Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cardfz 13321
 Description: The cardinality of a finite set of sequential integers. (See om2uz0i 13298 for a description of the hypothesis.) (Contributed by NM, 7-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
fzennn.1 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
cardfz (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = (𝐺𝑁))

Proof of Theorem cardfz
StepHypRef Expression
1 fzennn.1 . . . 4 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
21fzennn 13319 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ≈ (𝐺𝑁))
3 carden2b 9372 . . 3 ((1...𝑁) ≈ (𝐺𝑁) → (card‘(1...𝑁)) = (card‘(𝐺𝑁)))
42, 3syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = (card‘(𝐺𝑁)))
5 0z 11970 . . . . 5 0 ∈ ℤ
65, 1om2uzf1oi 13304 . . . 4 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ‘0)
7 elnn0uz 12261 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
87biimpi 219 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
9 f1ocnvdm 7015 . . . 4 ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘0)) → (𝐺𝑁) ∈ ω)
106, 8, 9sylancr 590 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑁) ∈ ω)
11 cardnn 9368 . . 3 ((𝐺𝑁) ∈ ω → (card‘(𝐺𝑁)) = (𝐺𝑁))
1210, 11syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(𝐺𝑁)) = (𝐺𝑁))
134, 12eqtrd 2856 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = (𝐺𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3471   class class class wbr 5039   ↦ cmpt 5119  ◡ccnv 5527   ↾ cres 5530  –1-1-onto→wf1o 6327  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  ωcom 7555  reccrdg 8020   ≈ cen 8481  cardccrd 9340  0cc0 10514  1c1 10515   + caddc 10517  ℕ0cn0 11875  ℤ≥cuz 12221  ...cfz 12875 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876 This theorem is referenced by:  hashfz1  13690
 Copyright terms: Public domain W3C validator