Theorem 7nn 12249

Description: 7 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
7nn	⊢ 7 ∈ ℕ

Proof of Theorem 7nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-7 12225	. 2 ⊢ 7 = (6 + 1)
2		6nn 12246	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
3		peano2nn 12169	. . 3 ⊢ (6 ∈ ℕ → (6 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (6 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2833	1 ⊢ 7 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  1c1 11039   + caddc 11041  ℕcn 12157  6c6 12216  7c7 12217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-1cn 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225

This theorem is referenced by:  8nn  12252  7nn0  12435  7prm  17050  17prm  17056  prmlem2  17059  37prm  17060  43prm  17061  83prm  17062  139prm  17063  163prm  17064  317prm  17065  631prm  17066  1259prm  17075  mcubic  26825  cubic2  26826  cubic  26827  quartlem1  26835  quartlem2  26836  log2ublem1  26924  log2ublem2  26925  log2ub  26927  lgsdir2lem3  27306  lngndx  28522  lngid  28524  slotslnbpsd  28526  lngndxnitvndx  28527  eengstr  29065  ex-xp  30523  ex-mod  30536  ex-prmo  30546  hgt750lem2  34829  60gcd7e1  42372  60lcm7e420  42377  lcm7un  42386  lcmineqlem  42419  3lexlogpow5ineq2  42422  3lexlogpow2ineq1  42425  3lexlogpow2ineq2  42426  7ne0  42629  rmydioph  43368  expdiophlem2  43376  257prm  47918  fmtno5nprm  47940  139prmALT  47953  127prm  47956  8exp8mod9  48093  nnsum3primesle9  48151  bgoldbtbndlem1  48162  tgoldbach  48174