MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cardfz 13688
Description: The cardinality of a finite set of sequential integers. (See om2uz0i 13665 for a description of the hypothesis.) (Contributed by NM, 7-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
fzennn.1 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
cardfz (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = (𝐺𝑁))

Proof of Theorem cardfz
StepHypRef Expression
1 fzennn.1 . . . 4 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
21fzennn 13686 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ≈ (𝐺𝑁))
3 carden2b 9726 . . 3 ((1...𝑁) ≈ (𝐺𝑁) → (card‘(1...𝑁)) = (card‘(𝐺𝑁)))
42, 3syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = (card‘(𝐺𝑁)))
5 0z 12330 . . . . 5 0 ∈ ℤ
65, 1om2uzf1oi 13671 . . . 4 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ‘0)
7 elnn0uz 12622 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
87biimpi 215 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
9 f1ocnvdm 7153 . . . 4 ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘0)) → (𝐺𝑁) ∈ ω)
106, 8, 9sylancr 587 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑁) ∈ ω)
11 cardnn 9722 . . 3 ((𝐺𝑁) ∈ ω → (card‘(𝐺𝑁)) = (𝐺𝑁))
1210, 11syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(𝐺𝑁)) = (𝐺𝑁))
134, 12eqtrd 2780 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = (𝐺𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2110  Vcvv 3431   class class class wbr 5079  cmpt 5162  ccnv 5589  cres 5592  1-1-ontowf1o 6431  cfv 6432  (class class class)co 7271  ωcom 7706  reccrdg 8231  cen 8713  cardccrd 9694  0cc0 10872  1c1 10873   + caddc 10875  0cn0 12233  cuz 12581  ...cfz 13238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-fz 13239
This theorem is referenced by:  hashfz1  14058
  Copyright terms: Public domain W3C validator