Theorem 7nn 12385

Description: 7 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
7nn	⊢ 7 ∈ ℕ

Proof of Theorem 7nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-7 12361	. 2 ⊢ 7 = (6 + 1)
2		6nn 12382	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
3		peano2nn 12305	. . 3 ⊢ (6 ∈ ℕ → (6 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (6 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2840	1 ⊢ 7 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  1c1 11185   + caddc 11187  ℕcn 12293  6c6 12352  7c7 12353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-1cn 11242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361

This theorem is referenced by:  8nn  12388  7nn0  12575  7prm  17158  17prm  17164  prmlem2  17167  37prm  17168  43prm  17169  83prm  17170  139prm  17171  163prm  17172  317prm  17173  631prm  17174  1259prm  17183  mcubic  26908  cubic2  26909  cubic  26910  quartlem1  26918  quartlem2  26919  log2ublem1  27007  log2ublem2  27008  log2ub  27010  lgsdir2lem3  27389  lngndx  28464  lngid  28466  slotslnbpsd  28468  lngndxnitvndx  28469  ttgvalOLD  28902  ttglemOLD  28904  eengstr  29013  ex-xp  30468  ex-mod  30481  ex-prmo  30491  hgt750lem2  34629  60gcd7e1  41962  60lcm7e420  41967  lcm7un  41976  lcmineqlem  42009  3lexlogpow5ineq2  42012  3lexlogpow2ineq1  42015  3lexlogpow2ineq2  42016  rmydioph  42971  expdiophlem2  42979  257prm  47435  fmtno5nprm  47457  139prmALT  47470  127prm  47473  8exp8mod9  47610  nnsum3primesle9  47668  bgoldbtbndlem1  47679  tgoldbach  47691