Theorem 5nn 12298

Description: 5 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
5nn	⊢ 5 ∈ ℕ

Proof of Theorem 5nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12278	. 2 ⊢ 5 = (4 + 1)
2		4nn 12295	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		peano2nn 12224	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ → (4 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2830	1 ⊢ 5 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  1c1 11111   + caddc 11113  ℕcn 12212  4c4 12269  5c5 12270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-1cn 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278

This theorem is referenced by:  6nn  12301  5nn0  12492  prm23ge5  16748  dec5dvds  16997  dec5nprm  16999  dec2nprm  17000  5prm  17042  10nprm  17047  23prm  17052  prmlem2  17053  43prm  17055  83prm  17056  317prm  17059  prmo5  17062  scandx  17259  scaid  17260  lmodstr  17270  ipsstr  17281  ccondx  17358  ccoid  17359  slotsbhcdif  17360  slotsbhcdifOLD  17361  slotsdifplendx2  17362  slotsdifocndx  17363  prdsvalstr  17398  oppchomfvalOLD  17659  oppcbasOLD  17664  resccoOLD  17781  catstr  17909  lt6abl  19763  mgpscaOLD  19996  psrvalstr  21469  opsrscaOLD  21615  tngscaOLD  24159  log2ublem1  26451  log2ublem2  26452  log2ub  26454  birthday  26459  ppiublem1  26705  ppiublem2  26706  ppiub  26707  bclbnd  26783  bposlem3  26789  bposlem4  26790  bposlem5  26791  bposlem6  26792  bposlem8  26794  bposlem9  26795  lgsdir2lem3  26830  ex-eprel  29686  ex-xp  29689  fib6  33405  hgt750lem2  33664  hgt750leme  33670  12gcd5e1  40868  12lcm5e60  40873  lcm5un  40882  lcmineqlem  40917  3lexlogpow5ineq1  40919  3lexlogpow2ineq1  40923  3lexlogpow2ineq2  40924  3lexlogpow5ineq5  40925  aks4d1p1p6  40938  aks4d1p1  40941  rmydioph  41753  expdiophlem2  41761  algstr  41919  inductionexd  42906  mnringscadOLD  42982  257prm  46229  fmtno4prmfac193  46241  31prm  46265  41prothprm  46287  gbowge7  46431  gbege6  46433  stgoldbwt  46444  sbgoldbwt  46445  sbgoldbm  46452  sbgoldbo  46455  nnsum3primesle9  46462  prstclevalOLD  47689  prstcocvalOLD  47692