Theorem 5nn 12248

Description: 5 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
5nn	⊢ 5 ∈ ℕ

Proof of Theorem 5nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12228	. 2 ⊢ 5 = (4 + 1)
2		4nn 12245	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		peano2nn 12174	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ → (4 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2824	1 ⊢ 5 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  1c1 11045   + caddc 11047  ℕcn 12162  4c4 12219  5c5 12220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-1cn 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228

This theorem is referenced by:  6nn  12251  5nn0  12438  5eluz3  12818  5ndvds3  16359  5ndvds6  16360  prm23ge5  16762  dec5dvds  17011  dec5nprm  17013  dec2nprm  17014  5prm  17055  10nprm  17060  23prm  17065  prmlem2  17066  43prm  17068  83prm  17069  317prm  17072  prmo5  17075  scandx  17253  scaid  17254  lmodstr  17264  ipsstr  17275  ccondx  17352  ccoid  17353  slotsbhcdif  17354  slotsdifplendx2  17355  slotsdifocndx  17356  prdsvalstr  17391  catstr  17898  lt6abl  19801  psrvalstr  21801  log2ublem1  26832  log2ublem2  26833  log2ub  26835  birthday  26840  ppiublem1  27089  ppiublem2  27090  ppiub  27091  bclbnd  27167  bposlem3  27173  bposlem4  27174  bposlem5  27175  bposlem6  27176  bposlem8  27178  bposlem9  27179  lgsdir2lem3  27214  ex-eprel  30335  ex-xp  30338  fib6  34370  hgt750lem2  34616  hgt750leme  34622  12gcd5e1  41964  12lcm5e60  41969  lcm5un  41978  lcmineqlem  42013  3lexlogpow5ineq1  42015  3lexlogpow2ineq1  42019  3lexlogpow2ineq2  42020  3lexlogpow5ineq5  42021  aks4d1p1p6  42034  aks4d1p1  42037  5ne0  42221  rmydioph  42976  expdiophlem2  42984  algstr  43135  inductionexd  44117  plusmod5ne  47319  minusmod5ne  47323  minusmodnep2tmod  47327  8mod5e3  47334  257prm  47535  fmtno4prmfac193  47547  31prm  47571  41prothprm  47593  gbowge7  47737  gbege6  47739  stgoldbwt  47750  sbgoldbwt  47751  sbgoldbm  47758  sbgoldbo  47761  nnsum3primesle9  47768  gpg5order  48024  gpg5nbgrvtx13starlem1  48035  gpg5nbgrvtx13starlem2  48036  gpg5nbgrvtx13starlem3  48037  gpg5nbgr3star  48045  pgnioedg1  48071  pgnioedg2  48072  pgnioedg3  48073  pgnioedg4  48074  pgnbgreunbgrlem1  48076  pgnbgreunbgrlem2lem1  48077  pgnbgreunbgrlem2lem2  48078  pgnbgreunbgrlem2lem3  48079  pgnbgreunbgrlem4  48082