Theorem 7nn 12329

Description: 7 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
7nn	⊢ 7 ∈ ℕ

Proof of Theorem 7nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-7 12304	. 2 ⊢ 7 = (6 + 1)
2		6nn 12326	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
3		peano2nn 12241	. . 3 ⊢ (6 ∈ ℕ → (6 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (6 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2865	1 ⊢ 7 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  1c1 11097   + caddc 11099  ℕcn 12229  6c6 12295  7c7 12296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-1cn 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304

This theorem is referenced by:  8nn  12332  7pos  12351  7nn0  12522  7prm  17166  17prm  17173  prmlem2  17176  37prm  17177  43prm  17178  83prm  17179  139prm  17180  163prm  17181  317prm  17182  631prm  17183  1259prm  17192  mcubic  26974  cubic2  26975  cubic  26976  quartlem1  26984  quartlem2  26985  log2ublem1  27073  log2ublem2  27074  log2ub  27076  lgsdir2lem3  27453  lngndx  28669  lngid  28671  slotslnbpsd  28673  lngndxnitvndx  28674  eengstr  29267  ex-xp  30724  ex-mod  30737  ex-prmo  30747  hgt750lem2  34980  60gcd7e1  42657  60lcm7e420  42662  lcm7un  42671  lcmineqlem  42704  3lexlogpow5ineq2  42707  3lexlogpow2ineq1  42710  3lexlogpow2ineq2  42711  7ne0  42912  rmydioph  43626  expdiophlem2  43634  257prm  48195  fmtno5nprm  48217  139prmALT  48230  127prm  48233  8exp8mod9  48383  nnsum3primesle9  48441  bgoldbtbndlem1  48452  tgoldbach  48464