Theorem cardfz 13927

Description: The cardinality of a finite set of sequential integers. (See om2uz0i 13904 for a description of the hypothesis.) (Contributed by NM, 7-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
fzennn.1	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
cardfz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = (◡𝐺‘𝑁))

Proof of Theorem cardfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzennn.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	fzennn 13925	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ≈ (◡𝐺‘𝑁))
3		carden2b 9886	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) ≈ (◡𝐺‘𝑁) → (card‘(1...𝑁)) = (card‘(◡𝐺‘𝑁)))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = (card‘(◡𝐺‘𝑁)))
5		0z 12530	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	5, 1	om2uzf1oi 13910	. . . 4 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0)
7		elnn0uz 12824	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
8	7	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
9		f1ocnvdm 7235	. . . 4 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0)) → (◡𝐺‘𝑁) ∈ ω)
10	6, 8, 9	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (◡𝐺‘𝑁) ∈ ω)
11		cardnn 9882	. . 3 ⊢ ((◡𝐺‘𝑁) ∈ ω → (card‘(◡𝐺‘𝑁)) = (◡𝐺‘𝑁))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(◡𝐺‘𝑁)) = (◡𝐺‘𝑁))
13	4, 12	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = (◡𝐺‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ^◡ccnv 5625   ↾ cres 5628  –1-1-onto→wf1o 6493  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ωcom 7812  reccrdg 8343   ≈ cen 8885  cardccrd 9854  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036  ℕ₀cn0 12432  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457

This theorem is referenced by:  hashfz1  14303