Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellexlem5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pellexlem5 41556
Description: Lemma for pellex 41558. Invoking fiphp3d 41542, we have infinitely many near-solutions for some specific norm. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellexlem5 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)} โ‰ˆ โ„•))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ท,๐‘ฆ,๐‘ง
Proof of Theorem pellexlem5
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pellexlem4 41555 . . 3 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โ‰ˆ โ„•)
2 fzfi 13933 . . . 4 (-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆˆ Fin
3 diffi 9175 . . . 4 ((-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆˆ Fin โ†’ ((-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆ– {0}) โˆˆ Fin)
42, 3mp1i 13 . . 3 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ ((-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆ– {0}) โˆˆ Fin)
5 elopab 5526 . . . . 5 (๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โ†” โˆƒ๐‘ฆโˆƒ๐‘ง(๐‘Ž = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))))
6 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โ†’ (1st โ€˜๐‘Ž) = (1st โ€˜โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ))
76oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โ†’ ((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) = ((1st โ€˜โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ)โ†‘2))
8 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โ†’ (2nd โ€˜๐‘Ž) = (2nd โ€˜โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ))
98oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โ†’ ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) = ((2nd โ€˜โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ)โ†‘2))
109oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โ†’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2)) = (๐ท ยท ((2nd โ€˜โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ)โ†‘2)))
117, 10oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โ†’ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = (((1st โ€˜โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ)โ†‘2))))
12 vex 3478 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘ฆ โˆˆ V
13 vex 3478 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘ง โˆˆ V
1412, 13op1st 7979 . . . . . . . . . . . 12 (1st โ€˜โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ) = ๐‘ฆ
1514oveq1i 7415 . . . . . . . . . . 11 ((1st โ€˜โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ)โ†‘2) = (๐‘ฆโ†‘2)
1612, 13op2nd 7980 . . . . . . . . . . . . 13 (2nd โ€˜โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ) = ๐‘ง
1716oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . 12 ((2nd โ€˜โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ)โ†‘2) = (๐‘งโ†‘2)
1817oveq2i 7416 . . . . . . . . . . 11 (๐ท ยท ((2nd โ€˜โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ)โ†‘2)) = (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))
1915, 18oveq12i 7417 . . . . . . . . . 10 (((1st โ€˜โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ)โ†‘2))) = ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))
2011, 19eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โ†’ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))))
2120ad2antrl 726 . . . . . . . 8 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘Ž = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))) โ†’ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))))
22 simprrl 779 . . . . . . . . . . 11 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•))
23 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
24 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
2524ad2antll 727 . . . . . . . . . . 11 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
26 nnz 12575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
2726ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
28 zsqcl 14090 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
30 nnz 12575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
3130ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
32 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•)
3332nnzd 12581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
34 zsqcl 14090 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘งโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ (๐‘งโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
3631, 35zmulcld 12668 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
3729, 36zsubcld 12667 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โˆˆ โ„ค)
38 1re 11210 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 โˆˆ โ„
39 2re 12282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 โˆˆ โ„
40 nnre 12215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
4140ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
42 nnnn0 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
4342ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
4443nn0ge0d 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
4541, 44resqrtcld 15360 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„)
46 remulcl 11191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„)
4739, 45, 46sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„)
48 readdcl 11189 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„) โ†’ (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))) โˆˆ โ„)
4938, 47, 48sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))) โˆˆ โ„)
5049flcld 13759 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ (โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) โˆˆ โ„ค)
5150znegcld 12664 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ -(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) โˆˆ โ„ค)
5237zred 12662 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โˆˆ โ„)
5350zred 12662 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ (โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) โˆˆ โ„)
54 nn0abscl 15255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) โˆˆ โ„•0)
5537, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) โˆˆ โ„•0)
5655nn0zd 12580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) โˆˆ โ„ค)
5756zred 12662 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) โˆˆ โ„)
58 peano2re 11383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) + 1) โˆˆ โ„)
5953, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) + 1) โˆˆ โ„)
60 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))
61 flltp1 13761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))) โˆˆ โ„ โ†’ (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))) < ((โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) + 1))
