Theorem 5nn 12323

Description: 5 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
5nn	⊢ 5 ∈ ℕ

Proof of Theorem 5nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12302	. 2 ⊢ 5 = (4 + 1)
2		4nn 12320	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		peano2nn 12241	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ → (4 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2865	1 ⊢ 5 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  1c1 11097   + caddc 11099  ℕcn 12229  4c4 12293  5c5 12294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-1cn 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302

This theorem is referenced by:  6nn  12326  5pos  12349  5nn0  12520  5eluz3  12903  5ndvds3  16467  5ndvds6  16468  prm23ge5  16871  dec5dvds  17120  dec5nprm  17122  dec2nprm  17123  5prm  17164  10nprmOLD  17170  23prm  17175  prmlem2  17176  43prm  17178  83prm  17179  317prm  17182  prmo5  17185  scandx  17363  scaid  17364  lmodstr  17374  ipsstr  17385  ccondx  17462  ccoid  17463  slotsbhcdif  17464  slotsdifplendx2  17465  slotsdifocndx  17466  prdsvalstr  17501  catstr  18013  lt6abl  19961  psrvalstr  22031  log2ublem1  27073  log2ublem2  27074  log2ub  27076  birthday  27081  ppiublem1  27328  ppiublem2  27329  ppiub  27330  bclbnd  27406  bposlem3  27412  bposlem4  27413  bposlem5  27414  bposlem6  27415  bposlem8  27417  bposlem9  27418  lgsdir2lem3  27453  ex-eprel  30721  ex-xp  30724  fib6  34737  hgt750lem2  34980  hgt750leme  34986  12gcd5e1  42655  12lcm5e60  42660  lcm5un  42669  lcmineqlem  42704  3lexlogpow5ineq1  42706  3lexlogpow2ineq1  42710  3lexlogpow2ineq2  42711  3lexlogpow5ineq5  42712  aks4d1p1p6  42725  aks4d1p1  42728  5ne0  42910  rmydioph  43626  expdiophlem2  43634  algstr  43785  inductionexd  44766  goldratmolem2  47505  plusmod5ne  47970  minusmod5ne  47974  minusmodnep2tmod  47978  8mod5e3  47985  257prm  48195  fmtno4prmfac193  48207  31prm  48231  41prothprm  48253  gbowge7  48410  gbege6  48412  stgoldbwt  48423  sbgoldbwt  48424  sbgoldbm  48431  sbgoldbo  48434  nnsum3primesle9  48441  gpg5order  48707  gpg5nbgrvtx13starlem1  48718  gpg5nbgrvtx13starlem2  48719  gpg5nbgrvtx13starlem3  48720  gpg5nbgr3star  48728  gpg5grlim  48740  pgnioedg1  48755  pgnioedg2  48756  pgnioedg3  48757  pgnioedg4  48758  pgnbgreunbgrlem1  48760  pgnbgreunbgrlem2lem1  48761  pgnbgreunbgrlem2lem2  48762  pgnbgreunbgrlem2lem3  48763  pgnbgreunbgrlem4  48766  gpg5edgnedg  48777  grlimedgnedg  48778