Theorem 5nn 12267

Description: 5 is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
5nn	⊢ 5 ∈ ℕ

Proof of Theorem 5nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12247	. 2 ⊢ 5 = (4 + 1)
2		4nn 12264	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		peano2nn 12186	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ → (4 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2832	1 ⊢ 5 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  1c1 11039   + caddc 11041  ℕcn 12174  4c4 12238  5c5 12239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-1cn 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247

This theorem is referenced by:  6nn  12270  5nn0  12457  5eluz3  12833  5ndvds3  16382  5ndvds6  16383  prm23ge5  16786  dec5dvds  17035  dec5nprm  17037  dec2nprm  17038  5prm  17079  10nprm  17084  23prm  17089  prmlem2  17090  43prm  17092  83prm  17093  317prm  17096  prmo5  17099  scandx  17277  scaid  17278  lmodstr  17288  ipsstr  17299  ccondx  17376  ccoid  17377  slotsbhcdif  17378  slotsdifplendx2  17379  slotsdifocndx  17380  prdsvalstr  17415  catstr  17927  lt6abl  19870  psrvalstr  21896  log2ublem1  26910  log2ublem2  26911  log2ub  26913  birthday  26918  ppiublem1  27165  ppiublem2  27166  ppiub  27167  bclbnd  27243  bposlem3  27249  bposlem4  27250  bposlem5  27251  bposlem6  27252  bposlem8  27254  bposlem9  27255  lgsdir2lem3  27290  ex-eprel  30503  ex-xp  30506  fib6  34550  hgt750lem2  34796  hgt750leme  34802  12gcd5e1  42442  12lcm5e60  42447  lcm5un  42456  lcmineqlem  42491  3lexlogpow5ineq1  42493  3lexlogpow2ineq1  42497  3lexlogpow2ineq2  42498  3lexlogpow5ineq5  42499  aks4d1p1p6  42512  aks4d1p1  42515  5ne0  42698  rmydioph  43442  expdiophlem2  43450  algstr  43601  inductionexd  44582  goldratmolem2  47334  plusmod5ne  47799  minusmod5ne  47803  minusmodnep2tmod  47807  8mod5e3  47814  257prm  48024  fmtno4prmfac193  48036  31prm  48060  41prothprm  48082  gbowge7  48239  gbege6  48241  stgoldbwt  48252  sbgoldbwt  48253  sbgoldbm  48260  sbgoldbo  48263  nnsum3primesle9  48270  gpg5order  48536  gpg5nbgrvtx13starlem1  48547  gpg5nbgrvtx13starlem2  48548  gpg5nbgrvtx13starlem3  48549  gpg5nbgr3star  48557  gpg5grlim  48569  pgnioedg1  48584  pgnioedg2  48585  pgnioedg3  48586  pgnioedg4  48587  pgnbgreunbgrlem1  48589  pgnbgreunbgrlem2lem1  48590  pgnbgreunbgrlem2lem2  48591  pgnbgreunbgrlem2lem3  48592  pgnbgreunbgrlem4  48595  gpg5edgnedg  48606  grlimedgnedg  48607