Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzneg 41707
Description: Reflection of a finite range of integers about 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fzneg ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵...𝐶) ↔ -𝐴 ∈ (-𝐶...-𝐵)))

Proof of Theorem fzneg
StepHypRef Expression
1 ancom 462 . . 3 ((𝐵𝐴𝐴𝐶) ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐴))
2 zre 12559 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
323ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 zre 12559 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
543ad2ant3 1136 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℝ)
63, 5lenegd 11790 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴𝐶 ↔ -𝐶 ≤ -𝐴))
7 zre 12559 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
873ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
98, 3lenegd 11790 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝐵))
106, 9anbi12d 632 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐶𝐵𝐴) ↔ (-𝐶 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ -𝐵)))
111, 10bitrid 283 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐵𝐴𝐴𝐶) ↔ (-𝐶 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ -𝐵)))
12 elfz 13487 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵...𝐶) ↔ (𝐵𝐴𝐴𝐶)))
13 znegcl 12594 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
14 znegcl 12594 . . . 4 (𝐶 ∈ ℤ → -𝐶 ∈ ℤ)
15 znegcl 12594 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℤ)
16 elfz 13487 . . . 4 ((-𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐴 ∈ (-𝐶...-𝐵) ↔ (-𝐶 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ -𝐵)))
1713, 14, 15, 16syl3an 1161 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐴 ∈ (-𝐶...-𝐵) ↔ (-𝐶 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ -𝐵)))
18173com23 1127 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (-𝐴 ∈ (-𝐶...-𝐵) ↔ (-𝐶 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ -𝐵)))
1911, 12, 183bitr4d 311 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵...𝐶) ↔ -𝐴 ∈ (-𝐶...-𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088  wcel 2107   class class class wbr 5148  (class class class)co 7406  cr 11106  cle 11246  -cneg 11442  cz 12555  ...cfz 13481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-z 12556  df-fz 13482
This theorem is referenced by:  acongeq  41708
  Copyright terms: Public domain W3C validator