MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bposlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bposlem1 26538
Description: An upper bound on the prime powers dividing a central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bposlem1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))

Proof of Theorem bposlem1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13794 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin)
2 2nn 12147 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
3 nnmulcl 12098 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
42, 3mpan 687 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
54ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
6 prmnn 16476 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
76ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑃 ∈ ℕ)
8 elfznn 13386 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
98adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ)
109nnnn0d 12394 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
117, 10nnexpcld 14061 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
12 nnrp 12842 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
13 nnrp 12842 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑘) ∈ ℕ → (𝑃𝑘) ∈ ℝ+)
14 rpdivcl 12856 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ+ ∧ (𝑃𝑘) ∈ ℝ+) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ+)
1512, 13, 14syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑃𝑘) ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ+)
165, 11, 15syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ+)
1716rpred 12873 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
1817flcld 13619 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) ∈ ℤ)
19 2z 12453 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
20 simpll 764 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
21 nnrp 12842 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
22 rpdivcl 12856 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃𝑘) ∈ ℝ+) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ+)
2321, 13, 22syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃𝑘) ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ+)
2420, 11, 23syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ+)
2524rpred 12873 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
2625flcld 13619 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℤ)
27 zmulcl 12470 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℤ) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) ∈ ℤ)
2819, 26, 27sylancr 587 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) ∈ ℤ)
2918, 28zsubcld 12532 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ∈ ℤ)
3029zred 12527 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ∈ ℝ)
31 1re 11076 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
32 0re 11078 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
3331, 32ifcli 4520 . . . . 5 if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) ∈ ℝ)
3528zred 12527 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) ∈ ℝ)
3617, 35resubcld 11504 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ∈ ℝ)
37 2re 12148 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 2 ∈ ℝ)
3918zred 12527 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) ∈ ℝ)
40 flle 13620 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)))
4117, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)))
4239, 17, 35, 41lesub1dd 11692 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
43 resubcl 11386 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) ∈ ℝ)
4425, 31, 43sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) ∈ ℝ)
45 remulcl 11057 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) ∈ ℝ) → (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1)) ∈ ℝ)
4637, 44, 45sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1)) ∈ ℝ)
47 flltp1 13621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ → (𝑁 / (𝑃𝑘)) < ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) + 1))
4825, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) < ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) + 1))
49 1red 11077 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 1 ∈ ℝ)
5026zred 12527 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℝ)
5125, 49, 50ltsubaddd 11672 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) < (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ↔ (𝑁 / (𝑃𝑘)) < ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) + 1)))
5248, 51mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) < (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))
53 2pos 12177 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
5437, 53pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
55 ltmul2 11927 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) ∈ ℝ ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) < (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ↔ (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1)) < (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
5654, 55mp3an3 1449 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) ∈ ℝ ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℝ) → (((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) < (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ↔ (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1)) < (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
5744, 50, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) < (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ↔ (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1)) < (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
5852, 57mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1)) < (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))))
5946, 35, 17, 58ltsub2dd 11689 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) < (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) − (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1))))
60 2cnd 12152 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 2 ∈ ℂ)
61 nncn 12082 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
6261ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
6311nncnd 12090 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃𝑘) ∈ ℂ)
