Theorem dihcnvcl 39282

Description: Closure of isomorphism H converse. (Contributed by NM, 8-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihfn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihfn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihfn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihcnvcl	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem dihcnvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihfn.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dihfn.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dihfn.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
6	1, 2, 3, 4, 5	dihf11 39278	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:𝐵–1-1→(LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
7		f1f1orn 6729	. . 3 ⊢ (𝐼:𝐵–1-1→(LSubSp‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐼:𝐵–1-1-onto→ran 𝐼)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:𝐵–1-1-onto→ran 𝐼)
9		f1ocnvdm 7159	. 2 ⊢ ((𝐼:𝐵–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
10	8, 9	sylan 580	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ^◡ccnv 5590  ran crn 5592  –1-1→wf1 6432  –1-1-onto→wf1o 6434  ‘cfv 6435  Basecbs 16910  LSubSpclss 20191  HLchlt 37361  LHypclh 37995  DVecHcdvh 39089  DIsoHcdih 39239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946  ax-riotaBAD 36964

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-iin 4929  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8040  df-undef 8087  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-1o 8295  df-er 8496  df-map 8615  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-fin 8735  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12581  df-fz 13238  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-0g 17150  df-proset 18011  df-poset 18029  df-plt 18046  df-lub 18062  df-glb 18063  df-join 18064  df-meet 18065  df-p0 18141  df-p1 18142  df-lat 18148  df-clat 18215  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-subg 18750  df-cntz 18921  df-lsm 19239  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-oppr 19860  df-dvdsr 19881  df-unit 19882  df-invr 19912  df-dvr 19923  df-drng 19991  df-lmod 20123  df-lss 20192  df-lsp 20232  df-lvec 20363  df-oposet 37187  df-ol 37189  df-oml 37190  df-covers 37277  df-ats 37278  df-atl 37309  df-cvlat 37333  df-hlat 37362  df-llines 37509  df-lplanes 37510  df-lvols 37511  df-lines 37512  df-psubsp 37514  df-pmap 37515  df-padd 37807  df-lhyp 37999  df-laut 38000  df-ldil 38115  df-ltrn 38116  df-trl 38170  df-tendo 38766  df-edring 38768  df-disoa 39040  df-dvech 39090  df-dib 39150  df-dic 39184  df-dih 39240

This theorem is referenced by:  dihcnvord  39285  dihcnv11  39286  dihsslss  39287  dihatexv2  39350  dihmeetcl  39356  dihmeet2  39357  dochvalr  39368  dochvalr3  39374  doch2val2  39375  dochoc  39378  dihoml4c  39387  djhljjN  39413  djhjlj  39414  djhj  39415  djh01  39423  djhcvat42  39426  dihprrnlem1N  39435  dihprrnlem2  39436  dihjat4  39444  dihjat6  39445  dihjat5N  39448