Theorem 5nn 12433

Description: 5 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
5nn	⊢ 5 ∈ ℕ

Proof of Theorem 5nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12412	. 2 ⊢ 5 = (4 + 1)
2		4nn 12430	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		peano2nn 12351	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ → (4 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2856	1 ⊢ 5 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  1c1 11205   + caddc 11207  ℕcn 12339  4c4 12403  5c5 12404

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-1cn 11262

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412

This theorem is used by:  6nn  12436  5pos  12459  5nn0  12630  5eluz3  13014  5ndvds3  16589  5ndvds6  16590  prm23ge5  16999  dec5dvds  17248  dec5nprm  17250  dec2nprm  17251  5prm  17292  10nprmOLD  17298  23prm  17303  prmlem2  17304  43prm  17306  83prm  17307  317prm  17310  prmo5  17313  scandx  17491  scaid  17492  lmodstr  17502  ipsstr  17513  ccondx  17590  ccoid  17591  slotsbhcdif  17592  slotsdifplendx2  17593  slotsdifocndx  17594  prdsvalstr  17629  catstr  18141  lt6abl  20115  psrvalstr  22230  log2ublem1  27280  log2ublem2  27281  log2ub  27283  birthday  27288  ppiublem1  27535  ppiublem2  27536  ppiub  27537  bclbnd  27613  bposlem3  27619  bposlem4  27620  bposlem5  27621  bposlem6  27622  bposlem8  27624  bposlem9  27625  lgsdir2lem3  27660  ex-eprel  31040  ex-xp  31043  fib6  35085  hgt750lem2  35328  hgt750leme  35334  12gcd5e1  43147  12lcm5e60  43152  lcm5un  43161  lcmineqlem  43196  3lexlogpow5ineq1  43198  3lexlogpow2ineq1  43202  3lexlogpow2ineq2  43203  3lexlogpow5ineq5  43204  aks4d1p1p6  43217  aks4d1p1  43220  5ne0  43419  rmydioph  44115  expdiophlem2  44123  algstr  44269  inductionexd  45249  goldratmolem2  48027  plusmod5ne  48515  minusmod5ne  48519  minusmodnep2tmod  48523  8mod5e3  48530  257prm  48740  fmtno4prmfac193  48752  31prm  48776  41prothprm  48798  gbowge7  48955  gbege6  48957  stgoldbwt  48968  sbgoldbwt  48969  sbgoldbm  48976  sbgoldbo  48979  nnsum3primesle9  48986  gpg5order  49252  gpg5nbgrvtx13starlem1  49263  gpg5nbgrvtx13starlem2  49264  gpg5nbgrvtx13starlem3  49265  gpg5nbgr3star  49273  gpg5grlim  49285  pgnioedg1  49300  pgnioedg2  49301  pgnioedg3  49302  pgnioedg4  49303  pgnbgreunbgrlem1  49305  pgnbgreunbgrlem2lem1  49306  pgnbgreunbgrlem2lem2  49307  pgnbgreunbgrlem2lem3  49308  pgnbgreunbgrlem4  49311  gpg5edgnedg  49322  grlimedgnedg  49323  veronesev5lem  51146  veronesevrowd  51148  veroquadgsumlem  51152