6411nnne0d 12124 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃𝑘) ≠ 0)
6560, 62, 63, 64divassd 11887 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) = (2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))))
6625recnd 11104 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℂ)
6760, 66muls1d 11536 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1)) = ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − 2))
6865, 67oveq12d 7355 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) − (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1))) = ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − 2)))
69 remulcl 11057 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ) → (2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℝ)
7037, 25, 69sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℝ)
7170recnd 11104 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℂ)
72 2cn 12149 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
73 nncan 11351 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − 2)) = 2)
7471, 72, 73sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − 2)) = 2)
7568, 74eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) − (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1))) = 2)
7659, 75breqtrd 5118 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) < 2)
7730, 36, 38, 42, 76lelttrd 11234 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) < 2)
78 df-2 12137 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
7977, 78breqtrdi 5133 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) < (1 + 1))
80 1z 12451 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
81 zleltp1 12472 . . . . . . . 8 ((((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ 1 ↔ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) < (1 + 1)))
8229, 80, 81sylancl 586 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ 1 ↔ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) < (1 + 1)))
8379, 82mpbird 256 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ 1)
84 iftrue 4479 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) = 1)
8584breq2d 5104 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → (((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) ↔ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ 1))
8683, 85syl5ibrcom 246 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0)))
879nnge1d 12122 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 1 ≤ 𝑘)
8887biantrurd 533 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑘 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ↔ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))))
896adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
9089nnred 12089 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℝ)
91 prmuz2 16498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
9291adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
93 eluz2gt1 12761 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 < 𝑃)
9590, 94jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
9695adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
97 elfzelz 13357 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
9897adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
994adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
10099nnrpd 12871 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
101100adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
102 efexple 26535 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ+) → ((𝑃𝑘) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
10396, 98, 101, 102syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑃𝑘) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
1049nnzd 12526 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
10580a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 1 ∈ ℤ)
10699nnred 12089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
107 1red 11077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℝ)
10837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 2 ∈ ℝ)
109 1lt2 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 < 2
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 < 2)
111 2t1e2 12237 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 · 1) = 2
112 nnre 12081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
113112adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
114 0le2 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ≤ 2
11537, 114pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2))
117 nnge1 12102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
118117adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 ≤ 𝑁)
119 lemul2a 11931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) ∧ 1 ≤ 𝑁) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁))
120107, 113, 116, 118, 119syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁))
121111, 120eqbrtrrid 5128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 2 ≤ (2 · 𝑁))
122107, 108, 106, 110, 121ltletrd 11236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 < (2 · 𝑁))
123106, 122rplogcld 25890 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+)
12490, 94rplogcld 25890 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
125123, 124rpdivcld 12890 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ+)
126125rpred 12873 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
127126flcld 13619 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ)
128127adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ)
129 elfz 13346 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))))
130104, 105, 128, 129syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))))
13188, 103, 1303bitr4rd 311 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ (𝑃𝑘) ≤ (2 · 𝑁)))
132131notbid 317 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ ¬ (𝑃𝑘) ≤ (2 · 𝑁)))
133106adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
13411nnred 12089 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)
135133, 134ltnled 11223 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) < (𝑃𝑘) ↔ ¬ (𝑃𝑘) ≤ (2 · 𝑁)))
136132, 135bitr4d 281 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘)))
13716rpge0d 12877 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)))
138137adantrr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → 0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)))
13911nngt0d 12123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 0 < (𝑃𝑘))
140 ltdivmul 11951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑃𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃𝑘))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < 1 ↔ (2 · 𝑁) < ((𝑃𝑘) · 1)))
141133, 49, 134, 139, 140syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < 1 ↔ (2 · 𝑁) < ((𝑃𝑘) · 1)))
14263mulid1d 11093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑃𝑘) · 1) = (𝑃𝑘))
143142breq2d 5104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) < ((𝑃𝑘) · 1) ↔ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘)))
144141, 143bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < 1 ↔ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘)))
145144biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) < (𝑃𝑘) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < 1))
146145impr 455 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < 1)
147 0p1e1 12196 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
148146, 147breqtrrdi 5134 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))
14917adantrr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
150 0z 12431 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℤ
151 flbi 13637 . . . . . . . . . . . . 13 ((((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∧ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))))
152149, 150, 151sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∧ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))))
153138, 148, 152mpbir2and 710 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) = 0)
15424rpge0d 12877 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑘)))
155154adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑘)))
156112, 21ltaddrp2d 12907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 𝑁))
157612timesd 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
158156, 157breqtrrd 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (2 · 𝑁))
159158ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑁 < (2 · 𝑁))
160112ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ)
161 lttr 11152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑁 < (2 · 𝑁) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘)) → 𝑁 < (𝑃𝑘)))
162160, 133, 134, 161syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑁 < (2 · 𝑁) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘)) → 𝑁 < (𝑃𝑘)))
163159, 162mpand 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) < (𝑃𝑘) → 𝑁 < (𝑃𝑘)))
164 ltdivmul 11951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑃𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃𝑘))) → ((𝑁 / (𝑃𝑘)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃𝑘) · 1)))
165160, 49, 134, 139, 164syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑁 / (𝑃𝑘)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃𝑘) · 1)))
166142breq2d 5104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 < ((𝑃𝑘) · 1) ↔ 𝑁 < (𝑃𝑘)))
167165, 166bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑁 / (𝑃𝑘)) < 1 ↔ 𝑁 < (𝑃𝑘)))
168163, 167sylibrd 258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) < (𝑃𝑘) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) < 1))
169168impr 455 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) < 1)
170169, 147breqtrrdi 5134 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))
17125adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
172 flbi 13637 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∧ (𝑁 / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))))
173171, 150, 172sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∧ (𝑁 / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))))
174155, 170, 173mpbir2and 710 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) = 0)
175174oveq2d 7353 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = (2 · 0))
176 2t0e0 12243 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 0) = 0
177175, 176eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = 0)
178153, 177oveq12d 7355 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = (0 − 0))
179 0m0e0 12194 . . . . . . . . . 10 (0 − 0) = 0
180178, 179eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = 0)
181 0le0 12175 . . . . . . . . 9 0 ≤ 0
182180, 181eqbrtrdi 5131 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ 0)
183182expr 457 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) < (𝑃𝑘) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ 0))
184136, 183sylbid 239 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ 0))
185 iffalse 4482 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) = 0)
186185eqcomd 2742 . . . . . . 7 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → 0 = if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0))
187186breq2d 5104 . . . . . 6 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → (((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ 0 ↔ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0)))
188184, 187mpbidi 240 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0)))
18986, 188pm2.61d 179 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0))
1901, 30, 34, 189fsumle 15610 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0))
191 pcbcctr 26530 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
192127zred 12527 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℝ)
193 flle 13620 . . . . . . . . 9 (((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))
194126, 193syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))
19599nnnn0d 12394 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
19689, 195nnexpcld 14061 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
197196nnred 12089 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
198 bernneq3 14047 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) < (𝑃↑(2 · 𝑁)))
19992, 195, 198syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) < (𝑃↑(2 · 𝑁)))
200106, 197, 199ltled 11224 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ≤ (𝑃↑(2 · 𝑁)))
201100reeflogd 25885 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (exp‘(log‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
20289nnrpd 12871 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
20399nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
