Theorem 5nn 12350

Description: 5 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
5nn	⊢ 5 ∈ ℕ

Proof of Theorem 5nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12330	. 2 ⊢ 5 = (4 + 1)
2		4nn 12347	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		peano2nn 12276	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ → (4 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2822	1 ⊢ 5 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7424  1c1 11159   + caddc 11161  ℕcn 12264  4c4 12321  5c5 12322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-1cn 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330

This theorem is referenced by:  6nn  12353  5nn0  12544  prm23ge5  16817  dec5dvds  17066  dec5nprm  17068  dec2nprm  17069  5prm  17111  10nprm  17116  23prm  17121  prmlem2  17122  43prm  17124  83prm  17125  317prm  17128  prmo5  17131  scandx  17328  scaid  17329  lmodstr  17339  ipsstr  17350  ccondx  17427  ccoid  17428  slotsbhcdif  17429  slotsbhcdifOLD  17430  slotsdifplendx2  17431  slotsdifocndx  17432  prdsvalstr  17467  oppchomfvalOLD  17728  oppcbasOLD  17733  resccoOLD  17850  catstr  17981  lt6abl  19893  mgpscaOLD  20126  psrvalstr  21913  opsrscaOLD  22067  tngscaOLD  24650  log2ublem1  26974  log2ublem2  26975  log2ub  26977  birthday  26982  ppiublem1  27231  ppiublem2  27232  ppiub  27233  bclbnd  27309  bposlem3  27315  bposlem4  27316  bposlem5  27317  bposlem6  27318  bposlem8  27320  bposlem9  27321  lgsdir2lem3  27356  ex-eprel  30366  ex-xp  30369  fib6  34240  hgt750lem2  34498  hgt750leme  34504  12gcd5e1  41702  12lcm5e60  41707  lcm5un  41716  lcmineqlem  41751  3lexlogpow5ineq1  41753  3lexlogpow2ineq1  41757  3lexlogpow2ineq2  41758  3lexlogpow5ineq5  41759  aks4d1p1p6  41772  aks4d1p1  41775  rmydioph  42672  expdiophlem2  42680  algstr  42838  inductionexd  43822  mnringscadOLD  43897  257prm  47133  fmtno4prmfac193  47145  31prm  47169  41prothprm  47191  gbowge7  47335  gbege6  47337  stgoldbwt  47348  sbgoldbwt  47349  sbgoldbm  47356  sbgoldbo  47359  nnsum3primesle9  47366  prstclevalOLD  48390  prstcocvalOLD  48393