Theorem cnvbraval 32189

Description: Value of the converse of the bra function. Based on the Riesz Lemma riesz4 32143, this very important theorem not only justifies the Dirac bra-ket notation, but allows to extract a unique vector from any continuous linear functional from which the functional can be recovered; i.e. a single vector can "store" all of the information contained in any entire continuous linear functional (mapping from ℋ to ℂ). (Contributed by NM, 26-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnvbraval	⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (◡bra‘𝑇) = (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem cnvbraval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bra11 32187	. . . . . . . . . 10 ⊢ bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn)
2		f1ocnvfv 7226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦) = 𝑇 → (◡bra‘𝑇) = 𝑦))
3	1, 2	mpan 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((bra‘𝑦) = 𝑇 → (◡bra‘𝑇) = 𝑦))
4	3	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (◡bra‘𝑇) = 𝑦)
5	4	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
6	5	adantll 715	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
7		braval 32023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
8	7	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
9	8	adantll 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
11		fveq1 6834	. . . . . . 7 ⊢ ((bra‘𝑦) = 𝑇 → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
13	6, 10, 12	3eqtr2rd 2779	. . . . 5 ⊢ ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)))
14		rnbra 32186	. . . . . . . 8 ⊢ ran bra = (LinFn ∩ ContFn)
15	14	eleq2i 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ ran bra ↔ 𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn))
16		f1of 6775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn) → bra: ℋ⟶(LinFn ∩ ContFn))
17	1, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ bra: ℋ⟶(LinFn ∩ ContFn)
18		ffn 6663	. . . . . . . . 9 ⊢ (bra: ℋ⟶(LinFn ∩ ContFn) → bra Fn ℋ)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ bra Fn ℋ
20		fvelrnb 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (bra Fn ℋ → (𝑇 ∈ ran bra ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ ran bra ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇)
22	15, 21	sylbb1 237	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇)
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇)
24	13, 23	r19.29a 3145	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)))
25	24	ralrimiva 3129	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)))
26		f1ocnvdm 7233	. . . . 5 ⊢ ((bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn)) → (◡bra‘𝑇) ∈ ℋ)
27	1, 26	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (◡bra‘𝑇) ∈ ℋ)
28		riesz4 32143	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
29		oveq2 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (◡bra‘𝑇) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)))
30	29	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (◡bra‘𝑇) → ((𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇))))
31	30	ralbidv 3160	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (◡bra‘𝑇) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇))))
32	31	riota2 7342	. . . 4 ⊢ (((◡bra‘𝑇) ∈ ℋ ∧ ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)) ↔ (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) = (◡bra‘𝑇)))
33	27, 28, 32	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)) ↔ (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) = (◡bra‘𝑇)))
34	25, 33	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) = (◡bra‘𝑇))
35	34	eqcomd 2743	1 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (◡bra‘𝑇) = (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  ∃!wreu 3349   ∩ cin 3901  ^◡ccnv 5624  ran crn 5626   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493  ℩crio 7316  (class class class)co 7360   ℋchba 30998   ·_ih csp 31001  ContFnccnfn 31032  LinFnclf 31033  bracbr 31035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cc 10349  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109  ax-mulf 11110  ax-hilex 31078  ax-hfvadd 31079  ax-hvcom 31080  ax-hvass 31081  ax-hv0cl 31082  ax-hvaddid 31083  ax-hfvmul 31084  ax-hvmulid 31085  ax-hvmulass 31086  ax-hvdistr1 31087  ax-hvdistr2 31088  ax-hvmul0 31089  ax-hfi 31158  ax-his1 31161  ax-his2 31162  ax-his3 31163  ax-his4 31164  ax-hcompl 31281

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9855  df-acn 9858  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-rlim 15416  df-sum 15614  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17346  df-topn 17347  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-topgen 17367  df-pt 17368  df-prds 17371  df-xrs 17427  df-qtop 17432  df-imas 17433  df-xps 17435  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-mulg 19002  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-lm 23177  df-t1 23262  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24268  df-ms 24269  df-tms 24270  df-cfil 25215  df-cau 25216  df-cmet 25217  df-grpo 30572  df-gid 30573  df-ginv 30574  df-gdiv 30575  df-ablo 30624  df-vc 30638  df-nv 30671  df-va 30674  df-ba 30675  df-sm 30676  df-0v 30677  df-vs 30678  df-nmcv 30679  df-ims 30680  df-dip 30780  df-ssp 30801  df-ph 30892  df-cbn 30942  df-hnorm 31047  df-hba 31048  df-hvsub 31050  df-hlim 31051  df-hcau 31052  df-sh 31286  df-ch 31300  df-oc 31331  df-ch0 31332  df-nmfn 31924  df-nlfn 31925  df-cnfn 31926  df-lnfn 31927  df-bra 31929

This theorem is referenced by:  bracnlnval  32193