6249, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))) < ((โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) + 1))
6357, 49, 59, 60, 62lttrd 11371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < ((โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) + 1))
64 zleltp1 12609 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) โ‰ค (โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) โ†” (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < ((โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) + 1)))
6556, 50, 64syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ ((absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) โ‰ค (โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) โ†” (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < ((โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) + 1)))
6663, 65mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) โ‰ค (โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))
67 absle 15258 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โˆˆ โ„ โˆง (โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) โ‰ค (โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) โ†” (-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) โ‰ค ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰ค (โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))))
6867biimpa 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โˆˆ โ„ โˆง (โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) โˆˆ โ„) โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) โ‰ค (โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ (-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) โ‰ค ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰ค (โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))
6952, 53, 66, 68syl21anc 836 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ (-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) โ‰ค ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰ค (โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))
70 elfz 13486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โˆˆ โ„ค โˆง -(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โˆˆ (-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†” (-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) โ‰ค ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰ค (โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))))
7170biimpar 478 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โˆˆ โ„ค โˆง -(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) โˆˆ โ„ค) โˆง (-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))) โ‰ค ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰ค (โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โˆˆ (-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))
7237, 51, 50, 69, 71syl31anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โˆˆ (-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))
7322, 23, 25, 72syl12anc 835 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โˆˆ (-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))
7473adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘Ž = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โˆˆ (-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))
75 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0)
7675ad2antll 727 . . . . . . . . 9 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘Ž = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0)
77 eldifsn 4789 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โˆˆ ((-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆ– {0}) โ†” (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โˆˆ (-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0))
7874, 76, 77sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘Ž = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โˆˆ ((-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆ– {0}))
7921, 78eqeltrd 2833 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘Ž = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))) โ†’ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) โˆˆ ((-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆ– {0}))
8079ex 413 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ ((๐‘Ž = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))) โ†’ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) โˆˆ ((-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆ– {0})))
8180exlimdvv 1937 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆโˆƒ๐‘ง(๐‘Ž = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))) โ†’ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) โˆˆ ((-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆ– {0})))
825, 81biimtrid 241 . . . 4 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โ†’ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) โˆˆ ((-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆ– {0})))
8382imp 407 . . 3 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))}) โ†’ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) โˆˆ ((-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆ– {0}))
841, 4, 83fiphp3d 41542 . 2 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ((-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆ– {0}){๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆฃ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ} โ‰ˆ โ„•)
85 eldif 3957 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ ((-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆ– {0}) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ {0}))
86 elfzelz 13497 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
87 simp2 1137 . . . . . . . . . 10 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ {0}) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
88 velsn 4643 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ {0} โ†” ๐‘ฅ = 0)
8988biimpri 227 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ {0})
9089necon3bi 2967 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ {0} โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
91903ad2ant3 1135 . . . . . . . . . 10 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ {0}) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
9287, 91jca 512 . . . . . . . . 9 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ {0}) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))
93923exp 1119 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ {0} โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))))
9486, 93syl5 34 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ {0} โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))))
9594impd 411 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ {0}) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)))
