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Theorem axcontlem10 26430
Description: Lemma for axcont 26433. Given a handful of assumptions, derive the conclusion of the final theorem. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem10.1 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
axcontlem10.2 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))))}
Assertion
Ref Expression
axcontlem10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑝,𝑥   𝐵,𝑏,𝑝,𝑥,𝑦   𝐷,𝑝,𝑡,𝑥   𝐹,𝑏   𝑖,𝐹,𝑝,𝑡,𝑥   𝑦,𝐹   𝑁,𝑏   𝑖,𝑁,𝑝,𝑡,𝑥   𝑦,𝑁   𝑈,𝑏   𝑈,𝑖,𝑝,𝑡,𝑥   𝑦,𝑈   𝑍,𝑏   𝑖,𝑍,𝑝,𝑡,𝑥   𝑦,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑡,𝑖)   𝐵(𝑡,𝑖)   𝐷(𝑦,𝑖,𝑏)

Proof of Theorem axcontlem10
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5809 . . . . 5 (𝐹𝐴) ⊆ ran 𝐹
2 simpll 763 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3 simprl1 1209 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
4 simplr1 1206 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁))
5 simprl2 1210 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝑈𝐴)
64, 5sseldd 3885 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁))
7 simprr 769 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝑍𝑈)
8 axcontlem10.1 . . . . . . . 8 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
9 axcontlem10.2 . . . . . . . 8 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))))}
108, 9axcontlem2 26422 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) → 𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞))
112, 3, 6, 7, 10syl31anc 1364 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞))
12 f1ofo 6482 . . . . . 6 (𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞) → 𝐹:𝐷onto→(0[,)+∞))
13 forn 6453 . . . . . 6 (𝐹:𝐷onto→(0[,)+∞) → ran 𝐹 = (0[,)+∞))
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ran 𝐹 = (0[,)+∞))
151, 14sseqtrid 3935 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝐹𝐴) ⊆ (0[,)+∞))
16 rge0ssre 12683 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
1715, 16syl6ss 3896 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝐹𝐴) ⊆ ℝ)
18 imassrn 5809 . . . . 5 (𝐹𝐵) ⊆ ran 𝐹
1918, 14sseqtrid 3935 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝐹𝐵) ⊆ (0[,)+∞))
2019, 16syl6ss 3896 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝐹𝐵) ⊆ ℝ)
218, 9axcontlem9 26429 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)𝑚𝑛)
22 dedekindle 10640 . . 3 (((𝐹𝐴) ⊆ ℝ ∧ (𝐹𝐵) ⊆ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)𝑚𝑛) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛))
2317, 20, 21, 22syl3anc 1362 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛))
24 simpr 485 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℝ)
25 simprl3 1211 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐵 ≠ ∅)
2625ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ ∅)
27 n0 4224 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏𝐵)
2826, 27sylib 219 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ∃𝑏 𝑏𝐵)
29 0red 10479 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
30 f1of 6475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞) → 𝐹:𝐷⟶(0[,)+∞))
3111, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐹:𝐷⟶(0[,)+∞))
328axcontlem4 26424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐴𝐷)
3332, 5sseldd 3885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝑈𝐷)
3431, 33ffvelrnd 6708 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝐹𝑈) ∈ (0[,)+∞))
3516, 34sseldi 3882 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
3635ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
37 simprl 767 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑘 ∈ ℝ)
38 elrege0 12681 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑈) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑈)))
3938simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑈) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝐹𝑈))
4034, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 0 ≤ (𝐹𝑈))
4140ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → 0 ≤ (𝐹𝑈))
42 f1of1 6474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞) → 𝐹:𝐷1-1→(0[,)+∞))
4311, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐹:𝐷1-1→(0[,)+∞))
44 f1elima 6877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:𝐷1-1→(0[,)+∞) ∧ 𝑈𝐷𝐴𝐷) → ((𝐹𝑈) ∈ (𝐹𝐴) ↔ 𝑈𝐴))
4543, 33, 32, 44syl3anc 1362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ((𝐹𝑈) ∈ (𝐹𝐴) ↔ 𝑈𝐴))
465, 45mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝐹𝑈) ∈ (𝐹𝐴))
4746adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹𝑈) ∈ (𝐹𝐴))
48 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏𝐵)
4943adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝐹:𝐷1-1→(0[,)+∞))
50 simpl1 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
51 simpl2 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈) → 𝑈𝐴)
52 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈) → 𝑍𝑈)
5350, 51, 523jca 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈) → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝑍𝑈))
548axcontlem3 26423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝑍𝑈)) → 𝐵𝐷)
5553, 54sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐵𝐷)
