Theorem axcontlem10 28739

Description: Lemma for axcont 28742. Given a handful of assumptions, derive the conclusion of the final theorem. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcontlem10.1	⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
axcontlem10.2	⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))}

Assertion

Ref	Expression
axcontlem10	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑝,𝑥   𝐵,𝑏,𝑝,𝑥,𝑦   𝐷,𝑝,𝑡,𝑥   𝐹,𝑏   𝑖,𝐹,𝑝,𝑡,𝑥   𝑦,𝐹   𝑁,𝑏   𝑖,𝑁,𝑝,𝑡,𝑥   𝑦,𝑁   𝑈,𝑏   𝑈,𝑖,𝑝,𝑡,𝑥   𝑦,𝑈   𝑍,𝑏   𝑖,𝑍,𝑝,𝑡,𝑥   𝑦,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑡,𝑖)   𝐵(𝑡,𝑖)   𝐷(𝑦,𝑖,𝑏)

Proof of Theorem axcontlem10

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 6064	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) ⊆ ran 𝐹
2		simpll 764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simprl1 1215	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
4		simplr1 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁))
5		simprl2 1216	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝐴)
6	4, 5	sseldd 3978	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		simprr 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝑍 ≠ 𝑈)
8		axcontlem10.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
9		axcontlem10.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))}
10	8, 9	axcontlem2 28731	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → 𝐹:𝐷–1-1-onto→(0[,)+∞))
11	2, 3, 6, 7, 10	syl31anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝐹:𝐷–1-1-onto→(0[,)+∞))
12		f1ofo 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→(0[,)+∞) → 𝐹:𝐷–onto→(0[,)+∞))
13		forn 6802	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐷–onto→(0[,)+∞) → ran 𝐹 = (0[,)+∞))
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ran 𝐹 = (0[,)+∞))
15	1, 14	sseqtrid 4029	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → (𝐹 “ 𝐴) ⊆ (0[,)+∞))
16		rge0ssre 13439	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
17	15, 16	sstrdi 3989	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → (𝐹 “ 𝐴) ⊆ ℝ)
18		imassrn 6064	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐹
19	18, 14	sseqtrid 4029	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → (𝐹 “ 𝐵) ⊆ (0[,)+∞))
20	19, 16	sstrdi 3989	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → (𝐹 “ 𝐵) ⊆ ℝ)
21	8, 9	axcontlem9 28738	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)𝑚 ≤ 𝑛)
22		dedekindle 11382	. . 3 ⊢ (((𝐹 “ 𝐴) ⊆ ℝ ∧ (𝐹 “ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)𝑚 ≤ 𝑛) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛))
23	17, 20, 21, 22	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛))
24		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℝ)
25		simprl3 1217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝐵 ≠ ∅)
26	25	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ ∅)
27		n0 4341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐵)
28	26, 27	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐵)
29		0red 11221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
30		f1of 6827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→(0[,)+∞) → 𝐹:𝐷⟶(0[,)+∞))
31	11, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝐹:𝐷⟶(0[,)+∞))
32	8	axcontlem4 28733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝐴 ⊆ 𝐷)
33	32, 5	sseldd 3978	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝐷)
34	31, 33	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → (𝐹‘𝑈) ∈ (0[,)+∞))
35	16, 34	sselid 3975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → (𝐹‘𝑈) ∈ ℝ)
36	35	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑈) ∈ ℝ)
37		simprl 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑘 ∈ ℝ)
38		elrege0 13437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑈) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑈)))
39	38	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝑈) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝑈))
40	34, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑈))
41	40	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑈))
42		f1of1 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→(0[,)+∞) → 𝐹:𝐷–1-1→(0[,)+∞))
43	11, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝐹:𝐷–1-1→(0[,)+∞))
44		f1elima 7258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹:𝐷–1-1→(0[,)+∞) ∧ 𝑈 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐷) → ((𝐹‘𝑈) ∈ (𝐹 “ 𝐴) ↔ 𝑈 ∈ 𝐴))
45	43, 33, 32, 44	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ((𝐹‘𝑈) ∈ (𝐹 “ 𝐴) ↔ 𝑈 ∈ 𝐴))
46	5, 45	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → (𝐹‘𝑈) ∈ (𝐹 “ 𝐴))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑈) ∈ (𝐹 “ 𝐴))
48		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐵)
49	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐹:𝐷–1-1→(0[,)+∞))
50		simpl1 1188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
51		simpl2 1189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐴)
52		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → 𝑍 ≠ 𝑈)
53	50, 51, 52	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑈))
54	8	axcontlem3 28732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝐵 ⊆ 𝐷)
55	53, 54	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝐵 ⊆ 𝐷)
56	55	sselda 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐷)
57	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐷)
58		f1elima 7258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹:𝐷–1-1→(0[,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) → ((𝐹‘𝑏) ∈ (𝐹 “ 𝐵) ↔ 𝑏 ∈ 𝐵))
59	49, 56, 57, 58	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑏) ∈ (𝐹 “ 𝐵) ↔ 𝑏 ∈ 𝐵))
60	48, 59	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑏) ∈ (𝐹 “ 𝐵))
61	60	adantrl 713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑏) ∈ (𝐹 “ 𝐵))
62	47, 61	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑈) ∈ (𝐹 “ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ (𝐹 “ 𝐵)))
63		breq1 5144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 = (𝐹‘𝑈) → (𝑚 ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘𝑈) ≤ 𝑘))
64	63	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = (𝐹‘𝑈) → ((𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ↔ ((𝐹‘𝑈) ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)))
65		breq2 5145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (𝐹‘𝑏) → (𝑘 ≤ 𝑛 ↔ 𝑘 ≤ (𝐹‘𝑏)))
66	65	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = (𝐹‘𝑏) → (((𝐹‘𝑈) ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ↔ ((𝐹‘𝑈) ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝐹‘𝑏))))
67	64, 66	rspc2va 3618	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹‘𝑈) ∈ (𝐹 “ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ (𝐹 “ 𝐵)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)) → ((𝐹‘𝑈) ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝐹‘𝑏)))
68	62, 67	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)) → ((𝐹‘𝑈) ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝐹‘𝑏)))
69	68	an32s 649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑈) ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝐹‘𝑏)))
70	69	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑈) ≤ 𝑘)
71	29, 36, 37, 41, 70	letrd 11375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 0 ≤ 𝑘)
72	71	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ 𝑘))
73	72	exlimdv 1928	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐵 → 0 ≤ 𝑘))
74	28, 73	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑘)
75		elrege0 13437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑘))
76	24, 74, 75	sylanbrc 582	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ (0[,)+∞))
77	76	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)) → (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ (0[,)+∞)))
78	8	ssrab3 4075	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ⊆ (𝔼‘𝑁)
79		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑘 ∈ (0[,)+∞))
80		f1ocnvdm 7279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐷–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) → (◡𝐹‘𝑘) ∈ 𝐷)
81	11, 79, 80	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞))) → (◡𝐹‘𝑘) ∈ 𝐷)
82	78, 81	sselid 3975	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞))) → (◡𝐹‘𝑘) ∈ (𝔼‘𝑁))
83	2, 3, 6	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)))
84	83, 7	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈))
85	84	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵))) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈))
86	32	sselda 3977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐷)
87	86	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝐷)
88	87	adantrl 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵))) → 𝑞 ∈ 𝐷)
89		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑘 ∈ (0[,)+∞))
90	11, 89, 80	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵))) → (◡𝐹‘𝑘) ∈ 𝐷)
91	55	sselda 3977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → 𝑟 ∈ 𝐷)
92	91	adantrl 713	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑟 ∈ 𝐷)
93	92	adantrl 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵))) → 𝑟 ∈ 𝐷)
94	88, 90, 93	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵))) → (𝑞 ∈ 𝐷 ∧ (◡𝐹‘𝑘) ∈ 𝐷 ∧ 𝑟 ∈ 𝐷))
95	85, 94	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵))) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝐷 ∧ (◡𝐹‘𝑘) ∈ 𝐷 ∧ 𝑟 ∈ 𝐷)))
96		f1ofun 6829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→(0[,)+∞) → Fun 𝐹)
97	11, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → Fun 𝐹)
98		fdm 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹:𝐷⟶(0[,)+∞) → dom 𝐹 = 𝐷)
99	11, 30, 98	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → dom 𝐹 = 𝐷)
100	32, 99	sseqtrrd 4018	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
101		funfvima2 7228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝑞 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑞) ∈ (𝐹 “ 𝐴)))
102	97, 100, 101	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → (𝑞 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑞) ∈ (𝐹 “ 𝐴)))
103	55, 99	sseqtrrd 4018	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → 𝐵 ⊆ dom 𝐹)
104		funfvima2 7228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐹) → (𝑟 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑟) ∈ (𝐹 “ 𝐵)))
105	97, 103, 104	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → (𝑟 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑟) ∈ (𝐹 “ 𝐵)))
106	102, 105	anim12d 608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑞) ∈ (𝐹 “ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑟) ∈ (𝐹 “ 𝐵))))
107	106	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑞) ∈ (𝐹 “ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑟) ∈ (𝐹 “ 𝐵)))
108	107	adantrl 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵))) → ((𝐹‘𝑞) ∈ (𝐹 “ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑟) ∈ (𝐹 “ 𝐵)))
109		simprll 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵))) → ∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛))
110		breq1 5144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = (𝐹‘𝑞) → (𝑚 ≤ 𝑘 ↔ (𝐹‘𝑞) ≤ 𝑘))
111	110	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = (𝐹‘𝑞) → ((𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ↔ ((𝐹‘𝑞) ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)))
