Theorem ex-cnv 30507

Description: Example for df-cnv 5639. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-cnv	⊢ ◡{⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = {⟨6, 2⟩, ⟨9, 3⟩}

Proof of Theorem ex-cnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvun 6106	. . 3 ⊢ ◡({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}) = (◡{⟨2, 6⟩} ∪ ◡{⟨3, 9⟩})
2		2nn 12254	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	elexi 3452	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ V
4		6nn 12270	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ
5	4	elexi 3452	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ V
6	3, 5	cnvsn 6190	. . . 4 ⊢ ◡{⟨2, 6⟩} = {⟨6, 2⟩}
7		3nn 12260	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
8	7	elexi 3452	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ V
9		9nn 12279	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
10	9	elexi 3452	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ V
11	8, 10	cnvsn 6190	. . . 4 ⊢ ◡{⟨3, 9⟩} = {⟨9, 3⟩}
12	6, 11	uneq12i 4106	. . 3 ⊢ (◡{⟨2, 6⟩} ∪ ◡{⟨3, 9⟩}) = ({⟨6, 2⟩} ∪ {⟨9, 3⟩})
13	1, 12	eqtri 2759	. 2 ⊢ ◡({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}) = ({⟨6, 2⟩} ∪ {⟨9, 3⟩})
14		df-pr 4570	. . 3 ⊢ {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩})
15	14	cnveqi 5829	. 2 ⊢ ◡{⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = ◡({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩})
16		df-pr 4570	. 2 ⊢ {⟨6, 2⟩, ⟨9, 3⟩} = ({⟨6, 2⟩} ∪ {⟨9, 3⟩})
17	13, 15, 16	3eqtr4i 2769	1 ⊢ ◡{⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = {⟨6, 2⟩, ⟨9, 3⟩}

Syntax hints:   = wceq 1542   ∪ cun 3887  {csn 4567  {cpr 4569  ⟨cop 4573  ^◡ccnv 5630  ℕcn 12174  2c2 12236  3c3 12237  6c6 12240  9c9 12243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-1cn 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251

This theorem is referenced by: (None)