Theorem cnvbraval 32631

Description: Value of the converse of the bra function. Based on the Riesz Lemma riesz4 32585, this very important theorem not only justifies the Dirac bra-ket notation, but allows to extract a unique vector from any continuous linear functional from which the functional can be recovered; i.e. a single vector can "store" all of the information contained in any entire continuous linear functional (mapping from ℋ to ℂ). (Contributed by NM, 26-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnvbraval	⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (◡bra‘𝑇) = (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem cnvbraval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bra11 32629	. . . . . . . . . 10 ⊢ bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn)
2		f1ocnvfv 7275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦) = 𝑇 → (◡bra‘𝑇) = 𝑦))
3	1, 2	mpan 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((bra‘𝑦) = 𝑇 → (◡bra‘𝑇) = 𝑦))
4	3	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (◡bra‘𝑇) = 𝑦)
5	4	oveq2d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
6	5	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
7		braval 32465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
8	7	ancoms 464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
9	8	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
10	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
11		fveq1 6873	. . . . . . 7 ⊢ ((bra‘𝑦) = 𝑇 → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
12	11	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
13	6, 10, 12	3eqtr2rd 2802	. . . . 5 ⊢ ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)))
14		rnbra 32628	. . . . . . . 8 ⊢ ran bra = (LinFn ∩ ContFn)
15	14	eleq2i 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ ran bra ↔ 𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn))
16		f1of 6813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn) → bra: ℋ⟶(LinFn ∩ ContFn))
17	1, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ bra: ℋ⟶(LinFn ∩ ContFn)
18		ffn 6698	. . . . . . . . 9 ⊢ (bra: ℋ⟶(LinFn ∩ ContFn) → bra Fn ℋ)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ bra Fn ℋ
20		fvelrnb 6934	. . . . . . . 8 ⊢ (bra Fn ℋ → (𝑇 ∈ ran bra ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ ran bra ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇)
22	15, 21	sylbb1 240	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇)
23	22	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇)
24	13, 23	r19.29a 3170	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)))
25	24	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)))
26		f1ocnvdm 7282	. . . . 5 ⊢ ((bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn)) → (◡bra‘𝑇) ∈ ℋ)
27	1, 26	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (◡bra‘𝑇) ∈ ℋ)
28		riesz4 32585	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
29		oveq2 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (◡bra‘𝑇) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)))
30	29	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (◡bra‘𝑇) → ((𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇))))
31	30	ralbidv 3185	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (◡bra‘𝑇) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇))))
32	31	riota2 7391	. . . 4 ⊢ (((◡bra‘𝑇) ∈ ℋ ∧ ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)) ↔ (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) = (◡bra‘𝑇)))
33	27, 28, 32	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)) ↔ (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) = (◡bra‘𝑇)))
34	25, 33	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) = (◡bra‘𝑇))
35	34	eqcomd 2766	1 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (◡bra‘𝑇) = (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∃!wreu 3363   ∩ cin 3898  ^◡ccnv 5647  ran crn 5649   Fn wfn 6523  ⟶wf 6524  –1-1-onto→wf1o 6527  ‘cfv 6528  ℩crio 7365  (class class class)co 7409   ℋchba 31440   ·_ih csp 31443  ContFnccnfn 31474  LinFnclf 31475  bracbr 31477

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cc 10470  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235  ax-addf 11236  ax-mulf 11237  ax-hilex 31520  ax-hfvadd 31521  ax-hvcom 31522  ax-hvass 31523  ax-hv0cl 31524  ax-hvaddid 31525  ax-hfvmul 31526  ax-hvmulid 31527  ax-hvmulass 31528  ax-hvdistr1 31529  ax-hvdistr2 31530  ax-hvmul0 31531  ax-hfi 31600  ax-his1 31603  ax-his2 31604  ax-his3 31605  ax-his4 31606  ax-hcompl 31723

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-xneg 13196  df-xadd 13197  df-xmul 13198  df-ioo 13435  df-ico 13437  df-icc 13438  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-fl 13886  df-seq 14099  df-exp 14159  df-hash 14428  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-clim 15608  df-rlim 15609  df-sum 15807  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-hom 17399  df-cco 17400  df-rest 17540  df-topn 17541  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-topgen 17561  df-pt 17562  df-prds 17565  df-xrs 17621  df-qtop 17626  df-imas 17627  df-xps 17629  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-submnd 18926  df-mulg 19225  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-psmet 21617  df-xmet 21618  df-met 21619  df-bl 21620  df-mopn 21621  df-fbas 21622  df-fg 21623  df-cnfld 21626  df-top 23159  df-topon 23176  df-topsp 23198  df-bases 23211  df-cld 23284  df-ntr 23285  df-cls 23286  df-nei 23363  df-cn 23492  df-cnp 23493  df-lm 23494  df-t1 23579  df-haus 23580  df-tx 23828  df-hmeo 24021  df-fil 24112  df-fm 24204  df-flim 24205  df-flf 24206  df-xms 24586  df-ms 24587  df-tms 24588  df-cfil 25523  df-cau 25524  df-cmet 25525  df-grpo 31014  df-gid 31015  df-ginv 31016  df-gdiv 31017  df-ablo 31066  df-vc 31080  df-nv 31113  df-va 31116  df-ba 31117  df-sm 31118  df-0v 31119  df-vs 31120  df-nmcv 31121  df-ims 31122  df-dip 31222  df-ssp 31243  df-ph 31334  df-cbn 31384  df-hnorm 31489  df-hba 31490  df-hvsub 31492  df-hlim 31493  df-hcau 31494  df-sh 31728  df-ch 31742  df-oc 31773  df-ch0 31774  df-nmfn 32366  df-nlfn 32367  df-cnfn 32368  df-lnfn 32369  df-bra 32371

This theorem is used by:  bracnlnval  32635