Theorem 5nn 12262

Description: 5 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
5nn	⊢ 5 ∈ ℕ

Proof of Theorem 5nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12242	. 2 ⊢ 5 = (4 + 1)
2		4nn 12259	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		peano2nn 12181	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ → (4 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2837	1 ⊢ 5 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2121  (class class class)co 7359  1c1 11035   + caddc 11037  ℕcn 12169  4c4 12233  5c5 12234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-1cn 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7362  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242

This theorem is referenced by:  6nn  12265  5nn0  12452  5eluz3  12828  5ndvds3  16377  5ndvds6  16378  prm23ge5  16781  dec5dvds  17030  dec5nprm  17032  dec2nprm  17033  5prm  17074  10nprm  17079  23prm  17084  prmlem2  17085  43prm  17087  83prm  17088  317prm  17091  prmo5  17094  scandx  17272  scaid  17273  lmodstr  17283  ipsstr  17294  ccondx  17371  ccoid  17372  slotsbhcdif  17373  slotsdifplendx2  17374  slotsdifocndx  17375  prdsvalstr  17410  catstr  17922  lt6abl  19864  psrvalstr  21894  log2ublem1  26931  log2ublem2  26932  log2ub  26934  birthday  26939  ppiublem1  27186  ppiublem2  27187  ppiub  27188  bclbnd  27264  bposlem3  27270  bposlem4  27271  bposlem5  27272  bposlem6  27273  bposlem8  27275  bposlem9  27276  lgsdir2lem3  27311  ex-eprel  30523  ex-xp  30526  fib6  34600  hgt750lem2  34846  hgt750leme  34852  12gcd5e1  42501  12lcm5e60  42506  lcm5un  42515  lcmineqlem  42550  3lexlogpow5ineq1  42552  3lexlogpow2ineq1  42556  3lexlogpow2ineq2  42557  3lexlogpow5ineq5  42558  aks4d1p1p6  42571  aks4d1p1  42574  5ne0  42756  rmydioph  43472  expdiophlem2  43480  algstr  43631  inductionexd  44612  goldratmolem2  47361  plusmod5ne  47826  minusmod5ne  47830  minusmodnep2tmod  47834  8mod5e3  47841  257prm  48051  fmtno4prmfac193  48063  31prm  48087  41prothprm  48109  gbowge7  48266  gbege6  48268  stgoldbwt  48279  sbgoldbwt  48280  sbgoldbm  48287  sbgoldbo  48290  nnsum3primesle9  48297  gpg5order  48563  gpg5nbgrvtx13starlem1  48574  gpg5nbgrvtx13starlem2  48575  gpg5nbgrvtx13starlem3  48576  gpg5nbgr3star  48584  gpg5grlim  48596  pgnioedg1  48611  pgnioedg2  48612  pgnioedg3  48613  pgnioedg4  48614  pgnbgreunbgrlem1  48616  pgnbgreunbgrlem2lem1  48617  pgnbgreunbgrlem2lem2  48618  pgnbgreunbgrlem2lem3  48619  pgnbgreunbgrlem4  48622  gpg5edgnedg  48633  grlimedgnedg  48634