Theorem 5nn 12231

Description: 5 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
5nn	⊢ 5 ∈ ℕ

Proof of Theorem 5nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12211	. 2 ⊢ 5 = (4 + 1)
2		4nn 12228	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		peano2nn 12157	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ → (4 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2832	1 ⊢ 5 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  1c1 11027   + caddc 11029  ℕcn 12145  4c4 12202  5c5 12203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-1cn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211

This theorem is referenced by:  6nn  12234  5nn0  12421  5eluz3  12796  5ndvds3  16340  5ndvds6  16341  prm23ge5  16743  dec5dvds  16992  dec5nprm  16994  dec2nprm  16995  5prm  17036  10nprm  17041  23prm  17046  prmlem2  17047  43prm  17049  83prm  17050  317prm  17053  prmo5  17056  scandx  17234  scaid  17235  lmodstr  17245  ipsstr  17256  ccondx  17333  ccoid  17334  slotsbhcdif  17335  slotsdifplendx2  17336  slotsdifocndx  17337  prdsvalstr  17372  catstr  17884  lt6abl  19824  psrvalstr  21872  log2ublem1  26912  log2ublem2  26913  log2ub  26915  birthday  26920  ppiublem1  27169  ppiublem2  27170  ppiub  27171  bclbnd  27247  bposlem3  27253  bposlem4  27254  bposlem5  27255  bposlem6  27256  bposlem8  27258  bposlem9  27259  lgsdir2lem3  27294  ex-eprel  30508  ex-xp  30511  fib6  34563  hgt750lem2  34809  hgt750leme  34815  12gcd5e1  42257  12lcm5e60  42262  lcm5un  42271  lcmineqlem  42306  3lexlogpow5ineq1  42308  3lexlogpow2ineq1  42312  3lexlogpow2ineq2  42313  3lexlogpow5ineq5  42314  aks4d1p1p6  42327  aks4d1p1  42330  5ne0  42515  rmydioph  43256  expdiophlem2  43264  algstr  43415  inductionexd  44396  plusmod5ne  47591  minusmod5ne  47595  minusmodnep2tmod  47599  8mod5e3  47606  257prm  47807  fmtno4prmfac193  47819  31prm  47843  41prothprm  47865  gbowge7  48009  gbege6  48011  stgoldbwt  48022  sbgoldbwt  48023  sbgoldbm  48030  sbgoldbo  48033  nnsum3primesle9  48040  gpg5order  48306  gpg5nbgrvtx13starlem1  48317  gpg5nbgrvtx13starlem2  48318  gpg5nbgrvtx13starlem3  48319  gpg5nbgr3star  48327  gpg5grlim  48339  pgnioedg1  48354  pgnioedg2  48355  pgnioedg3  48356  pgnioedg4  48357  pgnbgreunbgrlem1  48359  pgnbgreunbgrlem2lem1  48360  pgnbgreunbgrlem2lem2  48361  pgnbgreunbgrlem2lem3  48362  pgnbgreunbgrlem4  48365  gpg5edgnedg  48376  grlimedgnedg  48377