Theorem cnvbraval 32129

Description: Value of the converse of the bra function. Based on the Riesz Lemma riesz4 32083, this very important theorem not only justifies the Dirac bra-ket notation, but allows to extract a unique vector from any continuous linear functional from which the functional can be recovered; i.e. a single vector can "store" all of the information contained in any entire continuous linear functional (mapping from ℋ to ℂ). (Contributed by NM, 26-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnvbraval	⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (◡bra‘𝑇) = (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem cnvbraval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bra11 32127	. . . . . . . . . 10 ⊢ bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn)
2		f1ocnvfv 7298	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦) = 𝑇 → (◡bra‘𝑇) = 𝑦))
3	1, 2	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((bra‘𝑦) = 𝑇 → (◡bra‘𝑇) = 𝑦))
4	3	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (◡bra‘𝑇) = 𝑦)
5	4	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
6	5	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
7		braval 31963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
8	7	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
9	8	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
11		fveq1 6905	. . . . . . 7 ⊢ ((bra‘𝑦) = 𝑇 → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
13	6, 10, 12	3eqtr2rd 2784	. . . . 5 ⊢ ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)))
14		rnbra 32126	. . . . . . . 8 ⊢ ran bra = (LinFn ∩ ContFn)
15	14	eleq2i 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ ran bra ↔ 𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn))
16		f1of 6848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn) → bra: ℋ⟶(LinFn ∩ ContFn))
17	1, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ bra: ℋ⟶(LinFn ∩ ContFn)
18		ffn 6736	. . . . . . . . 9 ⊢ (bra: ℋ⟶(LinFn ∩ ContFn) → bra Fn ℋ)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ bra Fn ℋ
20		fvelrnb 6969	. . . . . . . 8 ⊢ (bra Fn ℋ → (𝑇 ∈ ran bra ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ ran bra ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇)
22	15, 21	sylbb1 237	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇)
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇)
24	13, 23	r19.29a 3162	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)))
25	24	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)))
26		f1ocnvdm 7305	. . . . 5 ⊢ ((bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn)) → (◡bra‘𝑇) ∈ ℋ)
27	1, 26	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (◡bra‘𝑇) ∈ ℋ)
28		riesz4 32083	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
29		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (◡bra‘𝑇) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)))
30	29	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (◡bra‘𝑇) → ((𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇))))
31	30	ralbidv 3178	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (◡bra‘𝑇) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇))))
32	31	riota2 7413	. . . 4 ⊢ (((◡bra‘𝑇) ∈ ℋ ∧ ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)) ↔ (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) = (◡bra‘𝑇)))
33	27, 28, 32	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)) ↔ (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) = (◡bra‘𝑇)))
34	25, 33	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) = (◡bra‘𝑇))
35	34	eqcomd 2743	1 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (◡bra‘𝑇) = (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  ∃!wreu 3378   ∩ cin 3950  ^◡ccnv 5684  ran crn 5686   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561  ℩crio 7387  (class class class)co 7431   ℋchba 30938   ·_ih csp 30941  ContFnccnfn 30972  LinFnclf 30973  bracbr 30975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104  ax-hcompl 31221

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-lm 23237  df-t1 23322  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cfil 25289  df-cau 25290  df-cmet 25291  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-dip 30720  df-ssp 30741  df-ph 30832  df-cbn 30882  df-hnorm 30987  df-hba 30988  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-hcau 30992  df-sh 31226  df-ch 31240  df-oc 31271  df-ch0 31272  df-nmfn 31864  df-nlfn 31865  df-cnfn 31866  df-lnfn 31867  df-bra 31869

This theorem is referenced by:  bracnlnval  32133