Theorem cardfz 13927

Description: The cardinality of a finite set of sequential integers. (See om2uz0i 13904 for a description of the hypothesis.) (Contributed by NM, 7-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
fzennn.1	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
cardfz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = (◡𝐺‘𝑁))

Proof of Theorem cardfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzennn.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	fzennn 13925	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ≈ (◡𝐺‘𝑁))
3		carden2b 9886	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) ≈ (◡𝐺‘𝑁) → (card‘(1...𝑁)) = (card‘(◡𝐺‘𝑁)))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = (card‘(◡𝐺‘𝑁)))
5		0z 12530	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	5, 1	om2uzf1oi 13910	. . . 4 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0)
7		elnn0uz 12824	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
8	7	biimpi 218	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
9		f1ocnvdm 7233	. . . 4 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0)) → (◡𝐺‘𝑁) ∈ ω)
10	6, 8, 9	sylancr 594	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (◡𝐺‘𝑁) ∈ ω)
11		cardnn 9882	. . 3 ⊢ ((◡𝐺‘𝑁) ∈ ω → (card‘(◡𝐺‘𝑁)) = (◡𝐺‘𝑁))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(◡𝐺‘𝑁)) = (◡𝐺‘𝑁))
13	4, 12	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = (◡𝐺‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156  ^◡ccnv 5620   ↾ cres 5623  –1-1-onto→wf1o 6488  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ωcom 7810  reccrdg 8342   ≈ cen 8884  cardccrd 9854  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036  ℕ₀cn0 12432  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457

This theorem is referenced by:  hashfz1  14303