Theorem 7nn 12074

Description: 7 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
7nn	⊢ 7 ∈ ℕ

Proof of Theorem 7nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-7 12050	. 2 ⊢ 7 = (6 + 1)
2		6nn 12071	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
3		peano2nn 11994	. . 3 ⊢ (6 ∈ ℕ → (6 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (6 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2836	1 ⊢ 7 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7284  1c1 10881   + caddc 10883  ℕcn 11982  6c6 12041  7c7 12042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-1cn 10938

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-ov 7287  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050

This theorem is referenced by:  8nn  12077  7nn0  12264  7prm  16821  17prm  16827  prmlem2  16830  37prm  16831  43prm  16832  83prm  16833  139prm  16834  163prm  16835  317prm  16836  631prm  16837  1259prm  16846  mcubic  26006  cubic2  26007  cubic  26008  quartlem1  26016  quartlem2  26017  log2ublem1  26105  log2ublem2  26106  log2ub  26108  lgsdir2lem3  26484  lngndx  26808  lngid  26810  slotslnbpsd  26812  lngndxnitvndx  26813  ttgvalOLD  27246  ttglemOLD  27248  eengstr  27357  ex-xp  28809  ex-mod  28822  ex-prmo  28832  hgt750lem2  32641  60gcd7e1  40020  60lcm7e420  40025  lcm7un  40034  lcmineqlem  40067  3lexlogpow5ineq2  40070  3lexlogpow2ineq1  40073  3lexlogpow2ineq2  40074  rmydioph  40843  expdiophlem2  40851  257prm  45024  fmtno5nprm  45046  139prmALT  45059  127prm  45062  8exp8mod9  45199  nnsum3primesle9  45257  bgoldbtbndlem1  45268  tgoldbach  45280