Theorem mapdcnvcl 41631

Description: Closure of the converse of the map defined by df-mapd 41604. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdcnvcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdcnvcl.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdcnvcl.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdcnvcl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdcnvcl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdcnvcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mapdcnvcl	⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem mapdcnvcl

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdcnvcl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdcnvcl.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdcnvcl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		mapdcnvcl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
8		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
9		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(LDual‘𝑈)) = (LSubSp‘(LDual‘𝑈))
10		eqid 2729	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑔))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑔)} = {𝑔 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑔))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑔)}
11		mapdcnvcl.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	mapd1o 41627	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆–1-1-onto→((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 {𝑔 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑔))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑔)}))
13		f1of1 6763	. . 3 ⊢ (𝑀:𝑆–1-1-onto→((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 {𝑔 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑔))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑔)}) → 𝑀:𝑆–1-1→((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 {𝑔 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑔))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑔)}))
14		f1f1orn 6775	. . 3 ⊢ (𝑀:𝑆–1-1→((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 {𝑔 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑔))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑔)}) → 𝑀:𝑆–1-1-onto→ran 𝑀)
15	12, 13, 14	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑆–1-1-onto→ran 𝑀)
16		mapdcnvcl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝑀)
17		f1ocnvdm 7222	. 2 ⊢ ((𝑀:𝑆–1-1-onto→ran 𝑀 ∧ 𝑋 ∈ ran 𝑀) → (◡𝑀‘𝑋) ∈ 𝑆)
18	15, 16, 17	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3394   ∩ cin 3902  𝒫 cpw 4551  ^◡ccnv 5618  ran crn 5620  –1-1→wf1 6479  –1-1-onto→wf1o 6481  ‘cfv 6482  LSubSpclss 20834  LFnlclfn 39036  LKerclk 39064  LDualcld 39102  HLchlt 39329  LHypclh 39963  DVecHcdvh 41057  ocHcoch 41326  mapdcmpd 41603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-riotaBAD 38932

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-undef 8206  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-cntz 19196  df-oppg 19225  df-lsm 19515  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-nzr 20398  df-rlreg 20579  df-domn 20580  df-drng 20616  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-lvec 21007  df-lsatoms 38955  df-lshyp 38956  df-lcv 38998  df-lfl 39037  df-lkr 39065  df-ldual 39103  df-oposet 39155  df-ol 39157  df-oml 39158  df-covers 39245  df-ats 39246  df-atl 39277  df-cvlat 39301  df-hlat 39330  df-llines 39477  df-lplanes 39478  df-lvols 39479  df-lines 39480  df-psubsp 39482  df-pmap 39483  df-padd 39775  df-lhyp 39967  df-laut 39968  df-ldil 40083  df-ltrn 40084  df-trl 40138  df-tgrp 40722  df-tendo 40734  df-edring 40736  df-dveca 40982  df-disoa 41008  df-dvech 41058  df-dib 41118  df-dic 41152  df-dih 41208  df-doch 41327  df-djh 41374  df-mapd 41604

This theorem is referenced by:  mapdcnvordN  41637  mapdcv  41639  mapdin  41641  mapdlsm  41643  mapdcnvatN  41645  hdmaprnlem3N  41829  hdmaprnlem9N  41836