MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzrev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzrev 13307
Description: Reversal of start and end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzrev (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝐽𝑁)...(𝐽𝑀)) ↔ (𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))

Proof of Theorem fzrev
StepHypRef Expression
1 zre 12311 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
2 zre 12311 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
3 zre 12311 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
4 suble 11441 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐽𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽𝑁) ≤ 𝐾))
51, 2, 3, 4syl3an 1159 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐽𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽𝑁) ≤ 𝐾))
653comr 1124 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐽𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽𝑁) ≤ 𝐾))
763expb 1119 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽𝑁) ≤ 𝐾))
87adantll 711 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽𝑁) ≤ 𝐾))
9 zre 12311 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
10 lesub 11442 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ (𝐽𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽𝑀)))
119, 1, 2, 10syl3an 1159 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝐽𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽𝑀)))
12113expb 1119 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ (𝐽𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽𝑀)))
1312adantlr 712 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ (𝐽𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽𝑀)))
148, 13anbi12d 631 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (((𝐽𝐾) ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝐽𝐾)) ↔ ((𝐽𝑁) ≤ 𝐾𝐾 ≤ (𝐽𝑀))))
15 ancom 461 . . 3 (((𝐽𝐾) ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝐽𝐾)) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽𝐾) ∧ (𝐽𝐾) ≤ 𝑁))
1614, 15bitr3di 286 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (((𝐽𝑁) ≤ 𝐾𝐾 ≤ (𝐽𝑀)) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽𝐾) ∧ (𝐽𝐾) ≤ 𝑁)))
17 simprr 770 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
18 zsubcl 12350 . . . . 5 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽𝑁) ∈ ℤ)
1918ancoms 459 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐽𝑁) ∈ ℤ)
2019ad2ant2lr 745 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽𝑁) ∈ ℤ)
21 zsubcl 12350 . . . . 5 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐽𝑀) ∈ ℤ)
2221ancoms 459 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐽𝑀) ∈ ℤ)
2322ad2ant2r 744 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽𝑀) ∈ ℤ)
24 elfz 13233 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐽𝑀) ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ((𝐽𝑁)...(𝐽𝑀)) ↔ ((𝐽𝑁) ≤ 𝐾𝐾 ≤ (𝐽𝑀))))
2517, 20, 23, 24syl3anc 1370 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝐽𝑁)...(𝐽𝑀)) ↔ ((𝐽𝑁) ≤ 𝐾𝐾 ≤ (𝐽𝑀))))
26 zsubcl 12350 . . . 4 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
2726adantl 482 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
28 simpll 764 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
29 simplr 766 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
30 elfz 13233 . . 3 (((𝐽𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽𝐾) ∧ (𝐽𝐾) ≤ 𝑁)))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1370 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽𝐾) ∧ (𝐽𝐾) ≤ 𝑁)))
3216, 25, 313bitr4d 311 1 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝐽𝑁)...(𝐽𝑀)) ↔ (𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7268  cr 10858  cle 10998  cmin 11193  cz 12307  ...cfz 13227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-nn 11962  df-n0 12222  df-z 12308  df-fz 13228
This theorem is referenced by:  fzrev2  13308  fzrev3  13310  fzrevral  13329  fsumrev  15479  fprodrev  15675  ballotlemsima  32468
  Copyright terms: Public domain W3C validator