Theorem 7nn 12334

Description: 7 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
7nn	⊢ 7 ∈ ℕ

Proof of Theorem 7nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-7 12309	. 2 ⊢ 7 = (6 + 1)
2		6nn 12331	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
3		peano2nn 12246	. . 3 ⊢ (6 ∈ ℕ → (6 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (6 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2859	1 ⊢ 7 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  1c1 11102   + caddc 11104  ℕcn 12234  6c6 12300  7c7 12301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-1cn 11159

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309

This theorem is referenced by:  8nn  12337  7pos  12356  7nn0  12527  7prm  17171  17prm  17178  prmlem2  17181  37prm  17182  43prm  17183  83prm  17184  139prm  17185  163prm  17186  317prm  17187  631prm  17188  1259prm  17197  mcubic  26993  cubic2  26994  cubic  26995  quartlem1  27003  quartlem2  27004  log2ublem1  27092  log2ublem2  27093  log2ub  27095  lgsdir2lem3  27472  lngndx  28688  lngid  28690  slotslnbpsd  28692  lngndxnitvndx  28693  eengstr  29311  ex-xp  30768  ex-mod  30781  ex-prmo  30791  hgt750lem2  35020  60gcd7e1  42753  60lcm7e420  42758  lcm7un  42767  lcmineqlem  42800  3lexlogpow5ineq2  42803  3lexlogpow2ineq1  42806  3lexlogpow2ineq2  42807  7ne0  43010  rmydioph  43724  expdiophlem2  43732  257prm  48296  fmtno5nprm  48318  139prmALT  48331  127prm  48334  8exp8mod9  48484  nnsum3primesle9  48542  bgoldbtbndlem1  48553  tgoldbach  48565