Theorem axlowdimlem3 28908

Description: Lemma for axlowdim 28925. Set up a union property for an interval of integers. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem3	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ (3...𝑁)))

Proof of Theorem axlowdimlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1le2 12458	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 2
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ 2)
3		eluzle 12874	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
4		2z 12633	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
5		1z 12631	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
6		eluzelz 12871	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
7		elfz 13536	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an12i 1466	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝑁)))
9	2, 3, 8	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ (1...𝑁))
10		fzsplit 13573	. . 3 ⊢ (2 ∈ (1...𝑁) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ ((2 + 1)...𝑁)))
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ ((2 + 1)...𝑁)))
12		df-3 12313	. . . 4 ⊢ 3 = (2 + 1)
13	12	oveq1i 7424	. . 3 ⊢ (3...𝑁) = ((2 + 1)...𝑁)
14	13	uneq2i 4147	. 2 ⊢ ((1...2) ∪ (3...𝑁)) = ((1...2) ∪ ((2 + 1)...𝑁))
15	11, 14	eqtr4di 2787	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ (3...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3931   class class class wbr 5125  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11139   + caddc 11141   ≤ cle 11279  2c2 12304  3c3 12305  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12861  ...cfz 13530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-fz 13531

This theorem is referenced by:  axlowdimlem5  28910