MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bposlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bposlem1 26648
Description: An upper bound on the prime powers dividing a central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bposlem1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘))) โ‰ค (2 ยท ๐‘))

Proof of Theorem bposlem1
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13885 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (1...(2 ยท ๐‘)) โˆˆ Fin)
2 2nn 12233 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•
3 nnmulcl 12184 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
42, 3mpan 689 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
54ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
6 prmnn 16557 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
76ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
8 elfznn 13477 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
98adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
109nnnn0d 12480 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
117, 10nnexpcld 14155 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
12 nnrp 12933 . . . . . . . . . 10 ((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+)
13 nnrp 12933 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
14 rpdivcl 12947 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+) โ†’ ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„+)
1512, 13, 14syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„+)
165, 11, 15syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„+)
1716rpred 12964 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
1817flcld 13710 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ค)
19 2z 12542 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
20 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
21 nnrp 12933 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
22 rpdivcl 12947 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„+)
2321, 13, 22syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„+)
2420, 11, 23syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„+)
2524rpred 12964 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
2625flcld 13710 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ค)
27 zmulcl 12559 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) โˆˆ โ„ค)
2819, 26, 27sylancr 588 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) โˆˆ โ„ค)
2918, 28zsubcld 12619 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) โˆˆ โ„ค)
3029zred 12614 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) โˆˆ โ„)
31 1re 11162 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
32 0re 11164 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„
3331, 32ifcli 4538 . . . . 5 if(๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))), 1, 0) โˆˆ โ„
3433a1i 11 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))), 1, 0) โˆˆ โ„)
3528zred 12614 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) โˆˆ โ„)
3617, 35resubcld 11590 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) โˆˆ โ„)
37 2re 12234 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
3918zred 12614 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„)
40 flle 13711 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
4117, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
4239, 17, 35, 41lesub1dd 11778 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) โ‰ค (((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
43 resubcl 11472 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
4425, 31, 43sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
45 remulcl 11143 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
4637, 44, 45sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (2 ยท ((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
47 flltp1 13712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + 1))
4825, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + 1))
49 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
5026zred 12614 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„)
5125, 49, 50ltsubaddd 11758 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ 1) < (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†” (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + 1)))
5248, 51mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ 1) < (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
53 2pos 12263 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
5437, 53pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
55 ltmul2 12013 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ 1) < (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†” (2 ยท ((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ 1)) < (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
5654, 55mp3an3 1451 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ 1) < (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†” (2 ยท ((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ 1)) < (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
5744, 50, 56syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ 1) < (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†” (2 ยท ((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ 1)) < (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
5852, 57mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (2 ยท ((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ 1)) < (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
5946, 35, 17, 58ltsub2dd 11775 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) < (((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ (2 ยท ((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ 1))))
60 2cnd 12238 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
61 nncn 12168 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
6261ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
6311nncnd 12176 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
6411nnne0d 12210 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โ‰  0)
6560, 62, 63, 64divassd 11973 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (2 ยท (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
6625recnd 11190 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
6760, 66muls1d 11622 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (2 ยท ((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ 1)) = ((2 ยท (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ 2))
6865, 67oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ (2 ยท ((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ 1))) = ((2 ยท (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ((2 ยท (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ 2)))
69 remulcl 11143 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„)
