Theorem 5nn 12469

Description: 5 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
5nn	⊢ 5 ∈ ℕ

Proof of Theorem 5nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12448	. 2 ⊢ 5 = (4 + 1)
2		4nn 12466	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		peano2nn 12387	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ → (4 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2860	1 ⊢ 5 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  1c1 11240   + caddc 11242  ℕcn 12375  4c4 12439  5c5 12440

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-1cn 11297

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448

This theorem is used by:  6nn  12472  5pos  12495  5nn0  12666  5eluz3  13050  5ndvds3  16627  5ndvds6  16628  prm23ge5  17037  dec5dvds  17286  dec5nprm  17288  dec2nprm  17289  5prm  17330  10nprmOLD  17336  23prm  17341  prmlem2  17342  43prm  17344  83prm  17345  317prm  17348  prmo5  17351  scandx  17531  scaid  17532  lmodstr  17542  ipsstr  17553  ccondx  17630  ccoid  17631  slotsbhcdif  17636  slotsdifplendx2  17637  slotsdifocndx  17638  prdsvalstr  17673  catstr  18185  lt6abl  20160  psrvalstr  22279  log2ublem1  27331  log2ublem2  27332  log2ub  27334  birthday  27339  ppiublem1  27586  ppiublem2  27587  ppiub  27588  bclbnd  27664  bposlem3  27670  bposlem4  27671  bposlem5  27672  bposlem6  27673  bposlem8  27675  bposlem9  27676  lgsdir2lem3  27711  ex-eprel  31091  ex-xp  31094  fib6  35149  hgt750lem2  35392  hgt750leme  35398  12gcd5e1  43319  12lcm5e60  43324  lcm5un  43333  lcmineqlem  43368  3lexlogpow5ineq1  43370  3lexlogpow2ineq1  43374  3lexlogpow2ineq2  43375  3lexlogpow5ineq5  43376  aks4d1p1p6  43389  aks4d1p1  43392  5ne0  43591  rmydioph  44287  expdiophlem2  44295  algstr  44436  inductionexd  45416  goldratmolem2  48206  plusmod5ne  48694  minusmod5ne  48698  minusmodnep2tmod  48702  8mod5e3  48709  257prm  48919  fmtno4prmfac193  48931  31prm  48955  41prothprm  48977  gbowge7  49134  gbege6  49136  stgoldbwt  49147  sbgoldbwt  49148  sbgoldbm  49155  sbgoldbo  49158  nnsum3primesle9  49165  gpg5order  49431  gpg5nbgrvtx13starlem1  49442  gpg5nbgrvtx13starlem2  49443  gpg5nbgrvtx13starlem3  49444  gpg5nbgr3star  49452  gpg5grlim  49464  pgnioedg1  49479  pgnioedg2  49480  pgnioedg3  49481  pgnioedg4  49482  pgnbgreunbgrlem1  49484  pgnbgreunbgrlem2lem1  49485  pgnbgreunbgrlem2lem2  49486  pgnbgreunbgrlem2lem3  49487  pgnbgreunbgrlem4  49490  gpg5edgnedg  49501  grlimedgnedg  49502  veronesev5lem  51405  veronesevrowd  51407  veroquadgsumlem  51411