Theorem dihlspsnat 41709

Description: The inverse isomorphism H of the span of a singleton is a Hilbert lattice atom. (Contributed by NM, 27-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihlspsnat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihlspsnat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihlspsnat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihlspsnat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihlspsnat.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dihlspsnat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihlspsnat.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihlspsnat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem dihlspsnat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		dihlspsnat.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dihlspsnat.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		dihlspsnat.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
6	1, 2, 3, 4, 5	dihf11 41643	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈))
7	6	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝐼:(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈))
8		f1f1orn 6793	. . . 4 ⊢ (𝐼:(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈) → 𝐼:(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran 𝐼)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝐼:(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran 𝐼)
10		dihlspsnat.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
11		dihlspsnat.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
12	2, 4, 10, 11, 3	dihlsprn 41707	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
13	12	3adant3 1133	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
14		f1ocnvdm 7241	. . 3 ⊢ ((𝐼:(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾))
15	9, 13, 14	syl2anc 585	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾))
16		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) = (0.‘𝐾) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝐼‘(0.‘𝐾)))
17	2, 3	dihcnvid2 41649	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
18	12, 17	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
19		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
20		dihlspsnat.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
21	19, 2, 3, 4, 20	dih0 41656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = { 0 })
22	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = { 0 })
23	18, 22	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝐼‘(0.‘𝐾)) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = { 0 }))
24		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
25	2, 4, 24	dvhlmod 41486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
26	10, 20, 11	lspsneq0 20975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
27	25, 26	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
28	23, 27	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝐼‘(0.‘𝐾)) ↔ 𝑋 = 0 ))
29	16, 28	imbitrid 244	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) = (0.‘𝐾) → 𝑋 = 0 ))
30	29	necon3d 2954	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ≠ 0 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≠ (0.‘𝐾)))
31	30	3impia 1118	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≠ (0.‘𝐾))
32		simpll1 1214	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
33	2, 4, 32	dvhlvec 41485	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑈 ∈ LVec)
34		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
35	1, 2, 3, 4, 5	dihlss 41626	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘𝑥) ∈ (LSubSp‘𝑈))
36	32, 34, 35	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝐼‘𝑥) ∈ (LSubSp‘𝑈))
37		simpll2 1215	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
38		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
39	10, 20, 5, 11	lspsnat 21112	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ LVec ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → ((𝐼‘𝑥) = (𝑁‘{𝑋}) ∨ (𝐼‘𝑥) = { 0 }))
40	33, 36, 37, 38, 39	syl31anc 1376	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → ((𝐼‘𝑥) = (𝑁‘{𝑋}) ∨ (𝐼‘𝑥) = { 0 }))
41	40	ex 412	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → ((𝐼‘𝑥) = (𝑁‘{𝑋}) ∨ (𝐼‘𝑥) = { 0 })))
42		simp1 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
43	42, 13, 17	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
44	43	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
45	44	sseq2d 3968	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) ↔ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})))
46		simpl1 1193	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
47		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
48	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾))
49		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
50	1, 49, 2, 3	dihord 41640	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) ↔ 𝑥(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))))
51	46, 47, 48, 50	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) ↔ 𝑥(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))))
52	45, 51	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑥(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))))
53	44	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) ↔ (𝐼‘𝑥) = (𝑁‘{𝑋})))
54	1, 2, 3	dih11 41641	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) ↔ 𝑥 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))))
55	46, 47, 48, 54	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) ↔ 𝑥 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))))
56	53, 55	bitr3d 281	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑥 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))))
57	46, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = { 0 })
58	57	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(0.‘𝐾)) ↔ (𝐼‘𝑥) = { 0 }))
59		simpl1l 1226	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
60		hlop 39738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
61	1, 19	op0cl 39560	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
62	59, 60, 61	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
63	1, 2, 3	dih11 41641	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(0.‘𝐾)) ↔ 𝑥 = (0.‘𝐾)))
64	46, 47, 62, 63	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(0.‘𝐾)) ↔ 𝑥 = (0.‘𝐾)))
65	58, 64	bitr3d 281	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) = { 0 } ↔ 𝑥 = (0.‘𝐾)))
66	56, 65	orbi12d 919	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝐼‘𝑥) = (𝑁‘{𝑋}) ∨ (𝐼‘𝑥) = { 0 }) ↔ (𝑥 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∨ 𝑥 = (0.‘𝐾))))
67	41, 52, 66	3imtr3d 293	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∨ 𝑥 = (0.‘𝐾))))
68	67	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∨ 𝑥 = (0.‘𝐾))))
69		simp1l 1199	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝐾 ∈ HL)
70		hlatl 39736	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
71		dihlspsnat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
72	1, 49, 19, 71	isat3 39683	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝐴 ↔ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≠ (0.‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∨ 𝑥 = (0.‘𝐾))))))
73	69, 70, 72	3syl 18	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝐴 ↔ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≠ (0.‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∨ 𝑥 = (0.‘𝐾))))))
74	15, 31, 68, 73	mpbir3and 1344	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ⊆ wss 3903  {csn 4582   class class class wbr 5100  ^◡ccnv 5631  ran crn 5633  –1-1→wf1 6497  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  lecple 17196  0_gc0g 17371  0.cp0 18356  LModclmod 20823  LSubSpclss 20894  LSpanclspn 20934  LVecclvec 21066  OPcops 39548  Atomscatm 39639  AtLatcal 39640  HLchlt 39726  LHypclh 40360  DVecHcdvh 41454  DIsoHcdih 41604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-riotaBAD 39329

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-undef 8225  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-0g 17373  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-clat 18434  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-cntz 19258  df-lsm 19577  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-dvr 20349  df-drng 20676  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-lvec 21067  df-lsatoms 39352  df-oposet 39552  df-ol 39554  df-oml 39555  df-covers 39642  df-ats 39643  df-atl 39674  df-cvlat 39698  df-hlat 39727  df-llines 39874  df-lplanes 39875  df-lvols 39876  df-lines 39877  df-psubsp 39879  df-pmap 39880  df-padd 40172  df-lhyp 40364  df-laut 40365  df-ldil 40480  df-ltrn 40481  df-trl 40535  df-tendo 41131  df-edring 41133  df-disoa 41405  df-dvech 41455  df-dib 41515  df-dic 41549  df-dih 41605

This theorem is referenced by:  dihlatat  41713  djhcvat42  41791  dihprrnlem1N  41800  dihprrnlem2  41801