Theorem cardfz 13020

Description: The cardinality of a finite set of sequential integers. (See om2uz0i 12997 for a description of the hypothesis.) (Contributed by NM, 7-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
fzennn.1	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
cardfz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = (◡𝐺‘𝑁))

Proof of Theorem cardfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzennn.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	fzennn 13018	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ≈ (◡𝐺‘𝑁))
3		carden2b 9077	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) ≈ (◡𝐺‘𝑁) → (card‘(1...𝑁)) = (card‘(◡𝐺‘𝑁)))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = (card‘(◡𝐺‘𝑁)))
5		0z 11673	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	5, 1	om2uzf1oi 13003	. . . 4 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0)
7		elnn0uz 11965	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
8	7	biimpi 208	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
9		f1ocnvdm 6766	. . . 4 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0)) → (◡𝐺‘𝑁) ∈ ω)
10	6, 8, 9	sylancr 582	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (◡𝐺‘𝑁) ∈ ω)
11		cardnn 9073	. . 3 ⊢ ((◡𝐺‘𝑁) ∈ ω → (card‘(◡𝐺‘𝑁)) = (◡𝐺‘𝑁))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(◡𝐺‘𝑁)) = (◡𝐺‘𝑁))
13	4, 12	eqtrd 2831	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = (◡𝐺‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  Vcvv 3383   class class class wbr 4841   ↦ cmpt 4920  ^◡ccnv 5309   ↾ cres 5312  –1-1-onto→wf1o 6098  ‘cfv 6099  (class class class)co 6876  ωcom 7297  reccrdg 7742   ≈ cen 8190  cardccrd 9045  0cc0 10222  1c1 10223   + caddc 10225  ℕ₀cn0 11576  ℤ_≥cuz 11926  ...cfz 12576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-card 9049  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-fz 12577

This theorem is referenced by:  hashfz1  13382