Theorem 5nn 12328

Description: 5 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
5nn	⊢ 5 ∈ ℕ

Proof of Theorem 5nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12307	. 2 ⊢ 5 = (4 + 1)
2		4nn 12325	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		peano2nn 12246	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ → (4 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2859	1 ⊢ 5 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  1c1 11102   + caddc 11104  ℕcn 12234  4c4 12298  5c5 12299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-1cn 11159

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307

This theorem is referenced by:  6nn  12331  5pos  12354  5nn0  12525  5eluz3  12908  5ndvds3  16472  5ndvds6  16473  prm23ge5  16876  dec5dvds  17125  dec5nprm  17127  dec2nprm  17128  5prm  17169  10nprmOLD  17175  23prm  17180  prmlem2  17181  43prm  17183  83prm  17184  317prm  17187  prmo5  17190  scandx  17368  scaid  17369  lmodstr  17379  ipsstr  17390  ccondx  17467  ccoid  17468  slotsbhcdif  17469  slotsdifplendx2  17470  slotsdifocndx  17471  prdsvalstr  17506  catstr  18018  lt6abl  19966  psrvalstr  22047  log2ublem1  27092  log2ublem2  27093  log2ub  27095  birthday  27100  ppiublem1  27347  ppiublem2  27348  ppiub  27349  bclbnd  27425  bposlem3  27431  bposlem4  27432  bposlem5  27433  bposlem6  27434  bposlem8  27436  bposlem9  27437  lgsdir2lem3  27472  ex-eprel  30765  ex-xp  30768  fib6  34777  hgt750lem2  35020  hgt750leme  35026  12gcd5e1  42751  12lcm5e60  42756  lcm5un  42765  lcmineqlem  42800  3lexlogpow5ineq1  42802  3lexlogpow2ineq1  42806  3lexlogpow2ineq2  42807  3lexlogpow5ineq5  42808  aks4d1p1p6  42821  aks4d1p1  42824  5ne0  43008  rmydioph  43724  expdiophlem2  43732  algstr  43883  inductionexd  44864  goldratmolem2  47606  plusmod5ne  48071  minusmod5ne  48075  minusmodnep2tmod  48079  8mod5e3  48086  257prm  48296  fmtno4prmfac193  48308  31prm  48332  41prothprm  48354  gbowge7  48511  gbege6  48513  stgoldbwt  48524  sbgoldbwt  48525  sbgoldbm  48532  sbgoldbo  48535  nnsum3primesle9  48542  gpg5order  48808  gpg5nbgrvtx13starlem1  48819  gpg5nbgrvtx13starlem2  48820  gpg5nbgrvtx13starlem3  48821  gpg5nbgr3star  48829  gpg5grlim  48841  pgnioedg1  48856  pgnioedg2  48857  pgnioedg3  48858  pgnioedg4  48859  pgnbgreunbgrlem1  48861  pgnbgreunbgrlem2lem1  48862  pgnbgreunbgrlem2lem2  48863  pgnbgreunbgrlem2lem3  48864  pgnbgreunbgrlem4  48867  gpg5edgnedg  48878  grlimedgnedg  48879