Theorem 7nn 12296

Description: 7 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
7nn	⊢ 7 ∈ ℕ

Proof of Theorem 7nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-7 12271	. 2 ⊢ 7 = (6 + 1)
2		6nn 12293	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
3		peano2nn 12208	. . 3 ⊢ (6 ∈ ℕ → (6 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (6 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2848	1 ⊢ 7 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2132  (class class class)co 7381  1c1 11060   + caddc 11062  ℕcn 12196  6c6 12262  7c7 12263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-1cn 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-ov 7384  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271

This theorem is referenced by:  8nn  12299  7pos  12318  7nn0  12489  7prm  17118  17prm  17125  prmlem2  17128  37prm  17129  43prm  17130  83prm  17131  139prm  17132  163prm  17133  317prm  17134  631prm  17135  1259prm  17144  mcubic  26878  cubic2  26879  cubic  26880  quartlem1  26888  quartlem2  26889  log2ublem1  26977  log2ublem2  26978  log2ub  26980  lgsdir2lem3  27357  lngndx  28573  lngid  28575  slotslnbpsd  28577  lngndxnitvndx  28578  eengstr  29116  ex-xp  30573  ex-mod  30586  ex-prmo  30596  hgt750lem2  34893  60gcd7e1  42560  60lcm7e420  42565  lcm7un  42574  lcmineqlem  42607  3lexlogpow5ineq2  42610  3lexlogpow2ineq1  42613  3lexlogpow2ineq2  42614  7ne0  42815  rmydioph  43529  expdiophlem2  43537  257prm  48108  fmtno5nprm  48130  139prmALT  48143  127prm  48146  8exp8mod9  48296  nnsum3primesle9  48354  bgoldbtbndlem1  48365  tgoldbach  48377