9685, 95biimtrid 241 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆ– {0}) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)))
97 simp2l 1199 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง {๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆฃ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ} โ‰ˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
98 simp2r 1200 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง {๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆฃ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ} โ‰ˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
99 nnex 12214 . . . . . . . . . . 11 โ„• โˆˆ V
10099, 99xpex 7736 . . . . . . . . . 10 (โ„• ร— โ„•) โˆˆ V
101 opabssxp 5766 . . . . . . . . . 10 {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)} โŠ† (โ„• ร— โ„•)
102 ssdomg 8992 . . . . . . . . . 10 ((โ„• ร— โ„•) โˆˆ V โ†’ ({โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)} โŠ† (โ„• ร— โ„•) โ†’ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)} โ‰ผ (โ„• ร— โ„•)))
103100, 101, 102mp2 9 . . . . . . . . 9 {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)} โ‰ผ (โ„• ร— โ„•)
104 xpnnen 16150 . . . . . . . . 9 (โ„• ร— โ„•) โ‰ˆ โ„•
105 domentr 9005 . . . . . . . . 9 (({โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)} โ‰ผ (โ„• ร— โ„•) โˆง (โ„• ร— โ„•) โ‰ˆ โ„•) โ†’ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)} โ‰ผ โ„•)
106103, 104, 105mp2an 690 . . . . . . . 8 {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)} โ‰ผ โ„•
107 ensym 8995 . . . . . . . . . 10 ({๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆฃ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ} โ‰ˆ โ„• โ†’ โ„• โ‰ˆ {๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆฃ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ})
1081073ad2ant3 1135 . . . . . . . . 9 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง {๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆฃ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ} โ‰ˆ โ„•) โ†’ โ„• โ‰ˆ {๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆฃ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ})
109100, 101ssexi 5321 . . . . . . . . . 10 {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)} โˆˆ V
110 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (1st โ€˜๐‘Ž) = (1st โ€˜๐‘))
111110oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) = ((1st โ€˜๐‘)โ†‘2))
112 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (2nd โ€˜๐‘Ž) = (2nd โ€˜๐‘))
113112oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) = ((2nd โ€˜๐‘)โ†‘2))
114113oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2)) = (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘)โ†‘2)))
115111, 114oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = (((1st โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘)โ†‘2))))
116115eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ((((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ โ†” (((1st โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘)โ†‘2))) = ๐‘ฅ))
117116elrab 3682 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ {๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆฃ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ} โ†” (๐‘ โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆง (((1st โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘)โ†‘2))) = ๐‘ฅ))
118 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โˆง (((1st โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘)โ†‘2))) = ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))) โ†’ ๐‘ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ)
119 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โˆง (((1st โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘)โ†‘2))) = ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•))
120 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โ†’ (1st โ€˜๐‘) = (1st โ€˜โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ))
121120oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โ†’ ((1st โ€˜๐‘)โ†‘2) = ((1st โ€˜โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ)โ†‘2))
122 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โ†’ (2nd โ€˜๐‘) = (2nd โ€˜โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ))
123122oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โ†’ ((2nd โ€˜๐‘)โ†‘2) = ((2nd โ€˜โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ)โ†‘2))
124123oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โ†’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘)โ†‘2)) = (๐ท ยท ((2nd โ€˜โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ)โ†‘2)))
125121, 124oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โ†’ (((1st โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘)โ†‘2))) = (((1st โ€˜โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ)โ†‘2))))
126125, 19eqtr2di 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โ†’ ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = (((1st โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘)โ†‘2))))
127126ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โˆง (((1st โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘)โ†‘2))) = ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = (((1st โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘)โ†‘2))))
128 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โˆง (((1st โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘)โ†‘2))) = ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))) โ†’ (((1st โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘)โ†‘2))) = ๐‘ฅ)
129127, 128eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โˆง (((1st โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘)โ†‘2))) = ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)
130118, 119, 129jca32 516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โˆง (((1st โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘)โ†‘2))) = ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))))) โ†’ (๐‘ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)))
131130ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โˆง (((1st โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘)โ†‘2))) = ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))) โ†’ (๐‘ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ))))
1321312eximdv 1922 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โˆง (((1st โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘)โ†‘2))) = ๐‘ฅ) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆโˆƒ๐‘ง(๐‘ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))) โ†’ โˆƒ๐‘ฆโˆƒ๐‘ง(๐‘ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ))))
133 elopab 5526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โ†” โˆƒ๐‘ฆโˆƒ๐‘ง(๐‘ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))))
