Theorem ex-cnv 30417

Description: Example for df-cnv 5622. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-cnv	⊢ ◡{⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = {⟨6, 2⟩, ⟨9, 3⟩}

Proof of Theorem ex-cnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvun 6089	. . 3 ⊢ ◡({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}) = (◡{⟨2, 6⟩} ∪ ◡{⟨3, 9⟩})
2		2nn 12198	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	elexi 3459	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ V
4		6nn 12214	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ
5	4	elexi 3459	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ V
6	3, 5	cnvsn 6173	. . . 4 ⊢ ◡{⟨2, 6⟩} = {⟨6, 2⟩}
7		3nn 12204	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
8	7	elexi 3459	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ V
9		9nn 12223	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
10	9	elexi 3459	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ V
11	8, 10	cnvsn 6173	. . . 4 ⊢ ◡{⟨3, 9⟩} = {⟨9, 3⟩}
12	6, 11	uneq12i 4113	. . 3 ⊢ (◡{⟨2, 6⟩} ∪ ◡{⟨3, 9⟩}) = ({⟨6, 2⟩} ∪ {⟨9, 3⟩})
13	1, 12	eqtri 2754	. 2 ⊢ ◡({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}) = ({⟨6, 2⟩} ∪ {⟨9, 3⟩})
14		df-pr 4576	. . 3 ⊢ {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩})
15	14	cnveqi 5813	. 2 ⊢ ◡{⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = ◡({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩})
16		df-pr 4576	. 2 ⊢ {⟨6, 2⟩, ⟨9, 3⟩} = ({⟨6, 2⟩} ∪ {⟨9, 3⟩})
17	13, 15, 16	3eqtr4i 2764	1 ⊢ ◡{⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = {⟨6, 2⟩, ⟨9, 3⟩}

Syntax hints:   = wceq 1541   ∪ cun 3895  {csn 4573  {cpr 4575  ⟨cop 4579  ^◡ccnv 5613  ℕcn 12125  2c2 12180  3c3 12181  6c6 12184  9c9 12187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-1cn 11064

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195

This theorem is referenced by: (None)