Theorem 7nn 12278

Description: 7 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
7nn	⊢ 7 ∈ ℕ

Proof of Theorem 7nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-7 12254	. 2 ⊢ 7 = (6 + 1)
2		6nn 12275	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
3		peano2nn 12198	. . 3 ⊢ (6 ∈ ℕ → (6 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (6 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2824	1 ⊢ 7 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  1c1 11069   + caddc 11071  ℕcn 12186  6c6 12245  7c7 12246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-1cn 11126

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254

This theorem is referenced by:  8nn  12281  7nn0  12464  7prm  17081  17prm  17087  prmlem2  17090  37prm  17091  43prm  17092  83prm  17093  139prm  17094  163prm  17095  317prm  17096  631prm  17097  1259prm  17106  mcubic  26757  cubic2  26758  cubic  26759  quartlem1  26767  quartlem2  26768  log2ublem1  26856  log2ublem2  26857  log2ub  26859  lgsdir2lem3  27238  lngndx  28365  lngid  28367  slotslnbpsd  28369  lngndxnitvndx  28370  eengstr  28907  ex-xp  30365  ex-mod  30378  ex-prmo  30388  hgt750lem2  34643  60gcd7e1  41993  60lcm7e420  41998  lcm7un  42007  lcmineqlem  42040  3lexlogpow5ineq2  42043  3lexlogpow2ineq1  42046  3lexlogpow2ineq2  42047  7ne0  42250  rmydioph  43003  expdiophlem2  43011  257prm  47562  fmtno5nprm  47584  139prmALT  47597  127prm  47600  8exp8mod9  47737  nnsum3primesle9  47795  bgoldbtbndlem1  47806  tgoldbach  47818