134 elopab 5526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)} โ†” โˆƒ๐‘ฆโˆƒ๐‘ง(๐‘ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆง ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)))
135132, 133, 1343imtr4g 295 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โˆง (((1st โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘)โ†‘2))) = ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โ†’ ๐‘ โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)}))
136135expimpd 454 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ (((((1st โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘)โ†‘2))) = ๐‘ฅ โˆง ๐‘ โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))}) โ†’ ๐‘ โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)}))
137136ancomsd 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆง (((1st โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘)โ†‘2))) = ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)}))
138117, 137biimtrid 241 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ โˆˆ {๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆฃ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ} โ†’ ๐‘ โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)}))
139138ssrdv 3987 . . . . . . . . . . 11 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ {๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆฃ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ} โŠ† {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)})
1401393adant3 1132 . . . . . . . . . 10 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง {๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆฃ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ} โ‰ˆ โ„•) โ†’ {๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆฃ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ} โŠ† {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)})
141 ssdomg 8992 . . . . . . . . . 10 ({โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)} โˆˆ V โ†’ ({๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆฃ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ} โŠ† {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)} โ†’ {๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆฃ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ} โ‰ผ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)}))
142109, 140, 141mpsyl 68 . . . . . . . . 9 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง {๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆฃ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ} โ‰ˆ โ„•) โ†’ {๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆฃ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ} โ‰ผ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)})
143 endomtr 9004 . . . . . . . . 9 ((โ„• โ‰ˆ {๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆฃ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ} โˆง {๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆฃ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ} โ‰ผ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)}) โ†’ โ„• โ‰ผ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)})
144108, 142, 143syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง {๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆฃ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ} โ‰ˆ โ„•) โ†’ โ„• โ‰ผ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)})
145 sbth 9089 . . . . . . . 8 (({โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)} โ‰ผ โ„• โˆง โ„• โ‰ผ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)}) โ†’ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)} โ‰ˆ โ„•)
146106, 144, 145sylancr 587 . . . . . . 7 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง {๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆฃ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ} โ‰ˆ โ„•) โ†’ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)} โ‰ˆ โ„•)
14797, 98, 146jca32 516 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โˆง {๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆฃ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ} โ‰ˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)} โ‰ˆ โ„•)))
1481473exp 1119 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ ({๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆฃ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ} โ‰ˆ โ„• โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)} โ‰ˆ โ„•)))))
14996, 148syld 47 . . . 4 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆ– {0}) โ†’ ({๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆฃ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ} โ‰ˆ โ„• โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)} โ‰ˆ โ„•)))))
150149impd 411 . . 3 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ((-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆ– {0}) โˆง {๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆฃ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ} โ‰ˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)} โ‰ˆ โ„•))))
151150reximdv2 3164 . 2 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ((-(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))...(โŒŠโ€˜(1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท))))) โˆ– {0}){๐‘Ž โˆˆ {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง (((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) โ‰  0 โˆง (absโ€˜((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2)))) < (1 + (2 ยท (โˆšโ€˜๐ท)))))} โˆฃ (((1st โ€˜๐‘Ž)โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท ((2nd โ€˜๐‘Ž)โ†‘2))) = ๐‘ฅ} โ‰ˆ โ„• โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)} โ‰ˆ โ„•)))
15284, 151mpd 15 1 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ โ‰  0 โˆง {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ฆโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘งโ†‘2))) = ๐‘ฅ)} โ‰ˆ โ„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541  โˆƒwex 1781   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   โˆ– cdif 3944   โŠ† wss 3947  {csn 4627  โŸจcop 4633   class class class wbr 5147  {copab 5209   ร— cxp 5673  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  1st c1st 7969  2nd c2nd 7970   โ‰ˆ cen 8932   โ‰ผ cdom 8933  Fincfn 8935  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11244   โ‰ค cle 11245   โˆ’ cmin 11440  -cneg 11441  โ„•cn 12208  2c2 12263  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  โ„šcq 12928  ...cfz 13480  โŒŠcfl 13751  โ†‘cexp 14023  โˆšcsqrt 15176  abscabs 15177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-numer 16667  df-denom 16668
This theorem is referenced by:  pellex  41558
  Copyright terms: Public domain W3C validator