Theorem 7nn 12344

Description: 7 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
7nn	⊢ 7 ∈ ℕ

Proof of Theorem 7nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-7 12319	. 2 ⊢ 7 = (6 + 1)
2		6nn 12341	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
3		peano2nn 12256	. . 3 ⊢ (6 ∈ ℕ → (6 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (6 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2861	1 ⊢ 7 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  1c1 11112   + caddc 11114  ℕcn 12244  6c6 12310  7c7 12311

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-1cn 11169

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319

This theorem is used by:  8nn  12347  7pos  12366  7nn0  12537  7prm  17187  17prm  17194  prmlem2  17197  37prm  17198  43prm  17199  83prm  17200  139prm  17201  163prm  17202  317prm  17203  631prm  17204  1259prm  17213  mcubic  27041  cubic2  27042  cubic  27043  quartlem1  27051  quartlem2  27052  log2ublem1  27140  log2ublem2  27141  log2ub  27143  lgsdir2lem3  27520  lngndx  28736  lngid  28738  slotslnbpsd  28740  lngndxnitvndx  28741  eengstr  29359  ex-xp  30816  ex-mod  30829  ex-prmo  30839  hgt750lem2  35063  60gcd7e1  42805  60lcm7e420  42810  lcm7un  42819  lcmineqlem  42852  3lexlogpow5ineq2  42855  3lexlogpow2ineq1  42858  3lexlogpow2ineq2  42859  7ne0  43062  rmydioph  43774  expdiophlem2  43782  257prm  48346  fmtno5nprm  48368  139prmALT  48381  127prm  48384  8exp8mod9  48534  nnsum3primesle9  48592  bgoldbtbndlem1  48603  tgoldbach  48615