Theorem 7nn 12208

Description: 7 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
7nn	⊢ 7 ∈ ℕ

Proof of Theorem 7nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-7 12184	. 2 ⊢ 7 = (6 + 1)
2		6nn 12205	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
3		peano2nn 12128	. . 3 ⊢ (6 ∈ ℕ → (6 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (6 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2824	1 ⊢ 7 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7340  1c1 10998   + caddc 11000  ℕcn 12116  6c6 12175  7c7 12176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-1cn 11055

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7343  df-om 7791  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184

This theorem is referenced by:  8nn  12211  7nn0  12394  7prm  17009  17prm  17015  prmlem2  17018  37prm  17019  43prm  17020  83prm  17021  139prm  17022  163prm  17023  317prm  17024  631prm  17025  1259prm  17034  mcubic  26738  cubic2  26739  cubic  26740  quartlem1  26748  quartlem2  26749  log2ublem1  26837  log2ublem2  26838  log2ub  26840  lgsdir2lem3  27219  lngndx  28370  lngid  28372  slotslnbpsd  28374  lngndxnitvndx  28375  eengstr  28912  ex-xp  30367  ex-mod  30380  ex-prmo  30390  hgt750lem2  34633  60gcd7e1  41995  60lcm7e420  42000  lcm7un  42009  lcmineqlem  42042  3lexlogpow5ineq2  42045  3lexlogpow2ineq1  42048  3lexlogpow2ineq2  42049  7ne0  42252  rmydioph  43004  expdiophlem2  43012  257prm  47559  fmtno5nprm  47581  139prmALT  47594  127prm  47597  8exp8mod9  47734  nnsum3primesle9  47792  bgoldbtbndlem1  47803  tgoldbach  47815