Theorem 7nn 12330

Description: 7 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
7nn	⊢ 7 ∈ ℕ

Proof of Theorem 7nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-7 12306	. 2 ⊢ 7 = (6 + 1)
2		6nn 12327	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
3		peano2nn 12250	. . 3 ⊢ (6 ∈ ℕ → (6 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (6 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2830	1 ⊢ 7 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7403  1c1 11128   + caddc 11130  ℕcn 12238  6c6 12297  7c7 12298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-1cn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306

This theorem is referenced by:  8nn  12333  7nn0  12521  7prm  17128  17prm  17134  prmlem2  17137  37prm  17138  43prm  17139  83prm  17140  139prm  17141  163prm  17142  317prm  17143  631prm  17144  1259prm  17153  mcubic  26807  cubic2  26808  cubic  26809  quartlem1  26817  quartlem2  26818  log2ublem1  26906  log2ublem2  26907  log2ub  26909  lgsdir2lem3  27288  lngndx  28363  lngid  28365  slotslnbpsd  28367  lngndxnitvndx  28368  eengstr  28905  ex-xp  30363  ex-mod  30376  ex-prmo  30386  hgt750lem2  34630  60gcd7e1  41964  60lcm7e420  41969  lcm7un  41978  lcmineqlem  42011  3lexlogpow5ineq2  42014  3lexlogpow2ineq1  42017  3lexlogpow2ineq2  42018  7ne0  42259  rmydioph  42985  expdiophlem2  42993  257prm  47523  fmtno5nprm  47545  139prmALT  47558  127prm  47561  8exp8mod9  47698  nnsum3primesle9  47756  bgoldbtbndlem1  47767  tgoldbach  47779