Theorem 5nn 12338

Description: 5 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
5nn	⊢ 5 ∈ ℕ

Proof of Theorem 5nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12317	. 2 ⊢ 5 = (4 + 1)
2		4nn 12335	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		peano2nn 12256	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ → (4 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2861	1 ⊢ 5 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  1c1 11112   + caddc 11114  ℕcn 12244  4c4 12308  5c5 12309

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-1cn 11169

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317

This theorem is used by:  6nn  12341  5pos  12364  5nn0  12535  5eluz3  12918  5ndvds3  16488  5ndvds6  16489  prm23ge5  16892  dec5dvds  17141  dec5nprm  17143  dec2nprm  17144  5prm  17185  10nprmOLD  17191  23prm  17196  prmlem2  17197  43prm  17199  83prm  17200  317prm  17203  prmo5  17206  scandx  17384  scaid  17385  lmodstr  17395  ipsstr  17406  ccondx  17483  ccoid  17484  slotsbhcdif  17485  slotsdifplendx2  17486  slotsdifocndx  17487  prdsvalstr  17522  catstr  18034  lt6abl  19988  psrvalstr  22095  log2ublem1  27140  log2ublem2  27141  log2ub  27143  birthday  27148  ppiublem1  27395  ppiublem2  27396  ppiub  27397  bclbnd  27473  bposlem3  27479  bposlem4  27480  bposlem5  27481  bposlem6  27482  bposlem8  27484  bposlem9  27485  lgsdir2lem3  27520  ex-eprel  30813  ex-xp  30816  fib6  34820  hgt750lem2  35063  hgt750leme  35069  12gcd5e1  42803  12lcm5e60  42808  lcm5un  42817  lcmineqlem  42852  3lexlogpow5ineq1  42854  3lexlogpow2ineq1  42858  3lexlogpow2ineq2  42859  3lexlogpow5ineq5  42860  aks4d1p1p6  42873  aks4d1p1  42876  5ne0  43060  rmydioph  43774  expdiophlem2  43782  algstr  43933  inductionexd  44914  goldratmolem2  47656  plusmod5ne  48121  minusmod5ne  48125  minusmodnep2tmod  48129  8mod5e3  48136  257prm  48346  fmtno4prmfac193  48358  31prm  48382  41prothprm  48404  gbowge7  48561  gbege6  48563  stgoldbwt  48574  sbgoldbwt  48575  sbgoldbm  48582  sbgoldbo  48585  nnsum3primesle9  48592  gpg5order  48858  gpg5nbgrvtx13starlem1  48869  gpg5nbgrvtx13starlem2  48870  gpg5nbgrvtx13starlem3  48871  gpg5nbgr3star  48879  gpg5grlim  48891  pgnioedg1  48906  pgnioedg2  48907  pgnioedg3  48908  pgnioedg4  48909  pgnbgreunbgrlem1  48911  pgnbgreunbgrlem2lem1  48912  pgnbgreunbgrlem2lem2  48913  pgnbgreunbgrlem2lem3  48914  pgnbgreunbgrlem4  48917  gpg5edgnedg  48928  grlimedgnedg  48929