ (ℤ‘1)
57 uzss 12844 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ (ℤ‘1) → (ℤ‘2) ⊆ (ℤ‘1))
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘2) ⊆ (ℤ‘1)
5955, 58sstri 3991 . . . . . . . . . . . 12 (2...(𝑃 − 1)) ⊆ (ℤ‘1)
60 nnuz 12864 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
6159, 60sseqtrri 4019 . . . . . . . . . . 11 (2...(𝑃 − 1)) ⊆ ℕ
6261sseli 3978 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑧 ∈ ℕ)
6362pm4.71ri 561 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
6454, 63bitr4di 288 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
6564notbid 317 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → (¬ (𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
662, 65bitrid 282 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
6766pm5.74da 802 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧𝑃 → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧𝑃 → ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))))
68 bi2.04 388 . . . . 5 ((𝑧𝑃 → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
69 con2b 359 . . . . 5 ((𝑧𝑃 → ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ↔ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → ¬ 𝑧𝑃))
7067, 68, 693bitr3g 312 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → ¬ 𝑧𝑃)))
7170ralbidv2 3173 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧𝑃))
7271pm5.32i 575 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧𝑃))
731, 72bitri 274 1 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  wss 3948   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7408  cr 11108  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11247  cle 11248  cmin 11443  cn 12211  2c2 12266  cz 12557  cuz 12821  ...cfz 13483  cdvds 16196  cprime 16607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-dvds 16197  df-prm 16608
This theorem is referenced by:  prmind2  16621  2prm  16628  3prm  16630  ncoprmlnprm  16663  wilth  26572  mersenne  26727  chtvalz  33636
  Copyright terms: Public domain W3C validator