Theorem 7nn 12238

Description: 7 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
7nn	⊢ 7 ∈ ℕ

Proof of Theorem 7nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-7 12214	. 2 ⊢ 7 = (6 + 1)
2		6nn 12235	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
3		peano2nn 12158	. . 3 ⊢ (6 ∈ ℕ → (6 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (6 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2824	1 ⊢ 7 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  1c1 11029   + caddc 11031  ℕcn 12146  6c6 12205  7c7 12206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-1cn 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214

This theorem is referenced by:  8nn  12241  7nn0  12424  7prm  17040  17prm  17046  prmlem2  17049  37prm  17050  43prm  17051  83prm  17052  139prm  17053  163prm  17054  317prm  17055  631prm  17056  1259prm  17065  mcubic  26773  cubic2  26774  cubic  26775  quartlem1  26783  quartlem2  26784  log2ublem1  26872  log2ublem2  26873  log2ub  26875  lgsdir2lem3  27254  lngndx  28401  lngid  28403  slotslnbpsd  28405  lngndxnitvndx  28406  eengstr  28943  ex-xp  30398  ex-mod  30411  ex-prmo  30421  hgt750lem2  34622  60gcd7e1  41981  60lcm7e420  41986  lcm7un  41995  lcmineqlem  42028  3lexlogpow5ineq2  42031  3lexlogpow2ineq1  42034  3lexlogpow2ineq2  42035  7ne0  42238  rmydioph  42990  expdiophlem2  42998  257prm  47549  fmtno5nprm  47571  139prmALT  47584  127prm  47587  8exp8mod9  47724  nnsum3primesle9  47782  bgoldbtbndlem1  47793  tgoldbach  47805