MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxccat3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxccat3a 13750
Description: A prefix of a concatenation is either a prefix of the first concatenated word or a concatenation of the first word with a prefix of the second word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Mar-2018.) (Revised by AV, 10-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
swrdccatin2.l 𝐿 = (♯‘𝐴)
pfxccatpfx2.m 𝑀 = (♯‘𝐵)
Assertion
Ref Expression
pfxccat3a ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 ∈ (0...(𝐿 + 𝑀)) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = if(𝑁𝐿, (𝐴 prefix 𝑁), (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))))

Proof of Theorem pfxccat3a
StepHypRef Expression
1 simprl 787 . . . . . 6 ((𝑁𝐿 ∧ ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
2 elfznn0 12643 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0...(𝐿 + 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
32adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + 𝑀))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
43adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑁𝐿 ∧ ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + 𝑀)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5 swrdccatin2.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (♯‘𝐴)
6 lencl 13508 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
75, 6syl5eqel 2848 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0)
87adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐿 ∈ ℕ0)
98adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + 𝑀))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
109adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑁𝐿 ∧ ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + 𝑀)))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
11 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝑁𝐿 ∧ ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + 𝑀)))) → 𝑁𝐿)
12 elfz2nn0 12641 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑁𝐿))
134, 10, 11, 12syl3anbrc 1443 . . . . . 6 ((𝑁𝐿 ∧ ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + 𝑀)))) → 𝑁 ∈ (0...𝐿))
14 df-3an 1109 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...𝐿)) ↔ ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝐿)))
151, 13, 14sylanbrc 578 . . . . 5 ((𝑁𝐿 ∧ ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...𝐿)))
165pfxccatpfx1 13748 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 prefix 𝑁))
1715, 16syl 17 . . . 4 ((𝑁𝐿 ∧ ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + 𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 prefix 𝑁))
18 iftrue 4251 . . . . 5 (𝑁𝐿 → if(𝑁𝐿, (𝐴 prefix 𝑁), (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿)))) = (𝐴 prefix 𝑁))
1918adantr 472 . . . 4 ((𝑁𝐿 ∧ ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + 𝑀)))) → if(𝑁𝐿, (𝐴 prefix 𝑁), (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿)))) = (𝐴 prefix 𝑁))
2017, 19eqtr4d 2802 . . 3 ((𝑁𝐿 ∧ ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + 𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = if(𝑁𝐿, (𝐴 prefix 𝑁), (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿)))))
21 simprl 787 . . . . . 6 ((¬ 𝑁𝐿 ∧ ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
22 elfz2nn0 12641 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0...(𝐿 + 𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + 𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀)))
235eleq1i 2835 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
24 nn0ltp1le 11685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐿 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿 < 𝑁 ↔ (𝐿 + 1) ≤ 𝑁))
25 nn0re 11550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℝ)
26 nn0re 11550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
27 ltnle 10373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁𝐿))
2825, 26, 27syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐿 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁𝐿))
2924, 28bitr3d 272 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐿 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁𝐿))
30293ad2antr1 1239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + 𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀))) → ((𝐿 + 1) ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁𝐿))
31 simpr3 1252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + 𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀))) → 𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀))
3231anim1i 608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + 𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀))) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑁))
3332ancomd 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + 𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀))) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑁) → ((𝐿 + 1) ≤ 𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀)))
34 nn0z 11650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
35343ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + 𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3635adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + 𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀))) → 𝑁 ∈ ℤ)
3736adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + 𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀))) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
38 peano2nn0 11582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 + 1) ∈ ℕ0)
3938nn0zd 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 + 1) ∈ ℤ)
4039adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + 𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀))) → (𝐿 + 1) ∈ ℤ)
4140adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + 𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀))) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑁) → (𝐿 + 1) ∈ ℤ)
42 nn0z 11650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐿 + 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 + 𝑀) ∈ ℤ)
43423ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + 𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀)) → (𝐿 + 𝑀) ∈ ℤ)
4443adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + 𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀))) → (𝐿 + 𝑀) ∈ ℤ)
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + 𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀))) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑁) → (𝐿 + 𝑀) ∈ ℤ)
46 elfz 12542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝐿 + 𝑀) ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) ↔ ((𝐿 + 1) ≤ 𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀))))
4737, 41, 45, 46syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + 𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀))) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) ↔ ((𝐿 + 1) ≤ 𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀))))
4833, 47mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + 𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀))) ∧ (𝐿 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)))
4948ex 401 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + 𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀))) → ((𝐿 + 1) ≤ 𝑁𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))))
5030, 49sylbird 251 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + 𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀))) → (¬ 𝑁𝐿𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))))
5150ex 401 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + 𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀)) → (¬ 𝑁𝐿𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)))))
5223, 51sylbir 226 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + 𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀)) → (¬ 𝑁𝐿𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)))))
536, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + 𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀)) → (¬ 𝑁𝐿𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)))))
5453adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 + 𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝐿 + 𝑀)) → (¬ 𝑁𝐿𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)))))
5522, 54syl5bi 233 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 ∈ (0...(𝐿 + 𝑀)) → (¬ 𝑁𝐿𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)))))
5655imp 395 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + 𝑀))) → (¬ 𝑁𝐿𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))))
5756impcom 396 . . . . . 6 ((¬ 𝑁𝐿 ∧ ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + 𝑀)))) → 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)))
58 df-3an 1109 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) ↔ ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))))
5921, 57, 58sylanbrc 578 . . . . 5 ((¬ 𝑁𝐿 ∧ ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))))
60 pfxccatpfx2.m . . . . . 6 𝑀 = (♯‘𝐵)
615, 60pfxccatpfx2 13749 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))
6259, 61syl 17 . . . 4 ((¬ 𝑁𝐿 ∧ ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + 𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))
63 iffalse 4254 . . . . 5 𝑁𝐿 → if(𝑁𝐿, (𝐴 prefix 𝑁), (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿)))) = (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))
6463adantr 472 . . . 4 ((¬ 𝑁𝐿 ∧ ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + 𝑀)))) → if(𝑁𝐿, (𝐴 prefix 𝑁), (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿)))) = (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))
6562, 64eqtr4d 2802 . . 3 ((¬ 𝑁𝐿 ∧ ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + 𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = if(𝑁𝐿, (𝐴 prefix 𝑁), (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿)))))
6620, 65pm2.61ian 846 . 2 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = if(𝑁𝐿, (𝐴 prefix 𝑁), (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿)))))
6766ex 401 1 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 ∈ (0...(𝐿 + 𝑀)) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = if(𝑁𝐿, (𝐴 prefix 𝑁), (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  ifcif 4245   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6844  cr 10190  0cc0 10191  1c1 10192   + caddc 10194   < clt 10330  cle 10331  cmin 10522  0cn0 11540  cz 11626  ...cfz 12536  chash 13324  Word cword 13489   ++ cconcat 13544   prefix cpfx 13664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-oadd 7770  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-card 9018  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-nn 11277  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-hash 13325  df-word 13490  df-concat 13545  df-substr 13620  df-pfx 13665
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator