Theorem 7nn 12228

Description: 7 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
7nn	⊢ 7 ∈ ℕ

Proof of Theorem 7nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-7 12204	. 2 ⊢ 7 = (6 + 1)
2		6nn 12225	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
3		peano2nn 12148	. . 3 ⊢ (6 ∈ ℕ → (6 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (6 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2829	1 ⊢ 7 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  1c1 11018   + caddc 11020  ℕcn 12136  6c6 12195  7c7 12196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-1cn 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204

This theorem is referenced by:  8nn  12231  7nn0  12414  7prm  17029  17prm  17035  prmlem2  17038  37prm  17039  43prm  17040  83prm  17041  139prm  17042  163prm  17043  317prm  17044  631prm  17045  1259prm  17054  mcubic  26804  cubic2  26805  cubic  26806  quartlem1  26814  quartlem2  26815  log2ublem1  26903  log2ublem2  26904  log2ub  26906  lgsdir2lem3  27285  lngndx  28436  lngid  28438  slotslnbpsd  28440  lngndxnitvndx  28441  eengstr  28979  ex-xp  30437  ex-mod  30450  ex-prmo  30460  hgt750lem2  34737  60gcd7e1  42171  60lcm7e420  42176  lcm7un  42185  lcmineqlem  42218  3lexlogpow5ineq2  42221  3lexlogpow2ineq1  42224  3lexlogpow2ineq2  42225  7ne0  42432  rmydioph  43171  expdiophlem2  43179  257prm  47723  fmtno5nprm  47745  139prmALT  47758  127prm  47761  8exp8mod9  47898  nnsum3primesle9  47956  bgoldbtbndlem1  47967  tgoldbach  47979