Theorem 5nn 12351

Description: 5 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
5nn	⊢ 5 ∈ ℕ

Proof of Theorem 5nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12330	. 2 ⊢ 5 = (4 + 1)
2		4nn 12348	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		peano2nn 12269	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ → (4 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2856	1 ⊢ 5 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  1c1 11125   + caddc 11127  ℕcn 12257  4c4 12321  5c5 12322

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-1cn 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330

This theorem is used by:  6nn  12354  5pos  12377  5nn0  12548  5eluz3  12932  5ndvds3  16503  5ndvds6  16504  prm23ge5  16907  dec5dvds  17156  dec5nprm  17158  dec2nprm  17159  5prm  17200  10nprmOLD  17206  23prm  17211  prmlem2  17212  43prm  17214  83prm  17215  317prm  17218  prmo5  17221  scandx  17399  scaid  17400  lmodstr  17410  ipsstr  17421  ccondx  17498  ccoid  17499  slotsbhcdif  17500  slotsdifplendx2  17501  slotsdifocndx  17502  prdsvalstr  17537  catstr  18049  lt6abl  20022  psrvalstr  22131  log2ublem1  27183  log2ublem2  27184  log2ub  27186  birthday  27191  ppiublem1  27438  ppiublem2  27439  ppiub  27440  bclbnd  27516  bposlem3  27522  bposlem4  27523  bposlem5  27524  bposlem6  27525  bposlem8  27527  bposlem9  27528  lgsdir2lem3  27563  ex-eprel  30913  ex-xp  30916  fib6  34917  hgt750lem2  35160  hgt750leme  35166  12gcd5e1  42869  12lcm5e60  42874  lcm5un  42883  lcmineqlem  42918  3lexlogpow5ineq1  42920  3lexlogpow2ineq1  42924  3lexlogpow2ineq2  42925  3lexlogpow5ineq5  42926  aks4d1p1p6  42939  aks4d1p1  42942  5ne0  43141  rmydioph  43855  expdiophlem2  43863  algstr  44014  inductionexd  44995  goldratmolem2  47751  plusmod5ne  48239  minusmod5ne  48243  minusmodnep2tmod  48247  8mod5e3  48254  257prm  48464  fmtno4prmfac193  48476  31prm  48500  41prothprm  48522  gbowge7  48679  gbege6  48681  stgoldbwt  48692  sbgoldbwt  48693  sbgoldbm  48700  sbgoldbo  48703  nnsum3primesle9  48710  gpg5order  48976  gpg5nbgrvtx13starlem1  48987  gpg5nbgrvtx13starlem2  48988  gpg5nbgrvtx13starlem3  48989  gpg5nbgr3star  48997  gpg5grlim  49009  pgnioedg1  49024  pgnioedg2  49025  pgnioedg3  49026  pgnioedg4  49027  pgnbgreunbgrlem1  49029  pgnbgreunbgrlem2lem1  49030  pgnbgreunbgrlem2lem2  49031  pgnbgreunbgrlem2lem3  49032  pgnbgreunbgrlem4  49035  gpg5edgnedg  49046  grlimedgnedg  49047  veronesev5lem  50810  veronesevrowd  50812  veroquadgsumlem  50816