Theorem 5nn 12298

Description: 5 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
5nn	⊢ 5 ∈ ℕ

Proof of Theorem 5nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12277	. 2 ⊢ 5 = (4 + 1)
2		4nn 12295	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		peano2nn 12216	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ → (4 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2857	1 ⊢ 5 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7391  1c1 11068   + caddc 11070  ℕcn 12204  4c4 12268  5c5 12269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-1cn 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277

This theorem is referenced by:  6nn  12301  5pos  12324  5nn0  12495  5eluz3  12878  5ndvds3  16438  5ndvds6  16439  prm23ge5  16842  dec5dvds  17091  dec5nprm  17093  dec2nprm  17094  5prm  17135  10nprmOLD  17141  23prm  17146  prmlem2  17147  43prm  17149  83prm  17150  317prm  17153  prmo5  17156  scandx  17334  scaid  17335  lmodstr  17345  ipsstr  17356  ccondx  17433  ccoid  17434  slotsbhcdif  17435  slotsdifplendx2  17436  slotsdifocndx  17437  prdsvalstr  17472  catstr  17984  lt6abl  19926  psrvalstr  21956  log2ublem1  26999  log2ublem2  27000  log2ub  27002  birthday  27007  ppiublem1  27254  ppiublem2  27255  ppiub  27256  bclbnd  27332  bposlem3  27338  bposlem4  27339  bposlem5  27340  bposlem6  27341  bposlem8  27343  bposlem9  27344  lgsdir2lem3  27379  ex-eprel  30592  ex-xp  30595  fib6  34664  hgt750lem2  34907  hgt750leme  34913  12gcd5e1  42581  12lcm5e60  42586  lcm5un  42595  lcmineqlem  42630  3lexlogpow5ineq1  42632  3lexlogpow2ineq1  42636  3lexlogpow2ineq2  42637  3lexlogpow5ineq5  42638  aks4d1p1p6  42651  aks4d1p1  42654  5ne0  42836  rmydioph  43552  expdiophlem2  43560  algstr  43711  inductionexd  44692  goldratmolem2  47441  plusmod5ne  47906  minusmod5ne  47910  minusmodnep2tmod  47914  8mod5e3  47921  257prm  48131  fmtno4prmfac193  48143  31prm  48167  41prothprm  48189  gbowge7  48346  gbege6  48348  stgoldbwt  48359  sbgoldbwt  48360  sbgoldbm  48367  sbgoldbo  48370  nnsum3primesle9  48377  gpg5order  48643  gpg5nbgrvtx13starlem1  48654  gpg5nbgrvtx13starlem2  48655  gpg5nbgrvtx13starlem3  48656  gpg5nbgr3star  48664  gpg5grlim  48676  pgnioedg1  48691  pgnioedg2  48692  pgnioedg3  48693  pgnioedg4  48694  pgnbgreunbgrlem1  48696  pgnbgreunbgrlem2lem1  48697  pgnbgreunbgrlem2lem2  48698  pgnbgreunbgrlem2lem3  48699  pgnbgreunbgrlem4  48702  gpg5edgnedg  48713  grlimedgnedg  48714