5655sselda 3884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏𝐷)
5755adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝐵𝐷)
58 f1elima 6877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:𝐷1-1→(0[,)+∞) ∧ 𝑏𝐷𝐵𝐷) → ((𝐹𝑏) ∈ (𝐹𝐵) ↔ 𝑏𝐵))
5949, 56, 57, 58syl3anc 1362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ 𝑏𝐵) → ((𝐹𝑏) ∈ (𝐹𝐵) ↔ 𝑏𝐵))
6048, 59mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐹𝑏) ∈ (𝐹𝐵))
6160adantrl 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹𝑏) ∈ (𝐹𝐵))
6247, 61jca 512 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → ((𝐹𝑈) ∈ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑏) ∈ (𝐹𝐵)))
63 breq1 4959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = (𝐹𝑈) → (𝑚𝑘 ↔ (𝐹𝑈) ≤ 𝑘))
6463anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = (𝐹𝑈) → ((𝑚𝑘𝑘𝑛) ↔ ((𝐹𝑈) ≤ 𝑘𝑘𝑛)))
65 breq2 4960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝐹𝑏) → (𝑘𝑛𝑘 ≤ (𝐹𝑏)))
6665anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝐹𝑏) → (((𝐹𝑈) ≤ 𝑘𝑘𝑛) ↔ ((𝐹𝑈) ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝐹𝑏))))
6764, 66rspc2va 3568 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹𝑈) ∈ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑏) ∈ (𝐹𝐵)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) → ((𝐹𝑈) ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝐹𝑏)))
6862, 67sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) → ((𝐹𝑈) ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝐹𝑏)))
6968an32s 648 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → ((𝐹𝑈) ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝐹𝑏)))
7069simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹𝑈) ≤ 𝑘)
7129, 36, 37, 41, 70letrd 10633 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏𝐵)) → 0 ≤ 𝑘)
7271expr 457 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑏𝐵 → 0 ≤ 𝑘))
7372exlimdv 1909 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∃𝑏 𝑏𝐵 → 0 ≤ 𝑘))
7428, 73mpd 15 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑘)
75 elrege0 12681 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘))
7624, 74, 75sylanbrc 583 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ (0[,)+∞))
7776ex 413 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) → (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ (0[,)+∞)))
788ssrab3 3973 . . . . . . . . 9 𝐷 ⊆ (𝔼‘𝑁)
79 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑘 ∈ (0[,)+∞))
80 f1ocnvdm 6897 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐷)
8111, 79, 80syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐷)
8278, 81sseldi 3882 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞))) → (𝐹𝑘) ∈ (𝔼‘𝑁))
832, 3, 63jca 1119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)))
8483, 7jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈))
8584adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈))
8632sselda 3884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ 𝑞𝐴) → 𝑞𝐷)
8786adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → 𝑞𝐷)
8887adantrl 712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → 𝑞𝐷)
89 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → 𝑘 ∈ (0[,)+∞))
9011, 89, 80syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐷)
9155sselda 3884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ 𝑟𝐵) → 𝑟𝐷)
9291adantrl 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → 𝑟𝐷)
9392adantrl 712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → 𝑟𝐷)
9488, 90, 933jca 1119 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝑞𝐷 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐷𝑟𝐷))
9585, 94jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑞𝐷 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐷𝑟𝐷)))
96 f1ofun 6477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞) → Fun 𝐹)
9711, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → Fun 𝐹)
98 fdm 6382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹:𝐷⟶(0[,)+∞) → dom 𝐹 = 𝐷)
9911, 30, 983syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → dom 𝐹 = 𝐷)
10032, 99sseqtr4d 3924 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
101 funfvima2 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝑞𝐴 → (𝐹𝑞) ∈ (𝐹𝐴)))
10297, 100, 101syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝑞𝐴 → (𝐹𝑞) ∈ (𝐹𝐴)))
10355, 99sseqtr4d 3924 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → 𝐵 ⊆ dom 𝐹)
104 funfvima2 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Fun 𝐹𝐵 ⊆ dom 𝐹) → (𝑟𝐵 → (𝐹𝑟) ∈ (𝐹𝐵)))
10597, 103, 104syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝑟𝐵 → (𝐹𝑟) ∈ (𝐹𝐵)))
106102, 105anim12d 608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ((𝑞𝐴𝑟𝐵) → ((𝐹𝑞) ∈ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑟) ∈ (𝐹𝐵))))
107106imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → ((𝐹𝑞) ∈ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑟) ∈ (𝐹𝐵)))
108107adantrl 712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ((𝐹𝑞) ∈ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑟) ∈ (𝐹𝐵)))
109 simprll 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛))
110 breq1 4959 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = (𝐹𝑞) → (𝑚𝑘 ↔ (𝐹𝑞) ≤ 𝑘))
