Theorem 5nn 12379

Description: 5 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
5nn	⊢ 5 ∈ ℕ

Proof of Theorem 5nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12359	. 2 ⊢ 5 = (4 + 1)
2		4nn 12376	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		peano2nn 12305	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ → (4 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2840	1 ⊢ 5 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  1c1 11185   + caddc 11187  ℕcn 12293  4c4 12350  5c5 12351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-1cn 11242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359

This theorem is referenced by:  6nn  12382  5nn0  12573  prm23ge5  16862  dec5dvds  17111  dec5nprm  17113  dec2nprm  17114  5prm  17156  10nprm  17161  23prm  17166  prmlem2  17167  43prm  17169  83prm  17170  317prm  17173  prmo5  17176  scandx  17373  scaid  17374  lmodstr  17384  ipsstr  17395  ccondx  17472  ccoid  17473  slotsbhcdif  17474  slotsbhcdifOLD  17475  slotsdifplendx2  17476  slotsdifocndx  17477  prdsvalstr  17512  oppchomfvalOLD  17773  oppcbasOLD  17778  resccoOLD  17895  catstr  18026  lt6abl  19937  mgpscaOLD  20170  psrvalstr  21959  opsrscaOLD  22101  tngscaOLD  24684  log2ublem1  27007  log2ublem2  27008  log2ub  27010  birthday  27015  ppiublem1  27264  ppiublem2  27265  ppiub  27266  bclbnd  27342  bposlem3  27348  bposlem4  27349  bposlem5  27350  bposlem6  27351  bposlem8  27353  bposlem9  27354  lgsdir2lem3  27389  ex-eprel  30465  ex-xp  30468  fib6  34371  hgt750lem2  34629  hgt750leme  34635  12gcd5e1  41960  12lcm5e60  41965  lcm5un  41974  lcmineqlem  42009  3lexlogpow5ineq1  42011  3lexlogpow2ineq1  42015  3lexlogpow2ineq2  42016  3lexlogpow5ineq5  42017  aks4d1p1p6  42030  aks4d1p1  42033  rmydioph  42971  expdiophlem2  42979  algstr  43134  inductionexd  44117  mnringscadOLD  44192  257prm  47435  fmtno4prmfac193  47447  31prm  47471  41prothprm  47493  gbowge7  47637  gbege6  47639  stgoldbwt  47650  sbgoldbwt  47651  sbgoldbm  47658  sbgoldbo  47661  nnsum3primesle9  47668  prstclevalOLD  48736  prstcocvalOLD  48739