MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isprm3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isprm3 16620
Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 with no divisors strictly between 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
isprm3 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧𝑃))
Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm3
StepHypRef Expression
1 isprm2 16619 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2 iman 403 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ (𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
3 eluz2nn 12868 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
4 nnz 12579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
5 dvdsle 16253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃𝑧𝑃))
64, 5sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃𝑧𝑃))
7 nnge1 12240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑧)
87adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑧)
96, 8jctild 527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃 → (1 ≤ 𝑧𝑧𝑃)))
103, 9sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑧𝑃 → (1 ≤ 𝑧𝑧𝑃)))
11 zre 12562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
12 nnre 12219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
13 1re 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℝ
14 leltne 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧𝑧 ≠ 1))
1513, 14mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧𝑧 ≠ 1))
16153adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧𝑧 ≠ 1))
17163expia 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝑧 → (1 < 𝑧𝑧 ≠ 1)))
18 leltne 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝑃) → (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧))
19183expia 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑧𝑃 → (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧)))
2017, 19anim12d 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝑧𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧))))
2111, 12, 20syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((1 ≤ 𝑧𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧))))
22 pm4.38 637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((1 < 𝑧𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧)) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ (𝑧 ≠ 1 ∧ 𝑃𝑧)))
23 df-ne 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑧 = 1)
24 nesym 2998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃𝑧 ↔ ¬ 𝑧 = 𝑃)
2523, 24anbi12i 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ≠ 1 ∧ 𝑃𝑧) ↔ (¬ 𝑧 = 1 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃))
26 ioran 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃))
2725, 26bitr4i 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ≠ 1 ∧ 𝑃𝑧) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
2822, 27bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 < 𝑧𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃𝑃𝑧)) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
2921, 28syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((1 ≤ 𝑧𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
304, 3, 29syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) → ((1 ≤ 𝑧𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
3110, 30syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑧𝑃 → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
3231imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
33 eluzelz 12832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
34 1z 12592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℤ
35 zltp1le 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (1 < 𝑧 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑧))
3634, 35mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℤ → (1 < 𝑧 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑧))
37 df-2 12275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 = (1 + 1)
3837breq1i 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ≤ 𝑧 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑧)
3936, 38bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℤ → (1 < 𝑧 ↔ 2 ≤ 𝑧))
4039adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (1 < 𝑧 ↔ 2 ≤ 𝑧))
41 zltlem1 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧 < 𝑃𝑧 ≤ (𝑃 − 1)))
4240, 41anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
43 peano2zm 12605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
44 2z 12594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℤ
45 elfz 13490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
4644, 45mp3an2 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
4743, 46sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
4842, 47bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
494, 33, 48syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
5049adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑧𝑃) → ((1 < 𝑧𝑧 < 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
5132, 50bitr3d 281 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑧𝑃) → (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
5251anasss 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃)) → (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
5352expcom 415 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → (𝑧 ∈ ℕ → (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))))
5453pm5.32d 578 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))))
55 fzssuz 13542 . . . . . . . . . . . . 13 (2...(𝑃 − 1)) ⊆ (ℤ‘2)
56 2eluzge1 12878 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ (ℤ‘1)
57 uzss 12845 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ (ℤ‘1) → (ℤ‘2) ⊆ (ℤ‘1))
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘2) ⊆ (ℤ‘1)
5955, 58sstri 3992 . . . . . . . . . . . 12 (2...(𝑃 − 1)) ⊆ (ℤ‘1)
60 nnuz 12865 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
6159, 60sseqtrri 4020 . . . . . . . . . . 11 (2...(𝑃 − 1)) ⊆ ℕ
6261sseli 3979 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑧 ∈ ℕ)
6362pm4.71ri 562 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
6454, 63bitr4di 289 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
6564notbid 318 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → (¬ (𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
662, 65bitrid 283 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
6766pm5.74da 803 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧𝑃 → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧𝑃 → ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))))
68 bi2.04 389 . . . . 5 ((𝑧𝑃 → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
69 con2b 360 . . . . 5 ((𝑧𝑃 → ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ↔ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → ¬ 𝑧𝑃))
7067, 68, 693bitr3g 313 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → ¬ 𝑧𝑃)))
7170ralbidv2 3174 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧𝑃))
7271pm5.32i 576 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧𝑃))
731, 72bitri 275 1 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wss 3949   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7409  cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248  cle 11249  cmin 11444  cn 12212  2c2 12267  cz 12558  cuz 12822  ...cfz 13484  cdvds 16197  cprime 16608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-prm 16609
This theorem is referenced by:  prmind2  16622  2prm  16629  3prm  16631  ncoprmlnprm  16664  wilth  26575  mersenne  26730  chtvalz  33672
  Copyright terms: Public domain W3C validator