Theorem cardfz 14011

Description: The cardinality of a finite set of sequential integers. (See om2uz0i 13988 for a description of the hypothesis.) (Contributed by NM, 7-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
fzennn.1	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
cardfz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = (◡𝐺‘𝑁))

Proof of Theorem cardfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzennn.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	fzennn 14009	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ≈ (◡𝐺‘𝑁))
3		carden2b 9958	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) ≈ (◡𝐺‘𝑁) → (card‘(1...𝑁)) = (card‘(◡𝐺‘𝑁)))
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = (card‘(◡𝐺‘𝑁)))
5		0z 12606	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	5, 1	om2uzf1oi 13994	. . . 4 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0)
7		elnn0uz 12907	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
8	7	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
9		f1ocnvdm 7283	. . . 4 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0)) → (◡𝐺‘𝑁) ∈ ω)
10	6, 8, 9	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (◡𝐺‘𝑁) ∈ ω)
11		cardnn 9954	. . 3 ⊢ ((◡𝐺‘𝑁) ∈ ω → (card‘(◡𝐺‘𝑁)) = (◡𝐺‘𝑁))
12	10, 11	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(◡𝐺‘𝑁)) = (◡𝐺‘𝑁))
13	4, 12	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = (◡𝐺‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ^◡ccnv 5660   ↾ cres 5663  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ωcom 7858  reccrdg 8392   ≈ cen 8936  cardccrd 9926  0cc0 11104  1c1 11105   + caddc 11107  ℕ₀cn0 12508  ℤ_≥cuz 12866  ...cfz 13539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540

This theorem is used by:  hashfz1  14387