Theorem 7nn 12439

Description: 7 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
7nn	⊢ 7 ∈ ℕ

Proof of Theorem 7nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-7 12414	. 2 ⊢ 7 = (6 + 1)
2		6nn 12436	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
3		peano2nn 12351	. . 3 ⊢ (6 ∈ ℕ → (6 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (6 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2856	1 ⊢ 7 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  1c1 11205   + caddc 11207  ℕcn 12339  6c6 12405  7c7 12406

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-1cn 11262

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414

This theorem is used by:  8nn  12442  7pos  12461  7nn0  12632  7prm  17294  17prm  17301  prmlem2  17304  37prm  17305  43prm  17306  83prm  17307  139prm  17308  163prm  17309  317prm  17310  631prm  17311  1259prm  17320  mcubic  27181  cubic2  27182  cubic  27183  quartlem1  27191  quartlem2  27192  log2ublem1  27280  log2ublem2  27281  log2ub  27283  lgsdir2lem3  27660  lngndx  28906  lngid  28908  slotslnbpsd  28910  lngndxnitvndx  28911  eengstr  29564  ex-xp  31043  ex-mod  31056  ex-prmo  31066  hgt750lem2  35328  60gcd7e1  43149  60lcm7e420  43154  lcm7un  43163  lcmineqlem  43196  3lexlogpow5ineq2  43199  3lexlogpow2ineq1  43202  3lexlogpow2ineq2  43203  7ne0  43421  rmydioph  44115  expdiophlem2  44123  257prm  48740  fmtno5nprm  48762  139prmALT  48775  127prm  48778  8exp8mod9  48928  nnsum3primesle9  48986  bgoldbtbndlem1  48997  tgoldbach  49009