Theorem fzrev 13568

Description: Reversal of start and end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzrev	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝐽 − 𝑁)...(𝐽 − 𝑀)) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))

Proof of Theorem fzrev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
2		zre 12566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
3		zre 12566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
4		suble 11696	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾))
6	5	3comr 1125	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾))
7	6	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾))
8	7	adantll 712	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾))
9		zre 12566	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
10		lesub 11697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀)))
11	9, 1, 2, 10	syl3an 1160	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀)))
12	11	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀)))
13	12	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀)))
14	8, 13	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ∧ 𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾)) ↔ ((𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀))))
15		ancom 461	. . 3 ⊢ (((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ∧ 𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾)) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ∧ (𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁))
16	14, 15	bitr3di 285	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (((𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀)) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ∧ (𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
17		simprr 771	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
18		zsubcl 12608	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 − 𝑁) ∈ ℤ)
19	18	ancoms 459	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐽 − 𝑁) ∈ ℤ)
20	19	ad2ant2lr 746	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 − 𝑁) ∈ ℤ)
21		zsubcl 12608	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐽 − 𝑀) ∈ ℤ)
22	21	ancoms 459	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐽 − 𝑀) ∈ ℤ)
23	22	ad2ant2r 745	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 − 𝑀) ∈ ℤ)
24		elfz 13494	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 𝑀) ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ((𝐽 − 𝑁)...(𝐽 − 𝑀)) ↔ ((𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀))))
25	17, 20, 23, 24	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝐽 − 𝑁)...(𝐽 − 𝑀)) ↔ ((𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀))))
26		zsubcl 12608	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 − 𝐾) ∈ ℤ)
27	26	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 − 𝐾) ∈ ℤ)
28		simpll 765	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
29		simplr 767	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
30		elfz 13494	. . 3 ⊢ (((𝐽 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐽 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ∧ (𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ∧ (𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
32	16, 25, 31	3bitr4d 310	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝐽 − 𝑁)...(𝐽 − 𝑀)) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  ℝcr 11111   ≤ cle 11253   − cmin 11448  ℤcz 12562  ...cfz 13488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-fz 13489

This theorem is referenced by:  fzrev2  13569  fzrev3  13571  fzrevral  13590  fsumrev  15729  fprodrev  15925  ballotlemsima  33800