Theorem fznatpl1 13496

Description: Shift membership in a finite sequence of naturals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fznatpl1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))

Proof of Theorem fznatpl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11135	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
2		elfzelz 13442	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℤ)
3	2	zred 12598	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐼 ∈ ℝ)
5		peano2re 11308	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
7		peano2re 11308	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 + 1) ∈ ℝ)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 + 1) ∈ ℝ)
9	1	ltp1d 12074	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 < (1 + 1))
10		elfzle1 13445	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 1 ≤ 𝐼)
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 ≤ 𝐼)
12		1re 11134	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		leadd1 11607	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝐼 ↔ (1 + 1) ≤ (𝐼 + 1)))
14	12, 12, 13	mp3an13 1455	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐼 ↔ (1 + 1) ≤ (𝐼 + 1)))
15	4, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 ≤ 𝐼 ↔ (1 + 1) ≤ (𝐼 + 1)))
16	11, 15	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 + 1) ≤ (𝐼 + 1))
17	1, 8, 6, 9, 16	ltletrd 11295	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 < (𝐼 + 1))
18	1, 6, 17	ltled 11283	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 ≤ (𝐼 + 1))
19		elfzle2 13446	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ≤ (𝑁 − 1))
20	19	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐼 ≤ (𝑁 − 1))
21		nnz 12511	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
23	22	zred 12598	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
24		leaddsub 11615	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 𝐼 ≤ (𝑁 − 1)))
25	12, 24	mp3an2 1452	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 𝐼 ≤ (𝑁 − 1)))
26	3, 23, 25	syl2an2 687	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 𝐼 ≤ (𝑁 − 1)))
27	20, 26	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑁)
28	2	peano2zd 12601	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
29		1z 12523	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
30		elfz 13431	. . . 4 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝐼 + 1) ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝑁)))
31	29, 30	mp3an2 1452	. . 3 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝐼 + 1) ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝑁)))
32	28, 22, 31	syl2an2 687	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝐼 + 1) ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝑁)))
33	18, 27, 32	mpbir2and 714	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5097  (class class class)co 7358  ℝcr 11027  1c1 11029   + caddc 11031   ≤ cle 11169   − cmin 11366  ℕcn 12147  ℤcz 12490  ...cfz 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426

This theorem is referenced by:  axlowdimlem10  29005  axlowdimlem14  29009  1smat1  33940  madjusmdetlem2  33964