111110anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (𝐹𝑞) → ((𝑚𝑘𝑘𝑛) ↔ ((𝐹𝑞) ≤ 𝑘𝑘𝑛)))
112 breq2 4960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝐹𝑟) → (𝑘𝑛𝑘 ≤ (𝐹𝑟)))
113112anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝐹𝑟) → (((𝐹𝑞) ≤ 𝑘𝑘𝑛) ↔ ((𝐹𝑞) ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝐹𝑟))))
114111, 113rspc2v 3567 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑞) ∈ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑟) ∈ (𝐹𝐵)) → (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) → ((𝐹𝑞) ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝐹𝑟))))
115108, 109, 114sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ((𝐹𝑞) ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝐹𝑟)))
116 f1ocnvfv2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘(𝐹𝑘)) = 𝑘)
11711, 89, 116syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝐹‘(𝐹𝑘)) = 𝑘)
118117breq2d 4968 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ((𝐹𝑞) ≤ (𝐹‘(𝐹𝑘)) ↔ (𝐹𝑞) ≤ 𝑘))
119117breq1d 4966 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ((𝐹‘(𝐹𝑘)) ≤ (𝐹𝑟) ↔ 𝑘 ≤ (𝐹𝑟)))
120118, 119anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (((𝐹𝑞) ≤ (𝐹‘(𝐹𝑘)) ∧ (𝐹‘(𝐹𝑘)) ≤ (𝐹𝑟)) ↔ ((𝐹𝑞) ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝐹𝑟))))
121115, 120mpbird 258 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → ((𝐹𝑞) ≤ (𝐹‘(𝐹𝑘)) ∧ (𝐹‘(𝐹𝑘)) ≤ (𝐹𝑟)))
1228, 9axcontlem8 26428 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ (𝑞𝐷 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝐷𝑟𝐷)) → (((𝐹𝑞) ≤ (𝐹‘(𝐹𝑘)) ∧ (𝐹‘(𝐹𝑘)) ≤ (𝐹𝑟)) → (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑞, 𝑟⟩))
12395, 121, 122sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵))) → (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑞, 𝑟⟩)
124123anassrs 468 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞))) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐵)) → (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑞, 𝑟⟩)
125124ralrimivva 3156 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞))) → ∀𝑞𝐴𝑟𝐵 (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑞, 𝑟⟩)
126 opeq1 4704 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑥 → ⟨𝑞, 𝑟⟩ = ⟨𝑥, 𝑟⟩)
127126breq2d 4968 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑥 → ((𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑞, 𝑟⟩ ↔ (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑟⟩))
128 opeq2 4705 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑦 → ⟨𝑥, 𝑟⟩ = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
129128breq2d 4968 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑦 → ((𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑟⟩ ↔ (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
130127, 129cbvral2v 3409 . . . . . . . . 9 (∀𝑞𝐴𝑟𝐵 (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑞, 𝑟⟩ ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
131125, 130sylib 219 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞))) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
132 breq1 4959 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝐹𝑘) → (𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
1331322ralbidv 3164 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐹𝑘) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
134133rspcev 3554 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑘) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐹𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
13582, 131, 134syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
136135expr 457 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) → (𝑘 ∈ (0[,)+∞) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
13777, 136syld 47 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛)) → (𝑘 ∈ ℝ → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
138137ex 413 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) → (𝑘 ∈ ℝ → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)))
139138com23 86 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (𝑘 ∈ ℝ → (∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)))
140139rexlimdv 3243 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝐹𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹𝐵)(𝑚𝑘𝑘𝑛) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
14123, 140mpd 15 1 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842  w3a 1078   = wceq 1520  wex 1759  wcel 2079  wne 2982  wral 3103  wrex 3104  {crab 3107  wss 3854  c0 4206  cop 4472   class class class wbr 4956  {copab 5018  ccnv 5434  dom cdm 5435  ran crn 5436  cima 5438  Fun wfun 6211  wf 6213  1-1wf1 6214  ontowfo 6215  1-1-ontowf1o 6216  cfv 6217  (class class class)co 7007  cr 10371  0cc0 10372  1c1 10373   + caddc 10375   · cmul 10377  +∞cpnf 10507  cle 10511  cmin 10706  cn 11475  [,)cico 12579  ...cfz 12731  𝔼cee 26345   Btwn cbtwn 26346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-map 8249  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-z 11819  df-uz 12083  df-ico 12583  df-icc 12584  df-fz 12732  df-ee 26348  df-btwn 26349
This theorem is referenced by:  axcontlem11  26431
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