Theorem 7nn 12304

Description: 7 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
7nn	⊢ 7 ∈ ℕ

Proof of Theorem 7nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-7 12280	. 2 ⊢ 7 = (6 + 1)
2		6nn 12301	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
3		peano2nn 12224	. . 3 ⊢ (6 ∈ ℕ → (6 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (6 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2830	1 ⊢ 7 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  1c1 11111   + caddc 11113  ℕcn 12212  6c6 12271  7c7 12272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-1cn 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280

This theorem is referenced by:  8nn  12307  7nn0  12494  7prm  17044  17prm  17050  prmlem2  17053  37prm  17054  43prm  17055  83prm  17056  139prm  17057  163prm  17058  317prm  17059  631prm  17060  1259prm  17069  mcubic  26352  cubic2  26353  cubic  26354  quartlem1  26362  quartlem2  26363  log2ublem1  26451  log2ublem2  26452  log2ub  26454  lgsdir2lem3  26830  lngndx  27689  lngid  27691  slotslnbpsd  27693  lngndxnitvndx  27694  ttgvalOLD  28127  ttglemOLD  28129  eengstr  28238  ex-xp  29689  ex-mod  29702  ex-prmo  29712  hgt750lem2  33664  60gcd7e1  40870  60lcm7e420  40875  lcm7un  40884  lcmineqlem  40917  3lexlogpow5ineq2  40920  3lexlogpow2ineq1  40923  3lexlogpow2ineq2  40924  rmydioph  41753  expdiophlem2  41761  257prm  46229  fmtno5nprm  46251  139prmALT  46264  127prm  46267  8exp8mod9  46404  nnsum3primesle9  46462  bgoldbtbndlem1  46473  tgoldbach  46485