Theorem isprm3 16017

Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 with no divisors strictly between 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
isprm3	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))

Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm2 16016	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2		iman 405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ (𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
3		eluz2nn 12272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
4		nnz 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
5		dvdsle 15652	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 ≤ 𝑃))
6	4, 5	sylan 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 ≤ 𝑃))
7		nnge1 11653	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑧)
8	7	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑧)
9	6, 8	jctild 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝑃 → (1 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑃)))
10	3, 9	sylan2 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑧 ∥ 𝑃 → (1 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑃)))
11		zre 11973	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
12		nnre 11632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
13		1re 10630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℝ
14		leltne 10719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 1))
15	13, 14	mp3an1 1445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 1))
16	15	3adant2 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 1))
17	16	3expia 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝑧 → (1 < 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 1)))
18		leltne 10719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ≤ 𝑃) → (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑧))
19	18	3expia 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑧 ≤ 𝑃 → (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑧)))
20	17, 19	anim12d 611	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑃) → ((1 < 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑧))))
21	11, 12, 20	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((1 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑃) → ((1 < 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑧))))
22		pm4.38 637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((1 < 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑧)) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ (𝑧 ≠ 1 ∧ 𝑃 ≠ 𝑧)))
23		df-ne 2988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑧 = 1)
24		nesym 3043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ≠ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 = 𝑃)
25	23, 24	anbi12i 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ≠ 1 ∧ 𝑃 ≠ 𝑧) ↔ (¬ 𝑧 = 1 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃))
26		ioran 981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃))
27	25, 26	bitr4i 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ≠ 1 ∧ 𝑃 ≠ 𝑧) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
28	22, 27	syl6bb 290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1 < 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑧)) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
29	21, 28	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((1 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑃) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
30	4, 3, 29	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((1 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑃) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
31	10, 30	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑧 ∥ 𝑃 → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
32	31	imp 410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
33		eluzelz 12241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
34		1z 12000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℤ
35		zltp1le 12020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (1 < 𝑧 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑧))
36	34, 35	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (1 < 𝑧 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑧))
37		df-2 11688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 = (1 + 1)
38	37	breq1i 5037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ≤ 𝑧 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑧)
39	36, 38	syl6bbr 292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (1 < 𝑧 ↔ 2 ≤ 𝑧))
40	39	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (1 < 𝑧 ↔ 2 ≤ 𝑧))
41		zltlem1 12023	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1)))
42	40, 41	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
43		peano2zm 12013	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
44		2z 12002	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℤ
45		elfz 12891	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
46	44, 45	mp3an2 1446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
47	43, 46	sylan2 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
48	42, 47	bitr4d 285	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
49	4, 33, 48	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
50	49	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
51	32, 50	bitr3d 284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
52	51	anasss 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
53	52	expcom 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → (𝑧 ∈ ℕ → (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))))
54	53	pm5.32d 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))))
55		fzssuz 12943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2...(𝑃 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2)
56		2eluzge1 12282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
57		uzss 12253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (ℤ≥‘2) ⊆ (ℤ≥‘1))
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘2) ⊆ (ℤ≥‘1)
59	55, 58	sstri 3924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2...(𝑃 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘1)
60		nnuz 12269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
61	59, 60	sseqtrri 3952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2...(𝑃 − 1)) ⊆ ℕ
62	61	sseli 3911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑧 ∈ ℕ)
63	62	pm4.71ri 564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
64	54, 63	syl6bbr 292	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
65	64	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → (¬ (𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
66	2, 65	syl5bb 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
67	66	pm5.74da 803	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∥ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))))
68		bi2.04 392	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
69		con2b 363	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∥ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ↔ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
70	67, 68, 69	3bitr3g 316	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
71	70	ralbidv2 3160	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
72	71	pm5.32i 578	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
73	1, 72	bitri 278	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℕcn 11625  2c2 11680  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885   ∥ cdvds 15599  ℙcprime 16005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-prm 16006

This theorem is referenced by:  prmind2  16019  2prm  16026  3prm  16028  ncoprmlnprm  16058  wilth  25656  mersenne  25811  chtvalz  32010