HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnvbraval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvbraval 29871
Description: Value of the converse of the bra function. Based on the Riesz Lemma riesz4 29825, this very important theorem not only justifies the Dirac bra-ket notation, but allows us to extract a unique vector from any continuous linear functional from which the functional can be recovered; i.e. a single vector can "store" all of the information contained in any entire continuous linear functional (mapping from to ). (Contributed by NM, 26-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnvbraval (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (bra‘𝑇) = (𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem cnvbraval
StepHypRef Expression
1 bra11 29869 . . . . . . . . . 10 bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn)
2 f1ocnvfv 7009 . . . . . . . . . 10 ((bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦) = 𝑇 → (bra‘𝑇) = 𝑦))
31, 2mpan 689 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → ((bra‘𝑦) = 𝑇 → (bra‘𝑇) = 𝑦))
43imp 410 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (bra‘𝑇) = 𝑦)
54oveq2d 7146 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (𝑥 ·ih (bra‘𝑇)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
65adantll 713 . . . . . 6 ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (𝑥 ·ih (bra‘𝑇)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
7 braval 29705 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
87ancoms 462 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
98adantll 713 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
109adantr 484 . . . . . 6 ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
11 fveq1 6642 . . . . . . 7 ((bra‘𝑦) = 𝑇 → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑇𝑥))
1211adantl 485 . . . . . 6 ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑇𝑥))
136, 10, 123eqtr2rd 2863 . . . . 5 ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih (bra‘𝑇)))
14 rnbra 29868 . . . . . . . 8 ran bra = (LinFn ∩ ContFn)
1514eleq2i 2903 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ ran bra ↔ 𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn))
16 f1of 6588 . . . . . . . . . 10 (bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn) → bra: ℋ⟶(LinFn ∩ ContFn))
171, 16ax-mp 5 . . . . . . . . 9 bra: ℋ⟶(LinFn ∩ ContFn)
18 ffn 6487 . . . . . . . . 9 (bra: ℋ⟶(LinFn ∩ ContFn) → bra Fn ℋ)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8 bra Fn ℋ
20 fvelrnb 6699 . . . . . . . 8 (bra Fn ℋ → (𝑇 ∈ ran bra ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ ran bra ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇)
2215, 21sylbb1 240 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇)
2322adantr 484 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇)
2413, 23r19.29a 3275 . . . 4 ((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih (bra‘𝑇)))
2524ralrimiva 3170 . . 3 (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih (bra‘𝑇)))
26 f1ocnvdm 7015 . . . . 5 ((bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn)) → (bra‘𝑇) ∈ ℋ)
271, 26mpan 689 . . . 4 (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (bra‘𝑇) ∈ ℋ)
28 riesz4 29825 . . . 4 (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
29 oveq2 7138 . . . . . . 7 (𝑦 = (bra‘𝑇) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (bra‘𝑇)))
3029eqeq2d 2832 . . . . . 6 (𝑦 = (bra‘𝑇) → ((𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih (bra‘𝑇))))
3130ralbidv 3185 . . . . 5 (𝑦 = (bra‘𝑇) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih (bra‘𝑇))))
3231riota2 7113 . . . 4 (((bra‘𝑇) ∈ ℋ ∧ ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih (bra‘𝑇)) ↔ (𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) = (bra‘𝑇)))
3327, 28, 32syl2anc 587 . . 3 (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih (bra‘𝑇)) ↔ (𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) = (bra‘𝑇)))
3425, 33mpbid 235 . 2 (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) = (bra‘𝑇))
3534eqcomd 2827 1 (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (bra‘𝑇) = (𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3126  wrex 3127  ∃!wreu 3128  cin 3909  ccnv 5527  ran crn 5529   Fn wfn 6323  wf 6324  1-1-ontowf1o 6327  cfv 6328  crio 7087  (class class class)co 7130  chba 28680   ·ih csp 28683  ContFnccnfn 28714  LinFnclf 28715  bracbr 28717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cc 9834  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593  ax-mulf 10594  ax-hilex 28760  ax-hfvadd 28761  ax-hvcom 28762  ax-hvass 28763  ax-hv0cl 28764  ax-hvaddid 28765  ax-hfvmul 28766  ax-hvmulid 28767  ax-hvmulass 28768  ax-hvdistr1 28769  ax-hvdistr2 28770  ax-hvmul0 28771  ax-hfi 28840  ax-his1 28843  ax-his2 28844  ax-his3 28845  ax-his4 28846  ax-hcompl 28963
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-omul 8082  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-acn 9347  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-ioo 12720  df-ico 12722  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-rlim 14825  df-sum 15022  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-starv 16558  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-ip 16561  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ds 16565  df-unif 16566  df-hom 16567  df-cco 16568  df-rest 16674  df-topn 16675  df-0g 16693  df-gsum 16694  df-topgen 16695  df-pt 16696  df-prds 16699  df-xrs 16753  df-qtop 16758  df-imas 16759  df-xps 16761  df-mre 16835  df-mrc 16836  df-acs 16838  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-submnd 17935  df-mulg 18203  df-cntz 18425  df-cmn 18886  df-psmet 20512  df-xmet 20513  df-met 20514  df-bl 20515  df-mopn 20516  df-fbas 20517  df-fg 20518  df-cnfld 20521  df-top 21477  df-topon 21494  df-topsp 21516  df-bases 21529  df-cld 21602  df-ntr 21603  df-cls 21604  df-nei 21681  df-cn 21810  df-cnp 21811  df-lm 21812  df-t1 21897  df-haus 21898  df-tx 22145  df-hmeo 22338  df-fil 22429  df-fm 22521  df-flim 22522  df-flf 22523  df-xms 22905  df-ms 22906  df-tms 22907  df-cfil 23837  df-cau 23838  df-cmet 23839  df-grpo 28254  df-gid 28255  df-ginv 28256  df-gdiv 28257  df-ablo 28306  df-vc 28320  df-nv 28353  df-va 28356  df-ba 28357  df-sm 28358  df-0v 28359  df-vs 28360  df-nmcv 28361  df-ims 28362  df-dip 28462  df-ssp 28483  df-ph 28574  df-cbn 28624  df-hnorm 28729  df-hba 28730  df-hvsub 28732  df-hlim 28733  df-hcau 28734  df-sh 28968  df-ch 28982  df-oc 29013  df-ch0 29014  df-nmfn 29606  df-nlfn 29607  df-cnfn 29608  df-lnfn 29609  df-bra 29611
This theorem is referenced by:  bracnlnval  29875
  Copyright terms: Public domain W3C validator