7037, 25, 69sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (2 ยท (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„)
7170recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (2 ยท (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
72 2cn 12235 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„‚
73 nncan 11437 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ยท (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ((2 ยท (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ 2)) = 2)
7471, 72, 73sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((2 ยท (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ((2 ยท (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ 2)) = 2)
7568, 74eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ (2 ยท ((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ 1))) = 2)
7659, 75breqtrd 5136 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) < 2)
7730, 36, 38, 42, 76lelttrd 11320 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) < 2)
78 df-2 12223 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
7977, 78breqtrdi 5151 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) < (1 + 1))
80 1z 12540 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„ค
81 zleltp1 12561 . . . . . . . 8 ((((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) โ‰ค 1 โ†” ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) < (1 + 1)))
8229, 80, 81sylancl 587 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) โ‰ค 1 โ†” ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) < (1 + 1)))
8379, 82mpbird 257 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) โ‰ค 1)
84 iftrue 4497 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))), 1, 0) = 1)
8584breq2d 5122 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))) โ†’ (((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) โ‰ค if(๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))), 1, 0) โ†” ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) โ‰ค 1))
8683, 85syl5ibrcom 247 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) โ‰ค if(๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))), 1, 0)))
879nnge1d 12208 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘˜)
8887biantrurd 534 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ†” (1 โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))))))
896adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
9089nnred 12175 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
91 prmuz2 16579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
9291adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
93 eluz2gt1 12852 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐‘ƒ)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ 1 < ๐‘ƒ)
9590, 94jca 513 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ))
9695adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ))
97 elfzelz 13448 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
9897adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
994adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
10099nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+)
101100adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+)
102 efexple 26645 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โ‰ค (2 ยท ๐‘) โ†” ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))))
10396, 98, 101, 102syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โ‰ค (2 ยท ๐‘) โ†” ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))))
1049nnzd 12533 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
10580a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
10699nnred 12175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
107 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
10837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
109 1lt2 12331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 < 2
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ 1 < 2)
111 2t1e2 12323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 ยท 1) = 2
112 nnre 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
113112adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
114 0le2 12262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 โ‰ค 2
11537, 114pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2)
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2))
117 nnge1 12188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
118117adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
119 lemul2a 12017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2)) โˆง 1 โ‰ค ๐‘) โ†’ (2 ยท 1) โ‰ค (2 ยท ๐‘))
120107, 113, 116, 118, 119syl31anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (2 ยท 1) โ‰ค (2 ยท ๐‘))
121111, 120eqbrtrrid 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ 2 โ‰ค (2 ยท ๐‘))
122107, 108, 106, 110, 121ltletrd 11322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ 1 < (2 ยท ๐‘))
123106, 122rplogcld 26000 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (logโ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„+)
12490, 94rplogcld 26000 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (logโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„+)
125123, 124rpdivcld 12981 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„+)
126125rpred 12964 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„)
127126flcld 13710 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โˆˆ โ„ค)
128127adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โˆˆ โ„ค)
129 elfz 13437 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))) โ†” (1 โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))))))
130104, 105, 128, 129syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))) โ†” (1 โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))))))
13188, 103, 1303bitr4rd 312 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))) โ†” (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
132131notbid 318 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))) โ†” ยฌ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
133106adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
13411nnred 12175 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
135133, 134ltnled 11309 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โ†” ยฌ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
136132, 135bitr4d 282 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))) โ†” (2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
13716rpge0d 12968 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ 0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
138137adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โˆง (2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ 0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
