Theorem diacnvclN 41379

Description: Closure of partial isomorphism A converse. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia1o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1o.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
diacnvclN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ dom 𝐼)

Proof of Theorem diacnvclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia1o.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dia1o.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	diaf11N 41377	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)
4		f1ocnvdm 7233	. 2 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ dom 𝐼)
5	3, 4	sylan 581	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ dom 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625  ran crn 5626  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493  HLchlt 39678  LHypclh 40312  DIsoAcdia 41356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-riotaBAD 39281

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-undef 8217  df-map 8769  df-proset 18221  df-poset 18240  df-plt 18255  df-lub 18271  df-glb 18272  df-join 18273  df-meet 18274  df-p0 18350  df-p1 18351  df-lat 18359  df-clat 18426  df-oposet 39504  df-ol 39506  df-oml 39507  df-covers 39594  df-ats 39595  df-atl 39626  df-cvlat 39650  df-hlat 39679  df-llines 39826  df-lplanes 39827  df-lvols 39828  df-lines 39829  df-psubsp 39831  df-pmap 39832  df-padd 40124  df-lhyp 40316  df-laut 40317  df-ldil 40432  df-ltrn 40433  df-trl 40487  df-disoa 41357

This theorem is referenced by:  diainN  41385  diasslssN  41387  docaclN  41452  doca3N  41455