Theorem dihlspsnat 41796

Description: The inverse isomorphism H of the span of a singleton is a Hilbert lattice atom. (Contributed by NM, 27-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihlspsnat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihlspsnat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihlspsnat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihlspsnat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihlspsnat.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dihlspsnat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihlspsnat.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihlspsnat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem dihlspsnat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		dihlspsnat.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dihlspsnat.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		dihlspsnat.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
6	1, 2, 3, 4, 5	dihf11 41730	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈))
7	6	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝐼:(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈))
8		f1f1orn 6786	. . . 4 ⊢ (𝐼:(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈) → 𝐼:(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran 𝐼)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝐼:(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran 𝐼)
10		dihlspsnat.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
11		dihlspsnat.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
12	2, 4, 10, 11, 3	dihlsprn 41794	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
13	12	3adant3 1133	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
14		f1ocnvdm 7234	. . 3 ⊢ ((𝐼:(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾))
15	9, 13, 14	syl2anc 585	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾))
16		fveq2 6835	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) = (0.‘𝐾) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝐼‘(0.‘𝐾)))
17	2, 3	dihcnvid2 41736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
18	12, 17	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
19		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
20		dihlspsnat.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
21	19, 2, 3, 4, 20	dih0 41743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = { 0 })
22	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = { 0 })
23	18, 22	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝐼‘(0.‘𝐾)) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = { 0 }))
24		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
25	2, 4, 24	dvhlmod 41573	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
26	10, 20, 11	lspsneq0 21001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
27	25, 26	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
28	23, 27	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝐼‘(0.‘𝐾)) ↔ 𝑋 = 0 ))
29	16, 28	imbitrid 244	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) = (0.‘𝐾) → 𝑋 = 0 ))
30	29	necon3d 2954	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ≠ 0 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≠ (0.‘𝐾)))
31	30	3impia 1118	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≠ (0.‘𝐾))
32		simpll1 1214	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
33	2, 4, 32	dvhlvec 41572	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑈 ∈ LVec)
34		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
35	1, 2, 3, 4, 5	dihlss 41713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘𝑥) ∈ (LSubSp‘𝑈))
36	32, 34, 35	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝐼‘𝑥) ∈ (LSubSp‘𝑈))
37		simpll2 1215	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
38		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
39	10, 20, 5, 11	lspsnat 21138	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ LVec ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → ((𝐼‘𝑥) = (𝑁‘{𝑋}) ∨ (𝐼‘𝑥) = { 0 }))
40	33, 36, 37, 38, 39	syl31anc 1376	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → ((𝐼‘𝑥) = (𝑁‘{𝑋}) ∨ (𝐼‘𝑥) = { 0 }))
41	40	ex 412	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → ((𝐼‘𝑥) = (𝑁‘{𝑋}) ∨ (𝐼‘𝑥) = { 0 })))
42		simp1 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
43	42, 13, 17	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
44	43	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
45	44	sseq2d 3955	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) ↔ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})))
46		simpl1 1193	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
47		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
48	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾))
49		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
50	1, 49, 2, 3	dihord 41727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) ↔ 𝑥(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))))
51	46, 47, 48, 50	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) ↔ 𝑥(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))))
52	45, 51	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑥(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))))
53	44	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) ↔ (𝐼‘𝑥) = (𝑁‘{𝑋})))
54	1, 2, 3	dih11 41728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) ↔ 𝑥 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))))
55	46, 47, 48, 54	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) ↔ 𝑥 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))))
56	53, 55	bitr3d 281	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑥 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))))
57	46, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = { 0 })
58	57	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(0.‘𝐾)) ↔ (𝐼‘𝑥) = { 0 }))
59		simpl1l 1226	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
60		hlop 39825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
61	1, 19	op0cl 39647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
62	59, 60, 61	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
63	1, 2, 3	dih11 41728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(0.‘𝐾)) ↔ 𝑥 = (0.‘𝐾)))
64	46, 47, 62, 63	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(0.‘𝐾)) ↔ 𝑥 = (0.‘𝐾)))
65	58, 64	bitr3d 281	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) = { 0 } ↔ 𝑥 = (0.‘𝐾)))
66	56, 65	orbi12d 919	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝐼‘𝑥) = (𝑁‘{𝑋}) ∨ (𝐼‘𝑥) = { 0 }) ↔ (𝑥 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∨ 𝑥 = (0.‘𝐾))))
67	41, 52, 66	3imtr3d 293	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∨ 𝑥 = (0.‘𝐾))))
68	67	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∨ 𝑥 = (0.‘𝐾))))
69		simp1l 1199	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝐾 ∈ HL)
70		hlatl 39823	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
71		dihlspsnat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
72	1, 49, 19, 71	isat3 39770	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝐴 ↔ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≠ (0.‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∨ 𝑥 = (0.‘𝐾))))))
73	69, 70, 72	3syl 18	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝐴 ↔ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≠ (0.‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∨ 𝑥 = (0.‘𝐾))))))
74	15, 31, 68, 73	mpbir3and 1344	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  {csn 4568   class class class wbr 5086  ^◡ccnv 5624  ran crn 5626  –1-1→wf1 6490  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493  Basecbs 17173  lecple 17221  0_gc0g 17396  0.cp0 18381  LModclmod 20849  LSubSpclss 20920  LSpanclspn 20960  LVecclvec 21092  OPcops 39635  Atomscatm 39726  AtLatcal 39727  HLchlt 39813  LHypclh 40447  DVecHcdvh 41541  DIsoHcdih 41691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-riotaBAD 39416

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8170  df-undef 8217  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-0g 17398  df-proset 18254  df-poset 18273  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18392  df-clat 18459  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-subg 19093  df-cntz 19286  df-lsm 19605  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-dvr 20375  df-drng 20702  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-lsp 20961  df-lvec 21093  df-lsatoms 39439  df-oposet 39639  df-ol 39641  df-oml 39642  df-covers 39729  df-ats 39730  df-atl 39761  df-cvlat 39785  df-hlat 39814  df-llines 39961  df-lplanes 39962  df-lvols 39963  df-lines 39964  df-psubsp 39966  df-pmap 39967  df-padd 40259  df-lhyp 40451  df-laut 40452  df-ldil 40567  df-ltrn 40568  df-trl 40622  df-tendo 41218  df-edring 41220  df-disoa 41492  df-dvech 41542  df-dib 41602  df-dic 41636  df-dih 41692

This theorem is referenced by:  dihlatat  41800  djhcvat42  41878  dihprrnlem1N  41887  dihprrnlem2  41888