Theorem fzrev 13536

Description: Reversal of start and end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzrev	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝐽 − 𝑁)...(𝐽 − 𝑀)) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))

Proof of Theorem fzrev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12523	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
2		zre 12523	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
3		zre 12523	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
4		suble 11623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾))
6	5	3comr 1126	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾))
7	6	3expb 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾))
8	7	adantll 715	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾))
9		zre 12523	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
10		lesub 11624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀)))
11	9, 1, 2, 10	syl3an 1161	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀)))
12	11	3expb 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀)))
13	12	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀)))
14	8, 13	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ∧ 𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾)) ↔ ((𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀))))
15		ancom 460	. . 3 ⊢ (((𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁 ∧ 𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾)) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ∧ (𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁))
16	14, 15	bitr3di 286	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (((𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀)) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ∧ (𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
17		simprr 773	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
18		zsubcl 12564	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 − 𝑁) ∈ ℤ)
19	18	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐽 − 𝑁) ∈ ℤ)
20	19	ad2ant2lr 749	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 − 𝑁) ∈ ℤ)
21		zsubcl 12564	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐽 − 𝑀) ∈ ℤ)
22	21	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐽 − 𝑀) ∈ ℤ)
23	22	ad2ant2r 748	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 − 𝑀) ∈ ℤ)
24		elfz 13462	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 𝑀) ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ((𝐽 − 𝑁)...(𝐽 − 𝑀)) ↔ ((𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀))))
25	17, 20, 23, 24	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝐽 − 𝑁)...(𝐽 − 𝑀)) ↔ ((𝐽 − 𝑁) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ (𝐽 − 𝑀))))
26		zsubcl 12564	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 − 𝐾) ∈ ℤ)
27	26	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐽 − 𝐾) ∈ ℤ)
28		simpll 767	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
29		simplr 769	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
30		elfz 13462	. . 3 ⊢ (((𝐽 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐽 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ∧ (𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ (𝐽 − 𝐾) ∧ (𝐽 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
32	16, 25, 31	3bitr4d 311	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝐽 − 𝑁)...(𝐽 − 𝑀)) ↔ (𝐽 − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7362  ℝcr 11032   ≤ cle 11175   − cmin 11372  ℤcz 12519  ...cfz 13456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-fz 13457

This theorem is referenced by:  fzrev2  13537  fzrev3  13539  fzrevral  13561  fsumrev  15736  fprodrev  15937  ballotlemsima  34680