Theorem fzneg 42964

Description: Reflection of a finite range of integers about 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵...𝐶) ↔ -𝐴 ∈ (-𝐶...-𝐵)))

Proof of Theorem fzneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 460	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴))
2		zre 12539	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		zre 12539	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
5	4	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	3, 5	lenegd 11763	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ -𝐶 ≤ -𝐴))
7		zre 12539	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8, 3	lenegd 11763	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝐵))
10	6, 9	anbi12d 632	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ↔ (-𝐶 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ -𝐵)))
11	1, 10	bitrid 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ↔ (-𝐶 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ -𝐵)))
12		elfz 13480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵...𝐶) ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)))
13		znegcl 12574	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
14		znegcl 12574	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → -𝐶 ∈ ℤ)
15		znegcl 12574	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℤ)
16		elfz 13480	. . . 4 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐶 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐴 ∈ (-𝐶...-𝐵) ↔ (-𝐶 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ -𝐵)))
17	13, 14, 15, 16	syl3an 1160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-𝐴 ∈ (-𝐶...-𝐵) ↔ (-𝐶 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ -𝐵)))
18	17	3com23 1126	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (-𝐴 ∈ (-𝐶...-𝐵) ↔ (-𝐶 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ -𝐵)))
19	11, 12, 18	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵...𝐶) ↔ -𝐴 ∈ (-𝐶...-𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5109  (class class class)co 7389  ℝcr 11073   ≤ cle 11215  -cneg 11412  ℤcz 12535  ...cfz 13474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-z 12536  df-fz 13475

This theorem is referenced by:  acongeq  42965