Theorem 5nn 12279

Description: 5 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
5nn	⊢ 5 ∈ ℕ

Proof of Theorem 5nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12259	. 2 ⊢ 5 = (4 + 1)
2		4nn 12276	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		peano2nn 12205	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ → (4 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2825	1 ⊢ 5 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  1c1 11076   + caddc 11078  ℕcn 12193  4c4 12250  5c5 12251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-1cn 11133

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259

This theorem is referenced by:  6nn  12282  5nn0  12469  5eluz3  12849  5ndvds3  16390  5ndvds6  16391  prm23ge5  16793  dec5dvds  17042  dec5nprm  17044  dec2nprm  17045  5prm  17086  10nprm  17091  23prm  17096  prmlem2  17097  43prm  17099  83prm  17100  317prm  17103  prmo5  17106  scandx  17284  scaid  17285  lmodstr  17295  ipsstr  17306  ccondx  17383  ccoid  17384  slotsbhcdif  17385  slotsdifplendx2  17386  slotsdifocndx  17387  prdsvalstr  17422  catstr  17929  lt6abl  19832  psrvalstr  21832  log2ublem1  26863  log2ublem2  26864  log2ub  26866  birthday  26871  ppiublem1  27120  ppiublem2  27121  ppiub  27122  bclbnd  27198  bposlem3  27204  bposlem4  27205  bposlem5  27206  bposlem6  27207  bposlem8  27209  bposlem9  27210  lgsdir2lem3  27245  ex-eprel  30369  ex-xp  30372  fib6  34404  hgt750lem2  34650  hgt750leme  34656  12gcd5e1  41998  12lcm5e60  42003  lcm5un  42012  lcmineqlem  42047  3lexlogpow5ineq1  42049  3lexlogpow2ineq1  42053  3lexlogpow2ineq2  42054  3lexlogpow5ineq5  42055  aks4d1p1p6  42068  aks4d1p1  42071  5ne0  42255  rmydioph  43010  expdiophlem2  43018  algstr  43169  inductionexd  44151  plusmod5ne  47350  minusmod5ne  47354  minusmodnep2tmod  47358  8mod5e3  47365  257prm  47566  fmtno4prmfac193  47578  31prm  47602  41prothprm  47624  gbowge7  47768  gbege6  47770  stgoldbwt  47781  sbgoldbwt  47782  sbgoldbm  47789  sbgoldbo  47792  nnsum3primesle9  47799  gpg5order  48055  gpg5nbgrvtx13starlem1  48066  gpg5nbgrvtx13starlem2  48067  gpg5nbgrvtx13starlem3  48068  gpg5nbgr3star  48076  pgnioedg1  48102  pgnioedg2  48103  pgnioedg3  48104  pgnioedg4  48105  pgnbgreunbgrlem1  48107  pgnbgreunbgrlem2lem1  48108  pgnbgreunbgrlem2lem2  48109  pgnbgreunbgrlem2lem3  48110  pgnbgreunbgrlem4  48113