Theorem 5nn 12422

Description: 5 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
5nn	⊢ 5 ∈ ℕ

Proof of Theorem 5nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12401	. 2 ⊢ 5 = (4 + 1)
2		4nn 12419	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		peano2nn 12340	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ → (4 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2857	1 ⊢ 5 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  1c1 11194   + caddc 11196  ℕcn 12328  4c4 12392  5c5 12393

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-1cn 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401

This theorem is used by:  6nn  12425  5pos  12448  5nn0  12619  5eluz3  13003  5ndvds3  16576  5ndvds6  16577  prm23ge5  16986  dec5dvds  17235  dec5nprm  17237  dec2nprm  17238  5prm  17279  10nprmOLD  17285  23prm  17290  prmlem2  17291  43prm  17293  83prm  17294  317prm  17297  prmo5  17300  scandx  17478  scaid  17479  lmodstr  17489  ipsstr  17500  ccondx  17577  ccoid  17578  slotsbhcdif  17579  slotsdifplendx2  17580  slotsdifocndx  17581  prdsvalstr  17616  catstr  18128  lt6abl  20102  psrvalstr  22217  log2ublem1  27267  log2ublem2  27268  log2ub  27270  birthday  27275  ppiublem1  27522  ppiublem2  27523  ppiub  27524  bclbnd  27600  bposlem3  27606  bposlem4  27607  bposlem5  27608  bposlem6  27609  bposlem8  27611  bposlem9  27612  lgsdir2lem3  27647  ex-eprel  31027  ex-xp  31030  fib6  35031  hgt750lem2  35274  hgt750leme  35280  12gcd5e1  43033  12lcm5e60  43038  lcm5un  43047  lcmineqlem  43082  3lexlogpow5ineq1  43084  3lexlogpow2ineq1  43088  3lexlogpow2ineq2  43089  3lexlogpow5ineq5  43090  aks4d1p1p6  43103  aks4d1p1  43106  5ne0  43305  rmydioph  44000  expdiophlem2  44008  algstr  44159  inductionexd  45140  goldratmolem2  47902  plusmod5ne  48390  minusmod5ne  48394  minusmodnep2tmod  48398  8mod5e3  48405  257prm  48615  fmtno4prmfac193  48627  31prm  48651  41prothprm  48673  gbowge7  48830  gbege6  48832  stgoldbwt  48843  sbgoldbwt  48844  sbgoldbm  48851  sbgoldbo  48854  nnsum3primesle9  48861  gpg5order  49127  gpg5nbgrvtx13starlem1  49138  gpg5nbgrvtx13starlem2  49139  gpg5nbgrvtx13starlem3  49140  gpg5nbgr3star  49148  gpg5grlim  49160  pgnioedg1  49175  pgnioedg2  49176  pgnioedg3  49177  pgnioedg4  49178  pgnbgreunbgrlem1  49180  pgnbgreunbgrlem2lem1  49181  pgnbgreunbgrlem2lem2  49182  pgnbgreunbgrlem2lem3  49183  pgnbgreunbgrlem4  49186  gpg5edgnedg  49197  grlimedgnedg  49198  veronesev5lem  50946  veronesevrowd  50948  veroquadgsumlem  50952