Theorem elxpcbasex1 48927

Description: A non-empty base set of the product category indicates the existence of the first factor of the product category. (Contributed by Zhi Wang, 8-Oct-2025.) (Proof shortened by SN, 15-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elxpcbasex1.t	⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
elxpcbasex1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
elxpcbasex1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elxpcbasex1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)

Proof of Theorem elxpcbasex1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxpcbasex1.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		elxpcbasex1.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
3		elxpcbasex1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
4		reldmxpc 48925	. . 3 ⊢ Rel dom ×c
5	2, 3, 4	strov2rcl 17251	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ V)
6	1, 5	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3479  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429  Basecbs 17243   ×_c cxpc 18209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-1cn 11209  ax-addcl 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-nn 12263  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-xpc 18213

This theorem is referenced by:  swapf1a  48948  swapf2vala  48949  swapf2f1oaALT  48957