Theorem fzneg 43942

Description: Reflection of a finite range of integers about 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵...𝐶) ↔ -𝐴 ∈ (-𝐶...-𝐵)))

Proof of Theorem fzneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 466	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴))
2		zre 12678	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		zre 12678	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
5	4	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	3, 5	lenegd 11876	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ -𝐶 ≤ -𝐴))
7		zre 12678	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8, 3	lenegd 11876	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝐵))
10	6, 9	anbi12d 644	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ↔ (-𝐶 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ -𝐵)))
11	1, 10	bitrid 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ↔ (-𝐶 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ -𝐵)))
12		elfz 13626	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵...𝐶) ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)))
13		znegcl 12712	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
14		znegcl 12712	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → -𝐶 ∈ ℤ)
15		znegcl 12712	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℤ)
16		elfz 13626	. . . 4 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐴 ∈ (-𝐶...-𝐵) ↔ (-𝐶 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ -𝐵)))
17	13, 14, 15, 16	syl3an 1178	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐴 ∈ (-𝐶...-𝐵) ↔ (-𝐶 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ -𝐵)))
18	17	3com23 1144	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (-𝐴 ∈ (-𝐶...-𝐵) ↔ (-𝐶 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ -𝐵)))
19	11, 12, 18	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵...𝐶) ↔ -𝐴 ∈ (-𝐶...-𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  ℝcr 11180   ≤ cle 11325  -cneg 11523  ℤcz 12674  ...cfz 13620

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-z 12675  df-fz 13621

This theorem is used by:  acongeq  43943