112		breq2 5145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = (𝐹‘𝑟) → (𝑘 ≤ 𝑛 ↔ 𝑘 ≤ (𝐹‘𝑟)))
113	112	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = (𝐹‘𝑟) → (((𝐹‘𝑞) ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ↔ ((𝐹‘𝑞) ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝐹‘𝑟))))
114	111, 113	rspc2v 3617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑞) ∈ (𝐹 “ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑟) ∈ (𝐹 “ 𝐵)) → (∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) → ((𝐹‘𝑞) ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝐹‘𝑟))))
115	108, 109, 114	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵))) → ((𝐹‘𝑞) ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝐹‘𝑟)))
116		f1ocnvfv2 7271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:𝐷–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑘)) = 𝑘)
117	11, 89, 116	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵))) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑘)) = 𝑘)
118	117	breq2d 5153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵))) → ((𝐹‘𝑞) ≤ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐹‘𝑞) ≤ 𝑘))
119	117	breq1d 5151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵))) → ((𝐹‘(◡𝐹‘𝑘)) ≤ (𝐹‘𝑟) ↔ 𝑘 ≤ (𝐹‘𝑟)))
120	118, 119	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵))) → (((𝐹‘𝑞) ≤ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑘)) ∧ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑘)) ≤ (𝐹‘𝑟)) ↔ ((𝐹‘𝑞) ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝐹‘𝑟))))
121	115, 120	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵))) → ((𝐹‘𝑞) ≤ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑘)) ∧ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑘)) ≤ (𝐹‘𝑟)))
122	8, 9	axcontlem8 28737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ 𝐷 ∧ (◡𝐹‘𝑘) ∈ 𝐷 ∧ 𝑟 ∈ 𝐷)) → (((𝐹‘𝑞) ≤ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑘)) ∧ (𝐹‘(◡𝐹‘𝑘)) ≤ (𝐹‘𝑟)) → (◡𝐹‘𝑘) Btwn ⟨𝑞, 𝑟⟩))
123	95, 121, 122	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ((∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵))) → (◡𝐹‘𝑘) Btwn ⟨𝑞, 𝑟⟩)
124	123	anassrs 467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞))) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘𝑘) Btwn ⟨𝑞, 𝑟⟩)
125	124	ralrimivva 3194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞))) → ∀𝑞 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 (◡𝐹‘𝑘) Btwn ⟨𝑞, 𝑟⟩)
126		opeq1 4868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → ⟨𝑞, 𝑟⟩ = ⟨𝑥, 𝑟⟩)
127	126	breq2d 5153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑥 → ((◡𝐹‘𝑘) Btwn ⟨𝑞, 𝑟⟩ ↔ (◡𝐹‘𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑟⟩))
128		opeq2 4869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → ⟨𝑥, 𝑟⟩ = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
129	128	breq2d 5153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → ((◡𝐹‘𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑟⟩ ↔ (◡𝐹‘𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
130	127, 129	cbvral2vw 3232	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐴 ∀𝑟 ∈ 𝐵 (◡𝐹‘𝑘) Btwn ⟨𝑞, 𝑟⟩ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹‘𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
131	125, 130	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞))) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹‘𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
132		breq1 5144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (◡𝐹‘𝑘) → (𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ (◡𝐹‘𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
133	132	2ralbidv 3212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (◡𝐹‘𝑘) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹‘𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
134	133	rspcev 3606	. . . . . . . 8 ⊢ (((◡𝐹‘𝑘) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (◡𝐹‘𝑘) Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
135	82, 131, 134	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) ∧ 𝑘 ∈ (0[,)+∞))) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
136	135	expr 456	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)) → (𝑘 ∈ (0[,)+∞) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
137	77, 136	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)) → (𝑘 ∈ ℝ → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
138	137	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → (∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) → (𝑘 ∈ ℝ → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)))
139	138	com23 86	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → (𝑘 ∈ ℝ → (∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)))
140	139	rexlimdv 3147	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝐹 “ 𝐴)∀𝑛 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩))
141	23, 140	mpd 15	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∀wral 3055  ∃wrex 3064  {crab 3426   ⊆ wss 3943  ∅c0 4317  ⟨cop 4629   class class class wbr 5141  {copab 5203  ^◡ccnv 5668  dom cdm 5669  ran crn 5670   “ cima 5672  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  –onto→wfo 6535  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117  +∞cpnf 11249   ≤ cle 11253   − cmin 11448  ℕcn 12216  [,)cico 13332  ...cfz 13490  𝔼cee 28654   Btwn cbtwn 28655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-z 12563  df-uz 12827  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-ee 28657  df-btwn 28658

This theorem is referenced by:  axcontlem11  28740