Theorem 5nn 12258

Description: 5 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
5nn	⊢ 5 ∈ ℕ

Proof of Theorem 5nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12238	. 2 ⊢ 5 = (4 + 1)
2		4nn 12255	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		peano2nn 12177	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ → (4 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2835	1 ⊢ 5 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  1c1 11030   + caddc 11032  ℕcn 12165  4c4 12229  5c5 12230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-1cn 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238

This theorem is referenced by:  6nn  12261  5nn0  12448  5eluz3  12824  5ndvds3  16373  5ndvds6  16374  prm23ge5  16777  dec5dvds  17026  dec5nprm  17028  dec2nprm  17029  5prm  17070  10nprm  17075  23prm  17080  prmlem2  17081  43prm  17083  83prm  17084  317prm  17087  prmo5  17090  scandx  17268  scaid  17269  lmodstr  17279  ipsstr  17290  ccondx  17367  ccoid  17368  slotsbhcdif  17369  slotsdifplendx2  17370  slotsdifocndx  17371  prdsvalstr  17406  catstr  17918  lt6abl  19861  psrvalstr  21891  log2ublem1  26928  log2ublem2  26929  log2ub  26931  birthday  26936  ppiublem1  27183  ppiublem2  27184  ppiub  27185  bclbnd  27261  bposlem3  27267  bposlem4  27268  bposlem5  27269  bposlem6  27270  bposlem8  27272  bposlem9  27273  lgsdir2lem3  27308  ex-eprel  30521  ex-xp  30524  fib6  34590  hgt750lem2  34836  hgt750leme  34842  12gcd5e1  42488  12lcm5e60  42493  lcm5un  42502  lcmineqlem  42537  3lexlogpow5ineq1  42539  3lexlogpow2ineq1  42543  3lexlogpow2ineq2  42544  3lexlogpow5ineq5  42545  aks4d1p1p6  42558  aks4d1p1  42561  5ne0  42743  rmydioph  43459  expdiophlem2  43467  algstr  43618  inductionexd  44599  goldratmolem2  47349  plusmod5ne  47814  minusmod5ne  47818  minusmodnep2tmod  47822  8mod5e3  47829  257prm  48039  fmtno4prmfac193  48051  31prm  48075  41prothprm  48097  gbowge7  48254  gbege6  48256  stgoldbwt  48267  sbgoldbwt  48268  sbgoldbm  48275  sbgoldbo  48278  nnsum3primesle9  48285  gpg5order  48551  gpg5nbgrvtx13starlem1  48562  gpg5nbgrvtx13starlem2  48563  gpg5nbgrvtx13starlem3  48564  gpg5nbgr3star  48572  gpg5grlim  48584  pgnioedg1  48599  pgnioedg2  48600  pgnioedg3  48601  pgnioedg4  48602  pgnbgreunbgrlem1  48604  pgnbgreunbgrlem2lem1  48605  pgnbgreunbgrlem2lem2  48606  pgnbgreunbgrlem2lem3  48607  pgnbgreunbgrlem4  48610  gpg5edgnedg  48621  grlimedgnedg  48622