Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihlspsnat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihlspsnat 39846
Description: The inverse isomorphism H of the span of a singleton is a Hilbert lattice atom. (Contributed by NM, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihlspsnat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dihlspsnat.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihlspsnat.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihlspsnat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
dihlspsnat.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
dihlspsnat.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
dihlspsnat.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dihlspsnat (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem dihlspsnat
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2 dihlspsnat.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 dihlspsnat.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 dihlspsnat.u . . . . . 6 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 eqid 2733 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
61, 2, 3, 4, 5dihf11 39780 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼:(Baseβ€˜πΎ)–1-1β†’(LSubSpβ€˜π‘ˆ))
763ad2ant1 1134 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ 𝐼:(Baseβ€˜πΎ)–1-1β†’(LSubSpβ€˜π‘ˆ))
8 f1f1orn 6799 . . . 4 (𝐼:(Baseβ€˜πΎ)–1-1β†’(LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ 𝐼:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’ran 𝐼)
97, 8syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ 𝐼:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’ran 𝐼)
10 dihlspsnat.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
11 dihlspsnat.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
122, 4, 10, 11, 3dihlsprn 39844 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
13123adant3 1133 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
14 f1ocnvdm 7235 . . 3 ((𝐼:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’ran 𝐼 ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ ran 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
159, 13, 14syl2anc 585 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
16 fveq2 6846 . . . . 5 ((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (0.β€˜πΎ) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))) = (πΌβ€˜(0.β€˜πΎ)))
172, 3dihcnvid2 39786 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ ran 𝐼) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))) = (π‘β€˜{𝑋}))
1812, 17syldan 592 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))) = (π‘β€˜{𝑋}))
19 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
20 dihlspsnat.o . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
2119, 2, 3, 4, 20dih0 39793 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (πΌβ€˜(0.β€˜πΎ)) = { 0 })
2221adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΌβ€˜(0.β€˜πΎ)) = { 0 })
2318, 22eqeq12d 2749 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))) = (πΌβ€˜(0.β€˜πΎ)) ↔ (π‘β€˜{𝑋}) = { 0 }))
24 id 22 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
252, 4, 24dvhlmod 39623 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
2610, 20, 11lspsneq0 20517 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
2725, 26sylan 581 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
2823, 27bitrd 279 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))) = (πΌβ€˜(0.β€˜πΎ)) ↔ 𝑋 = 0 ))
2916, 28imbitrid 243 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (0.β€˜πΎ) β†’ 𝑋 = 0 ))
3029necon3d 2961 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 β‰  0 β†’ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) β‰  (0.β€˜πΎ)))
31303impia 1118 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) β‰  (0.β€˜πΎ))
32 simpll1 1213 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (πΌβ€˜π‘₯) βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
332, 4, 32dvhlvec 39622 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (πΌβ€˜π‘₯) βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
34 simplr 768 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (πΌβ€˜π‘₯) βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
351, 2, 3, 4, 5dihlss 39763 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
3632, 34, 35syl2anc 585 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (πΌβ€˜π‘₯) βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
37 simpll2 1214 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (πΌβ€˜π‘₯) βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
38 simpr 486 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (πΌβ€˜π‘₯) βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))
3910, 20, 5, 11lspsnat 20651 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ LVec ∧ (πΌβ€˜π‘₯) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (πΌβ€˜π‘₯) βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) = (π‘β€˜{𝑋}) ∨ (πΌβ€˜π‘₯) = { 0 }))
4033, 36, 37, 38, 39syl31anc 1374 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (πΌβ€˜π‘₯) βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) = (π‘β€˜{𝑋}) ∨ (πΌβ€˜π‘₯) = { 0 }))
4140ex 414 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) = (π‘β€˜{𝑋}) ∨ (πΌβ€˜π‘₯) = { 0 })))
