MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fznatpl1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fznatpl1 13587
Description: Shift membership in a finite sequence of naturals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
fznatpl1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))

Proof of Theorem fznatpl1
StepHypRef Expression
1 1red 11245 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
2 elfzelz 13533 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℤ)
32zred 12696 . . . . 5 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℝ)
43adantl 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐼 ∈ ℝ)
5 peano2re 11417 . . . 4 (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
7 peano2re 11417 . . . . 5 (1 ∈ ℝ → (1 + 1) ∈ ℝ)
81, 7syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 + 1) ∈ ℝ)
91ltp1d 12174 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 < (1 + 1))
10 elfzle1 13536 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 1 ≤ 𝐼)
1110adantl 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 ≤ 𝐼)
12 1re 11244 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
13 leadd1 11712 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝐼 ↔ (1 + 1) ≤ (𝐼 + 1)))
1412, 12, 13mp3an13 1448 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐼 ↔ (1 + 1) ≤ (𝐼 + 1)))
154, 14syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 ≤ 𝐼 ↔ (1 + 1) ≤ (𝐼 + 1)))
1611, 15mpbid 231 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 + 1) ≤ (𝐼 + 1))
171, 8, 6, 9, 16ltletrd 11404 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 < (𝐼 + 1))
181, 6, 17ltled 11392 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 ≤ (𝐼 + 1))
19 elfzle2 13537 . . . 4 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ≤ (𝑁 − 1))
2019adantl 480 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐼 ≤ (𝑁 − 1))
21 nnz 12609 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2221adantr 479 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
2322zred 12696 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
24 leaddsub 11720 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑁𝐼 ≤ (𝑁 − 1)))
2512, 24mp3an2 1445 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑁𝐼 ≤ (𝑁 − 1)))
263, 23, 25syl2an2 684 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑁𝐼 ≤ (𝑁 − 1)))
2720, 26mpbird 256 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑁)
282peano2zd 12699 . . 3 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
29 1z 12622 . . . 4 1 ∈ ℤ
30 elfz 13522 . . . 4 (((𝐼 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝐼 + 1) ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝑁)))
3129, 30mp3an2 1445 . . 3 (((𝐼 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝐼 + 1) ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝑁)))
3228, 22, 31syl2an2 684 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝐼 + 1) ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝑁)))
3318, 27, 32mpbir2and 711 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2098   class class class wbr 5143  (class class class)co 7416  cr 11137  1c1 11139   + caddc 11141  cle 11279  cmin 11474  cn 12242  cz 12588  ...cfz 13516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517
This theorem is referenced by:  axlowdimlem10  28806  axlowdimlem14  28810  1smat1  33462  madjusmdetlem2  33486
  Copyright terms: Public domain W3C validator