Theorem elxpcbasex1 49906

Description: A non-empty base set of the product category indicates the existence of the first factor of the product category. (Contributed by Zhi Wang, 8-Oct-2025.) (Proof shortened by SN, 15-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elxpcbasex1.t	⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
elxpcbasex1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
elxpcbasex1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elxpcbasex1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)

Proof of Theorem elxpcbasex1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxpcbasex1.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		elxpcbasex1.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
3		elxpcbasex1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
4		reldmxpc 49904	. . 3 ⊢ Rel dom ×c
5	2, 3, 4	strov2rcl 17273	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ V)
6	1, 5	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  Basecbs 17265   ×_c cxpc 18220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-1cn 11154  ax-addcl 11156

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12230  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-xpc 18224

This theorem is referenced by:  swapf1a  49927  swapf2vala  49928  swapf2f1oaALT  49936