42 simp1 1137 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4342, 13, 17syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))) = (π‘β€˜{𝑋}))
4443adantr 482 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))) = (π‘β€˜{𝑋}))
4544sseq2d 3980 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) βŠ† (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))) ↔ (πΌβ€˜π‘₯) βŠ† (π‘β€˜{𝑋})))
46 simpl1 1192 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
47 simpr 486 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4815adantr 482 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
49 eqid 2733 . . . . . . 7 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
501, 49, 2, 3dihord 39777 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) βŠ† (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))) ↔ π‘₯(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))))
5146, 47, 48, 50syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) βŠ† (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))) ↔ π‘₯(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))))
5245, 51bitr3d 281 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ↔ π‘₯(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))))
5344eqeq2d 2744 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))) ↔ (πΌβ€˜π‘₯) = (π‘β€˜{𝑋})))
541, 2, 3dih11 39778 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))) ↔ π‘₯ = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))))
5546, 47, 48, 54syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))) ↔ π‘₯ = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))))
5653, 55bitr3d 281 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) = (π‘β€˜{𝑋}) ↔ π‘₯ = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋}))))
5746, 21syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΌβ€˜(0.β€˜πΎ)) = { 0 })
5857eqeq2d 2744 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜(0.β€˜πΎ)) ↔ (πΌβ€˜π‘₯) = { 0 }))
59 simpl1l 1225 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
60 hlop 37874 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
611, 19op0cl 37696 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ OP β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6259, 60, 613syl 18 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
631, 2, 3dih11 39778 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (0.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜(0.β€˜πΎ)) ↔ π‘₯ = (0.β€˜πΎ)))
6446, 47, 62, 63syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜(0.β€˜πΎ)) ↔ π‘₯ = (0.β€˜πΎ)))
6558, 64bitr3d 281 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΌβ€˜π‘₯) = { 0 } ↔ π‘₯ = (0.β€˜πΎ)))
6656, 65orbi12d 918 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((πΌβ€˜π‘₯) = (π‘β€˜{𝑋}) ∨ (πΌβ€˜π‘₯) = { 0 }) ↔ (π‘₯ = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∨ π‘₯ = (0.β€˜πΎ))))
6741, 52, 663imtr3d 293 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘₯(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) β†’ (π‘₯ = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∨ π‘₯ = (0.β€˜πΎ))))
6867ralrimiva 3140 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(π‘₯(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) β†’ (π‘₯ = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∨ π‘₯ = (0.β€˜πΎ))))
69 simp1l 1198 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ 𝐾 ∈ HL)
70 hlatl 37872 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
71 dihlspsnat.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
721, 49, 19, 71isat3 37819 . . 3 (𝐾 ∈ AtLat β†’ ((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∈ 𝐴 ↔ ((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) β‰  (0.β€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(π‘₯(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) β†’ (π‘₯ = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∨ π‘₯ = (0.β€˜πΎ))))))
7369, 70, 723syl 18 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ ((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∈ 𝐴 ↔ ((β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) β‰  (0.β€˜πΎ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)(π‘₯(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) β†’ (π‘₯ = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∨ π‘₯ = (0.β€˜πΎ))))))
7415, 31, 68, 73mpbir3and 1343 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3914  {csn 4590   class class class wbr 5109  β—‘ccnv 5636  ran crn 5638  β€“1-1β†’wf1 6497  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6499  β€˜cfv 6500  Basecbs 17091  lecple 17148  0gc0g 17329  0.cp0 18320  LModclmod 20365  LSubSpclss 20436  LSpanclspn 20476  LVecclvec 20607  OPcops 37684  Atomscatm 37775  AtLatcal 37776  HLchlt 37862  LHypclh 38497  DVecHcdvh 39591  DIsoHcdih 39741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-undef 8208  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-0g 17331  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-lsm 19426  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lvec 20608  df-lsatoms 37488  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tendo 39268  df-edring 39270  df-disoa 39542  df-dvech 39592  df-dib 39652  df-dic 39686  df-dih 39742
This theorem is referenced by:  dihlatat  39850  djhcvat42  39928  dihprrnlem1N  39937  dihprrnlem2  39938
  Copyright terms: Public domain W3C validator