13911nngt0d 12209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ 0 < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))
140 ltdivmul 12037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ (((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < 1 โ†” (2 ยท ๐‘) < ((๐‘ƒโ†‘๐‘˜) ยท 1)))
141133, 49, 134, 139, 140syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < 1 โ†” (2 ยท ๐‘) < ((๐‘ƒโ†‘๐‘˜) ยท 1)))
14263mulid1d 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘˜) ยท 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))
143142breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((2 ยท ๐‘) < ((๐‘ƒโ†‘๐‘˜) ยท 1) โ†” (2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
144141, 143bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < 1 โ†” (2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
145144biimprd 248 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โ†’ ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < 1))
146145impr 456 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โˆง (2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < 1)
147 0p1e1 12282 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
148146, 147breqtrrdi 5152 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โˆง (2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < (0 + 1))
14917adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โˆง (2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
150 0z 12517 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„ค
151 flbi 13728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = 0 โ†” (0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆง ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < (0 + 1))))
152149, 150, 151sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โˆง (2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = 0 โ†” (0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆง ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < (0 + 1))))
153138, 148, 152mpbir2and 712 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โˆง (2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = 0)
15424rpge0d 12968 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
155154adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โˆง (2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
156112, 21ltaddrp2d 12998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ < (๐‘ + ๐‘))
157612timesd 12403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) = (๐‘ + ๐‘))
158156, 157breqtrrd 5138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ < (2 ยท ๐‘))
159158ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ๐‘ < (2 ยท ๐‘))
160112ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
161 lttr 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ < (2 ยท ๐‘) โˆง (2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†’ ๐‘ < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
162160, 133, 134, 161syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((๐‘ < (2 ยท ๐‘) โˆง (2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โ†’ ๐‘ < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
163159, 162mpand 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โ†’ ๐‘ < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
164 ltdivmul 12037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ ((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < 1 โ†” ๐‘ < ((๐‘ƒโ†‘๐‘˜) ยท 1)))
165160, 49, 134, 139, 164syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < 1 โ†” ๐‘ < ((๐‘ƒโ†‘๐‘˜) ยท 1)))
166142breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (๐‘ < ((๐‘ƒโ†‘๐‘˜) ยท 1) โ†” ๐‘ < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
167165, 166bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < 1 โ†” ๐‘ < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
168163, 167sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < 1))
169168impr 456 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โˆง (2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < 1)
170169, 147breqtrrdi 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โˆง (2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < (0 + 1))
17125adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โˆง (2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
172 flbi 13728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = 0 โ†” (0 โ‰ค (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆง (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < (0 + 1))))
173171, 150, 172sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โˆง (2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = 0 โ†” (0 โ‰ค (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆง (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < (0 + 1))))
174155, 170, 173mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โˆง (2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = 0)
175174oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โˆง (2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = (2 ยท 0))
176 2t0e0 12329 . . . . . . . . . . . 12 (2 ยท 0) = 0
177175, 176eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โˆง (2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = 0)
178153, 177oveq12d 7380 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โˆง (2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) = (0 โˆ’ 0))
179 0m0e0 12280 . . . . . . . . . 10 (0 โˆ’ 0) = 0
180178, 179eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โˆง (2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) = 0)
181 0le0 12261 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 0
182180, 181eqbrtrdi 5149 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โˆง (2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) โ‰ค 0)
183182expr 458 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) โ‰ค 0))
184136, 183sylbid 239 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) โ‰ค 0))
185 iffalse 4500 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))), 1, 0) = 0)
186185eqcomd 2743 . . . . . . 7 (ยฌ ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))) โ†’ 0 = if(๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))), 1, 0))
187186breq2d 5122 . . . . . 6 (ยฌ ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))) โ†’ (((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) โ‰ค 0 โ†” ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) โ‰ค if(๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))), 1, 0)))
188184, 187mpbidi 240 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) โ‰ค if(๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))), 1, 0)))
18986, 188pm2.61d 179 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) โ‰ค if(๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))), 1, 0))
1901, 30, 34, 189fsumle 15691 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))if(๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))), 1, 0))
191 pcbcctr 26640 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
192127zred 12614 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โˆˆ โ„)
193 flle 13711 . . . . . . . . 9 (((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ‰ค ((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))
194126, 193syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ‰ค ((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))
19599nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
19689, 195nnexpcld 14155 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„•)
197196nnred 12175 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„)
198 bernneq3 14141 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘(2 ยท ๐‘)))
19992, 195, 198syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘(2 ยท ๐‘)))
200106, 197, 199ltled 11310 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (2 ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘ƒโ†‘(2 ยท ๐‘)))
201100reeflogd 25995 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(2 ยท ๐‘))) = (2 ยท ๐‘))
20289nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
20399nnzd 12533 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
204 reexplog 25966 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„+ โˆง (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(2 ยท ๐‘)) = (expโ€˜((2 ยท ๐‘) ยท (logโ€˜๐‘ƒ))))
205202, 203, 204syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(2 ยท ๐‘)) = (expโ€˜((2 ยท ๐‘) ยท (logโ€˜๐‘ƒ))))
206205eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (expโ€˜((2 ยท ๐‘) ยท (logโ€˜๐‘ƒ))) = (๐‘ƒโ†‘(2 ยท ๐‘)))
207200, 201, 2063brtr4d 5142 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(2 ยท ๐‘))) โ‰ค (expโ€˜((2 ยท ๐‘) ยท (logโ€˜๐‘ƒ))))
208100relogcld 25994 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (logโ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„)
209124rpred 12964 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (logโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
210106, 209remulcld 11192 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((2 ยท ๐‘) ยท (logโ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„)
211 efle 16007 . . . . . . . . . . 11 (((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง ((2 ยท ๐‘) ยท (logโ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„) โ†’ ((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) โ‰ค ((2 ยท ๐‘) ยท (logโ€˜๐‘ƒ)) โ†” (expโ€˜(logโ€˜(2 ยท ๐‘))) โ‰ค (expโ€˜((2 ยท ๐‘) ยท (logโ€˜๐‘ƒ)))))
212208, 210, 211syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) โ‰ค ((2 ยท ๐‘) ยท (logโ€˜๐‘ƒ)) โ†” (expโ€˜(logโ€˜(2 ยท ๐‘))) โ‰ค (expโ€˜((2 ยท ๐‘) ยท (logโ€˜๐‘ƒ)))))
213207, 212mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (logโ€˜(2 ยท ๐‘)) โ‰ค ((2 ยท ๐‘) ยท (logโ€˜๐‘ƒ)))
214208, 106, 124ledivmul2d 13018 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โ‰ค (2 ยท ๐‘) โ†” (logโ€˜(2 ยท ๐‘)) โ‰ค ((2 ยท ๐‘) ยท (logโ€˜๐‘ƒ))))
215213, 214mpbird 257 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โ‰ค (2 ยท ๐‘))
216192, 126, 106, 194, 215letrd 11319 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ‰ค (2 ยท ๐‘))
217 eluz 12784 . . . . . . . 8 (((โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โˆˆ โ„ค โˆง (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))) โ†” (โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
218127, 203, 217syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((2 ยท ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))) โ†” (โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
219216, 218mpbird 257 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))))
220 fzss2 13488 . . . . . 6 ((2 ยท ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))) โŠ† (1...(2 ยท ๐‘)))
221219, 220syl 17 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))) โŠ† (1...(2 ยท ๐‘)))
222 sumhash 16775 . . . . 5 (((1...(2 ยท ๐‘)) โˆˆ Fin โˆง (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))) โŠ† (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))if(๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))), 1, 0) = (โ™ฏโ€˜(1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))))))
2231, 221, 222syl2anc 585 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))if(๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))), 1, 0) = (โ™ฏโ€˜(1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))))))
224125rprege0d 12971 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))))
225 flge0nn0 13732 . . . . 5 ((((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โˆˆ โ„•0)
226 hashfz1 14253 . . . . 5 ((โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))))) = (โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))))
227224, 225, 2263syl 18 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))))) = (โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))))
228223, 227eqtr2d 2778 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))if(๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))), 1, 0))
229190, 191, 2283brtr4d 5142 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ))))
230 simpr 486 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
231 nnnn0 12427 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
232 fzctr 13560 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ (0...(2 ยท ๐‘)))
233 bccl2 14230 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (0...(2 ยท ๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐‘) โˆˆ โ„•)
234231, 232, 2333syl 18 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐‘) โˆˆ โ„•)
235234adantr 482 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐‘) โˆˆ โ„•)
236230, 235pccld 16729 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„•0)
237236nn0zd 12532 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„ค)
238 efexple 26645 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘))) โ‰ค (2 ยท ๐‘) โ†” (๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))))
23990, 94, 237, 100, 238syl211anc 1377 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘))) โ‰ค (2 ยท ๐‘) โ†” (๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜(2 ยท ๐‘)) / (logโ€˜๐‘ƒ)))))
240229, 239mpbird 257 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘))) โ‰ค (2 ยท ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โŠ† wss 3915  ifcif 4491   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ„+crp 12922  ...cfz 13431  โŒŠcfl 13702  โ†‘cexp 13974  Ccbc 14209  โ™ฏchash 14237  ฮฃcsu 15577  expce 15951  โ„™cprime 16554   pCnt cpc 16715  logclog 25926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928
This theorem is referenced by:  bposlem5  26652  bposlem6  26653  chebbnd1lem1  26833
  Copyright terms: Public domain W3C validator