Theorem 7nn 12065

Description: 7 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
7nn	⊢ 7 ∈ ℕ

Proof of Theorem 7nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-7 12041	. 2 ⊢ 7 = (6 + 1)
2		6nn 12062	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
3		peano2nn 11985	. . 3 ⊢ (6 ∈ ℕ → (6 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (6 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2837	1 ⊢ 7 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7271  1c1 10873   + caddc 10875  ℕcn 11973  6c6 12032  7c7 12033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-1cn 10930

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7274  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041

This theorem is referenced by:  8nn  12068  7nn0  12255  7prm  16810  17prm  16816  prmlem2  16819  37prm  16820  43prm  16821  83prm  16822  139prm  16823  163prm  16824  317prm  16825  631prm  16826  1259prm  16835  mcubic  25995  cubic2  25996  cubic  25997  quartlem1  26005  quartlem2  26006  log2ublem1  26094  log2ublem2  26095  log2ub  26097  lgsdir2lem3  26473  lngndx  26797  lngid  26799  slotslnbpsd  26801  lngndxnitvndx  26802  ttgvalOLD  27235  ttglemOLD  27237  eengstr  27346  ex-xp  28796  ex-mod  28809  ex-prmo  28819  hgt750lem2  32628  60gcd7e1  40010  60lcm7e420  40015  lcm7un  40024  lcmineqlem  40057  3lexlogpow5ineq2  40060  3lexlogpow2ineq1  40063  3lexlogpow2ineq2  40064  rmydioph  40833  expdiophlem2  40841  257prm  44982  fmtno5nprm  45004  139prmALT  45017  127prm  45020  8exp8mod9  45157  nnsum3primesle9  45215  bgoldbtbndlem1  45226  tgoldbach  45238