Theorem fznatpl1 13595

Description: Shift membership in a finite sequence of naturals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fznatpl1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))

Proof of Theorem fznatpl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11236	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
2		elfzelz 13541	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℤ)
3	2	zred 12697	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐼 ∈ ℝ)
5		peano2re 11408	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
7		peano2re 11408	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 + 1) ∈ ℝ)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 + 1) ∈ ℝ)
9	1	ltp1d 12172	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 < (1 + 1))
10		elfzle1 13544	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 1 ≤ 𝐼)
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 ≤ 𝐼)
12		1re 11235	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		leadd1 11705	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝐼 ↔ (1 + 1) ≤ (𝐼 + 1)))
14	12, 12, 13	mp3an13 1454	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐼 ↔ (1 + 1) ≤ (𝐼 + 1)))
15	4, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 ≤ 𝐼 ↔ (1 + 1) ≤ (𝐼 + 1)))
16	11, 15	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 + 1) ≤ (𝐼 + 1))
17	1, 8, 6, 9, 16	ltletrd 11395	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 < (𝐼 + 1))
18	1, 6, 17	ltled 11383	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 ≤ (𝐼 + 1))
19		elfzle2 13545	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ≤ (𝑁 − 1))
20	19	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐼 ≤ (𝑁 − 1))
21		nnz 12609	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
23	22	zred 12697	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
24		leaddsub 11713	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 𝐼 ≤ (𝑁 − 1)))
25	12, 24	mp3an2 1451	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 𝐼 ≤ (𝑁 − 1)))
26	3, 23, 25	syl2an2 686	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 𝐼 ≤ (𝑁 − 1)))
27	20, 26	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑁)
28	2	peano2zd 12700	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
29		1z 12622	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
30		elfz 13530	. . . 4 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝐼 + 1) ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝑁)))
31	29, 30	mp3an2 1451	. . 3 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝐼 + 1) ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝑁)))
32	28, 22, 31	syl2an2 686	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝐼 + 1) ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝑁)))
33	18, 27, 32	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  1c1 11130   + caddc 11132   ≤ cle 11270   − cmin 11466  ℕcn 12240  ℤcz 12588  ...cfz 13524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525

This theorem is referenced by:  axlowdimlem10  28930  axlowdimlem14  28934  1smat1  33835  madjusmdetlem2  33859