Theorem cnvbraval 32473

Description: Value of the converse of the bra function. Based on the Riesz Lemma riesz4 32427, this very important theorem not only justifies the Dirac bra-ket notation, but allows to extract a unique vector from any continuous linear functional from which the functional can be recovered; i.e. a single vector can "store" all of the information contained in any entire continuous linear functional (mapping from ℋ to ℂ). (Contributed by NM, 26-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnvbraval	⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (◡bra‘𝑇) = (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem cnvbraval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bra11 32471	. . . . . . . . . 10 ⊢ bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn)
2		f1ocnvfv 7276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦) = 𝑇 → (◡bra‘𝑇) = 𝑦))
3	1, 2	mpan 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((bra‘𝑦) = 𝑇 → (◡bra‘𝑇) = 𝑦))
4	3	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (◡bra‘𝑇) = 𝑦)
5	4	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
6	5	adantll 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
7		braval 32307	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
8	7	ancoms 463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
9	8	adantll 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
10	9	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
11		fveq1 6880	. . . . . . 7 ⊢ ((bra‘𝑦) = 𝑇 → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
12	11	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
13	6, 10, 12	3eqtr2rd 2804	. . . . 5 ⊢ ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)))
14		rnbra 32470	. . . . . . . 8 ⊢ ran bra = (LinFn ∩ ContFn)
15	14	eleq2i 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ ran bra ↔ 𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn))
16		f1of 6820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn) → bra: ℋ⟶(LinFn ∩ ContFn))
17	1, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ bra: ℋ⟶(LinFn ∩ ContFn)
18		ffn 6705	. . . . . . . . 9 ⊢ (bra: ℋ⟶(LinFn ∩ ContFn) → bra Fn ℋ)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ bra Fn ℋ
20		fvelrnb 6941	. . . . . . . 8 ⊢ (bra Fn ℋ → (𝑇 ∈ ran bra ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ ran bra ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇)
22	15, 21	sylbb1 240	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇)
23	22	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇)
24	13, 23	r19.29a 3172	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)))
25	24	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)))
26		f1ocnvdm 7283	. . . . 5 ⊢ ((bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn)) → (◡bra‘𝑇) ∈ ℋ)
27	1, 26	mpan 702	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (◡bra‘𝑇) ∈ ℋ)
28		riesz4 32427	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
29		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (◡bra‘𝑇) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)))
30	29	eqeq2d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (◡bra‘𝑇) → ((𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇))))
31	30	ralbidv 3187	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (◡bra‘𝑇) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇))))
32	31	riota2 7394	. . . 4 ⊢ (((◡bra‘𝑇) ∈ ℋ ∧ ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)) ↔ (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) = (◡bra‘𝑇)))
33	27, 28, 32	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)) ↔ (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) = (◡bra‘𝑇)))
34	25, 33	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) = (◡bra‘𝑇))
35	34	eqcomd 2768	1 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (◡bra‘𝑇) = (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  ∃!wreu 3366   ∩ cin 3903  ^◡ccnv 5659  ran crn 5661   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  ℩crio 7368  (class class class)co 7412   ℋchba 31282   ·_ih csp 31285  ContFnccnfn 31316  LinFnclf 31317  bracbr 31319

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cc 10425  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 31362  ax-hfvadd 31363  ax-hvcom 31364  ax-hvass 31365  ax-hv0cl 31366  ax-hvaddid 31367  ax-hfvmul 31368  ax-hvmulid 31369  ax-hvmulass 31370  ax-hvdistr1 31371  ax-hvdistr2 31372  ax-hvmul0 31373  ax-hfi 31442  ax-his1 31445  ax-his2 31446  ax-his3 31447  ax-his4 31448  ax-hcompl 31565

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-omul 8456  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-acn 9935  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-clim 15546  df-rlim 15547  df-sum 15745  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-rest 17481  df-topn 17482  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-topgen 17502  df-pt 17503  df-prds 17506  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-mulg 19140  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-fbas 21530  df-fg 21531  df-cnfld 21534  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-cld 23187  df-ntr 23188  df-cls 23189  df-nei 23266  df-cn 23395  df-cnp 23396  df-lm 23397  df-t1 23482  df-haus 23483  df-tx 23730  df-hmeo 23923  df-fil 24014  df-fm 24106  df-flim 24107  df-flf 24108  df-xms 24488  df-ms 24489  df-tms 24490  df-cfil 25425  df-cau 25426  df-cmet 25427  df-grpo 30856  df-gid 30857  df-ginv 30858  df-gdiv 30859  df-ablo 30908  df-vc 30922  df-nv 30955  df-va 30958  df-ba 30959  df-sm 30960  df-0v 30961  df-vs 30962  df-nmcv 30963  df-ims 30964  df-dip 31064  df-ssp 31085  df-ph 31176  df-cbn 31226  df-hnorm 31331  df-hba 31332  df-hvsub 31334  df-hlim 31335  df-hcau 31336  df-sh 31570  df-ch 31584  df-oc 31615  df-ch0 31616  df-nmfn 32208  df-nlfn 32209  df-cnfn 32210  df-lnfn 32211  df-bra 32213

This theorem is used by:  bracnlnval  32477