Theorem dihlspsnat 41954

Description: The inverse isomorphism H of the span of a singleton is a Hilbert lattice atom. (Contributed by NM, 27-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihlspsnat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihlspsnat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihlspsnat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihlspsnat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihlspsnat.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dihlspsnat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihlspsnat.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihlspsnat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem dihlspsnat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		dihlspsnat.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dihlspsnat.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		dihlspsnat.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
6	1, 2, 3, 4, 5	dihf11 41888	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈))
7	6	3ad2ant1 1146	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝐼:(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈))
8		f1f1orn 6818	. . . 4 ⊢ (𝐼:(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈) → 𝐼:(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran 𝐼)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝐼:(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran 𝐼)
10		dihlspsnat.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
11		dihlspsnat.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
12	2, 4, 10, 11, 3	dihlsprn 41952	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
13	12	3adant3 1145	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
14		f1ocnvdm 7269	. . 3 ⊢ ((𝐼:(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾))
15	9, 13, 14	syl2anc 593	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾))
16		fveq2 6867	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) = (0.‘𝐾) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝐼‘(0.‘𝐾)))
17	2, 3	dihcnvid2 41894	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
18	12, 17	syldan 600	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
19		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
20		dihlspsnat.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
21	19, 2, 3, 4, 20	dih0 41901	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = { 0 })
22	21	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = { 0 })
23	18, 22	eqeq12d 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝐼‘(0.‘𝐾)) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = { 0 }))
24		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
25	2, 4, 24	dvhlmod 41731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
26	10, 20, 11	lspsneq0 21076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
27	25, 26	sylan 589	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ))
28	23, 27	bitrd 281	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝐼‘(0.‘𝐾)) ↔ 𝑋 = 0 ))
29	16, 28	imbitrid 246	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) = (0.‘𝐾) → 𝑋 = 0 ))
30	29	necon3d 2978	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ≠ 0 → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≠ (0.‘𝐾)))
31	30	3impia 1130	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≠ (0.‘𝐾))
32		simpll1 1226	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
33	2, 4, 32	dvhlvec 41730	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑈 ∈ LVec)
34		simplr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
35	1, 2, 3, 4, 5	dihlss 41871	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘𝑥) ∈ (LSubSp‘𝑈))
36	32, 34, 35	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝐼‘𝑥) ∈ (LSubSp‘𝑈))
37		simpll2 1227	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
38		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
39	10, 20, 5, 11	lspsnat 21212	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ LVec ∧ (𝐼‘𝑥) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → ((𝐼‘𝑥) = (𝑁‘{𝑋}) ∨ (𝐼‘𝑥) = { 0 }))
40	33, 36, 37, 38, 39	syl31anc 1392	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → ((𝐼‘𝑥) = (𝑁‘{𝑋}) ∨ (𝐼‘𝑥) = { 0 }))
41	40	ex 416	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → ((𝐼‘𝑥) = (𝑁‘{𝑋}) ∨ (𝐼‘𝑥) = { 0 })))
42		simp1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
43	42, 13, 17	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
44	43	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
45	44	sseq2d 3968	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) ↔ (𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋})))
46		simpl1 1205	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
47		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
48	15	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾))
49		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
50	1, 49, 2, 3	dihord 41885	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) ↔ 𝑥(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))))
51	46, 47, 48, 50	syl3anc 1390	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) ⊆ (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) ↔ 𝑥(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))))
52	45, 51	bitr3d 283	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑥(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))))
53	44	eqeq2d 2773	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) ↔ (𝐼‘𝑥) = (𝑁‘{𝑋})))
54	1, 2, 3	dih11 41886	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) ↔ 𝑥 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))))
55	46, 47, 48, 54	syl3anc 1390	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))) ↔ 𝑥 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))))
56	53, 55	bitr3d 283	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑥 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋}))))
57	46, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = { 0 })
58	57	eqeq2d 2773	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(0.‘𝐾)) ↔ (𝐼‘𝑥) = { 0 }))
59		simpl1l 1238	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
60		hlop 39983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
61	1, 19	op0cl 39805	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
62	59, 60, 61	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
63	1, 2, 3	dih11 41886	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(0.‘𝐾)) ↔ 𝑥 = (0.‘𝐾)))
64	46, 47, 62, 63	syl3anc 1390	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(0.‘𝐾)) ↔ 𝑥 = (0.‘𝐾)))
65	58, 64	bitr3d 283	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘𝑥) = { 0 } ↔ 𝑥 = (0.‘𝐾)))
66	56, 65	orbi12d 929	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝐼‘𝑥) = (𝑁‘{𝑋}) ∨ (𝐼‘𝑥) = { 0 }) ↔ (𝑥 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∨ 𝑥 = (0.‘𝐾))))
67	41, 52, 66	3imtr3d 295	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∨ 𝑥 = (0.‘𝐾))))
68	67	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∨ 𝑥 = (0.‘𝐾))))
69		simp1l 1211	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝐾 ∈ HL)
70		hlatl 39981	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
71		dihlspsnat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
72	1, 49, 19, 71	isat3 39928	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝐴 ↔ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≠ (0.‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∨ 𝑥 = (0.‘𝐾))))))
73	69, 70, 72	3syl 18	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝐴 ↔ ((◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ≠ (0.‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)(◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∨ 𝑥 = (0.‘𝐾))))))
74	15, 31, 68, 73	mpbir3and 1356	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3076   ⊆ wss 3904  {csn 4582   class class class wbr 5100  ^◡ccnv 5646  ran crn 5648  –1-1→wf1 6518  –1-1-onto→wf1o 6520  ‘cfv 6521  Basecbs 17245  lecple 17293  0_gc0g 17468  0.cp0 18453  LModclmod 20924  LSubSpclss 20995  LSpanclspn 21035  LVecclvec 21166  OPcops 39793  Atomscatm 39884  AtLatcal 39885  HLchlt 39971  LHypclh 40605  DVecHcdvh 41699  DIsoHcdih 41849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-riotaBAD 39574

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-0g 17470  df-proset 18326  df-poset 18345  df-plt 18360  df-lub 18376  df-glb 18377  df-join 18378  df-meet 18379  df-p0 18455  df-p1 18456  df-lat 18464  df-clat 18531  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-cntz 19357  df-lsm 19676  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20228  df-ring 20281  df-oppr 20382  df-dvdsr 20402  df-unit 20403  df-invr 20433  df-dvr 20446  df-drng 20777  df-lmod 20926  df-lss 20996  df-lsp 21036  df-lvec 21167  df-lsatoms 39597  df-oposet 39797  df-ol 39799  df-oml 39800  df-covers 39887  df-ats 39888  df-atl 39919  df-cvlat 39943  df-hlat 39972  df-llines 40119  df-lplanes 40120  df-lvols 40121  df-lines 40122  df-psubsp 40124  df-pmap 40125  df-padd 40417  df-lhyp 40609  df-laut 40610  df-ldil 40725  df-ltrn 40726  df-trl 40780  df-tendo 41376  df-edring 41378  df-disoa 41650  df-dvech 41700  df-dib 41760  df-dic 41794  df-dih 41850

This theorem is referenced by:  dihlatat  41958  djhcvat42  42036  dihprrnlem1N  42045  dihprrnlem2  42046