![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > fzctr | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for theorems about the central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
fzctr | โข (๐ โ โ0 โ ๐ โ (0...(2 ยท ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | nn0ge0 12439 | . 2 โข (๐ โ โ0 โ 0 โค ๐) | |
2 | nn0re 12423 | . . . 4 โข (๐ โ โ0 โ ๐ โ โ) | |
3 | nn0addge1 12460 | . . . 4 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ0) โ ๐ โค (๐ + ๐)) | |
4 | 2, 3 | mpancom 687 | . . 3 โข (๐ โ โ0 โ ๐ โค (๐ + ๐)) |
5 | nn0cn 12424 | . . . 4 โข (๐ โ โ0 โ ๐ โ โ) | |
6 | 5 | 2timesd 12397 | . . 3 โข (๐ โ โ0 โ (2 ยท ๐) = (๐ + ๐)) |
7 | 4, 6 | breqtrrd 5134 | . 2 โข (๐ โ โ0 โ ๐ โค (2 ยท ๐)) |
8 | nn0z 12525 | . . 3 โข (๐ โ โ0 โ ๐ โ โค) | |
9 | 0zd 12512 | . . 3 โข (๐ โ โ0 โ 0 โ โค) | |
10 | 2z 12536 | . . . 4 โข 2 โ โค | |
11 | zmulcl 12553 | . . . 4 โข ((2 โ โค โง ๐ โ โค) โ (2 ยท ๐) โ โค) | |
12 | 10, 8, 11 | sylancr 588 | . . 3 โข (๐ โ โ0 โ (2 ยท ๐) โ โค) |
13 | elfz 13431 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง 0 โ โค โง (2 ยท ๐) โ โค) โ (๐ โ (0...(2 ยท ๐)) โ (0 โค ๐ โง ๐ โค (2 ยท ๐)))) | |
14 | 8, 9, 12, 13 | syl3anc 1372 | . 2 โข (๐ โ โ0 โ (๐ โ (0...(2 ยท ๐)) โ (0 โค ๐ โง ๐ โค (2 ยท ๐)))) |
15 | 1, 7, 14 | mpbir2and 712 | 1 โข (๐ โ โ0 โ ๐ โ (0...(2 ยท ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 โ wcel 2107 class class class wbr 5106 (class class class)co 7358 โcr 11051 0cc0 11052 + caddc 11055 ยท cmul 11057 โค cle 11191 2c2 12209 โ0cn0 12414 โคcz 12500 ...cfz 13425 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-cnex 11108 ax-resscn 11109 ax-1cn 11110 ax-icn 11111 ax-addcl 11112 ax-addrcl 11113 ax-mulcl 11114 ax-mulrcl 11115 ax-mulcom 11116 ax-addass 11117 ax-mulass 11118 ax-distr 11119 ax-i2m1 11120 ax-1ne0 11121 ax-1rid 11122 ax-rnegex 11123 ax-rrecex 11124 ax-cnre 11125 ax-pre-lttri 11126 ax-pre-lttrn 11127 ax-pre-ltadd 11128 ax-pre-mulgt0 11129 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-reu 3355 df-rab 3409 df-v 3448 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-er 8649 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-pnf 11192 df-mnf 11193 df-xr 11194 df-ltxr 11195 df-le 11196 df-sub 11388 df-neg 11389 df-nn 12155 df-2 12217 df-n0 12415 df-z 12501 df-fz 13426 |
This theorem is referenced by: bcctr 26626 pcbcctr 26627 bcp1ctr 26630 bposlem1 26635 bposlem3 26637 bposlem5 26639 bposlem6 26640 chebbnd1lem1 26820 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |