Theorem 7nn 11995

Description: 7 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
7nn	⊢ 7 ∈ ℕ

Proof of Theorem 7nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-7 11971	. 2 ⊢ 7 = (6 + 1)
2		6nn 11992	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
3		peano2nn 11915	. . 3 ⊢ (6 ∈ ℕ → (6 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (6 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2835	1 ⊢ 7 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  1c1 10803   + caddc 10805  ℕcn 11903  6c6 11962  7c7 11963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-1cn 10860

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971

This theorem is referenced by:  8nn  11998  7nn0  12185  7prm  16740  17prm  16746  prmlem2  16749  37prm  16750  43prm  16751  83prm  16752  139prm  16753  163prm  16754  317prm  16755  631prm  16756  1259prm  16765  mcubic  25902  cubic2  25903  cubic  25904  quartlem1  25912  quartlem2  25913  log2ublem1  26001  log2ublem2  26002  log2ub  26004  lgsdir2lem3  26380  lngndx  26704  lngid  26706  slotslnbpsd  26708  ttgval  27140  ttglemOLD  27142  eengstr  27251  ex-xp  28701  ex-mod  28714  ex-prmo  28724  hgt750lem2  32532  60gcd7e1  39941  60lcm7e420  39946  lcm7un  39955  lcmineqlem  39988  3lexlogpow5ineq2  39991  3lexlogpow2ineq1  39994  3lexlogpow2ineq2  39995  rmydioph  40752  expdiophlem2  40760  257prm  44901  fmtno5nprm  44923  139prmALT  44936  127prm  44939  8exp8mod9  45076  nnsum3primesle9  45134  bgoldbtbndlem1  45145  tgoldbach  45157