204 reexplog 25856 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℝ+ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑃↑(2 · 𝑁)) = (exp‘((2 · 𝑁) · (log‘𝑃))))
205202, 203, 204syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑(2 · 𝑁)) = (exp‘((2 · 𝑁) · (log‘𝑃))))
206205eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (exp‘((2 · 𝑁) · (log‘𝑃))) = (𝑃↑(2 · 𝑁)))
207200, 201, 2063brtr4d 5124 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (exp‘(log‘(2 · 𝑁))) ≤ (exp‘((2 · 𝑁) · (log‘𝑃))))
208100relogcld 25884 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
209124rpred 12873 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (log‘𝑃) ∈ ℝ)
210106, 209remulcld 11106 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
211 efle 15926 . . . . . . . . . . 11 (((log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)) ∈ ℝ) → ((log‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)) ↔ (exp‘(log‘(2 · 𝑁))) ≤ (exp‘((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)))))
212208, 210, 211syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((log‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)) ↔ (exp‘(log‘(2 · 𝑁))) ≤ (exp‘((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)))))
213207, 212mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (log‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)))
214208, 106, 124ledivmul2d 12927 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (log‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) · (log‘𝑃))))
215213, 214mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ≤ (2 · 𝑁))
216192, 126, 106, 194, 215letrd 11233 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ≤ (2 · 𝑁))
217 eluz 12697 . . . . . . . 8 (((⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ≤ (2 · 𝑁)))
218127, 203, 217syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ≤ (2 · 𝑁)))
219216, 218mpbird 256 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
220 fzss2 13397 . . . . . 6 ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ⊆ (1...(2 · 𝑁)))
221219, 220syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ⊆ (1...(2 · 𝑁)))
222 sumhash 16694 . . . . 5 (((1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin ∧ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ⊆ (1...(2 · 𝑁))) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) = (♯‘(1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))))
2231, 221, 222syl2anc 584 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) = (♯‘(1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))))
224125rprege0d 12880 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))
225 flge0nn0 13641 . . . . 5 ((((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℕ0)
226 hashfz1 14161 . . . . 5 ((⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))) = (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))
227224, 225, 2263syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (♯‘(1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))) = (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))
228223, 227eqtr2d 2777 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0))
229190, 191, 2283brtr4d 5124 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))
230 simpr 485 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
231 nnnn0 12341 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
232 fzctr 13469 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
233 bccl2 14138 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
234231, 232, 2333syl 18 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
235234adantr 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
236230, 235pccld 16648 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
237236nn0zd 12525 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ)
238 efexple 26535 . . 3 (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) ∧ (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ+) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
23990, 94, 237, 100, 238syl211anc 1375 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
240229, 239mpbird 256 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wss 3898  ifcif 4473   class class class wbr 5092  cfv 6479  (class class class)co 7337  Fincfn 8804  cc 10970  cr 10971  0cc0 10972  1c1 10973   + caddc 10975   · cmul 10977   < clt 11110  cle 11111  cmin 11306   / cdiv 11733  cn 12074  2c2 12129  0cn0 12334  cz 12420  cuz 12683  +crp 12831  ...cfz 13340  cfl 13611  cexp 13883  Ccbc 14117  chash 14145  Σcsu 15496  expce 15870  cprime 16473   pCnt cpc 16634  logclog 25816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050  ax-addf 11051  ax-mulf 11052
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-er 8569  df-map 8688  df-pm 8689  df-ixp 8757  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-fi 9268  df-sup 9299  df-inf 9300  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-xneg 12949  df-xadd 12950  df-xmul 12951  df-ioo 13184  df-ioc 13185  df-ico 13186  df-icc 13187  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-fl 13613  df-mod 13691  df-seq 13823  df-exp 13884  df-fac 14089  df-bc 14118  df-hash 14146  df-shft 14877  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-limsup 15279  df-clim 15296  df-rlim 15297  df-sum 15497  df-ef 15876  df-sin 15878  df-cos 15879  df-pi 15881  df-dvds 16063  df-gcd 16301  df-prm 16474  df-pc 16635  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-hom 17083  df-cco 17084  df-rest 17230  df-topn 17231  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-topgen 17251  df-pt 17252  df-prds 17255  df-xrs 17310  df-qtop 17315  df-imas 17316  df-xps 17318  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-mulg 18797  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-fbas 20700  df-fg 20701  df-cnfld 20704  df-top 22149  df-topon 22166  df-topsp 22188  df-bases 22202  df-cld 22276  df-ntr 22277  df-cls 22278  df-nei 22355  df-lp 22393  df-perf 22394  df-cn 22484  df-cnp 22485  df-haus 22572  df-tx 22819  df-hmeo 23012  df-fil 23103  df-fm 23195  df-flim 23196  df-flf 23197  df-xms 23579  df-ms 23580  df-tms 23581  df-cncf 24147  df-limc 25136  df-dv 25137  df-log 25818
This theorem is referenced by:  bposlem5  26542  bposlem6  26543  chebbnd1lem1  26723
  Copyright terms: Public domain W3C validator