Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdcnvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdcnvcl 38656
Description: Closure of the converse of the map defined by df-mapd 38629. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdcnvcl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdcnvcl.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdcnvcl.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdcnvcl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdcnvcl.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdcnvcl.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑀)
Assertion
Ref Expression
mapdcnvcl (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem mapdcnvcl
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdcnvcl.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2824 . . . 4 ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdcnvcl.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdcnvcl.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 mapdcnvcl.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
6 eqid 2824 . . . 4 (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
7 eqid 2824 . . . 4 (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
8 eqid 2824 . . . 4 (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
9 eqid 2824 . . . 4 (LSubSp‘(LDual‘𝑈)) = (LSubSp‘(LDual‘𝑈))
10 eqid 2824 . . . 4 {𝑔 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑔))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑔)} = {𝑔 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑔))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑔)}
11 mapdcnvcl.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11mapd1o 38652 . . 3 (𝜑𝑀:𝑆1-1-onto→((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 {𝑔 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑔))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑔)}))
13 f1of1 6610 . . 3 (𝑀:𝑆1-1-onto→((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 {𝑔 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑔))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑔)}) → 𝑀:𝑆1-1→((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 {𝑔 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑔))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑔)}))
14 f1f1orn 6622 . . 3 (𝑀:𝑆1-1→((LSubSp‘(LDual‘𝑈)) ∩ 𝒫 {𝑔 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑔))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑔)}) → 𝑀:𝑆1-1-onto→ran 𝑀)
1512, 13, 143syl 18 . 2 (𝜑𝑀:𝑆1-1-onto→ran 𝑀)
16 mapdcnvcl.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑀)
17 f1ocnvdm 7038 . 2 ((𝑀:𝑆1-1-onto→ran 𝑀𝑋 ∈ ran 𝑀) → (𝑀𝑋) ∈ 𝑆)
1815, 16, 17syl2anc 584 1 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2106  {crab 3146  cin 3938  𝒫 cpw 4541  ccnv 5552  ran crn 5554  1-1wf1 6348  1-1-ontowf1o 6350  cfv 6351  LSubSpclss 19625  LFnlclfn 36061  LKerclk 36089  LDualcld 36127  HLchlt 36354  LHypclh 36988  DVecHcdvh 38082  ocHcoch 38351  mapdcmpd 38628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-13 2385  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 35957
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-undef 7933  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-sbg 18040  df-subg 18208  df-cntz 18379  df-oppg 18406  df-lsm 18683  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-oppr 19295  df-dvdsr 19313  df-unit 19314  df-invr 19344  df-dvr 19355  df-drng 19426  df-lmod 19558  df-lss 19626  df-lsp 19666  df-lvec 19797  df-lsatoms 35980  df-lshyp 35981  df-lcv 36023  df-lfl 36062  df-lkr 36090  df-ldual 36128  df-oposet 36180  df-ol 36182  df-oml 36183  df-covers 36270  df-ats 36271  df-atl 36302  df-cvlat 36326  df-hlat 36355  df-llines 36502  df-lplanes 36503  df-lvols 36504  df-lines 36505  df-psubsp 36507  df-pmap 36508  df-padd 36800  df-lhyp 36992  df-laut 36993  df-ldil 37108  df-ltrn 37109  df-trl 37163  df-tgrp 37747  df-tendo 37759  df-edring 37761  df-dveca 38007  df-disoa 38033  df-dvech 38083  df-dib 38143  df-dic 38177  df-dih 38233  df-doch 38352  df-djh 38399  df-mapd 38629
This theorem is referenced by:  mapdcnvordN  38662  mapdcv  38664  mapdin  38666  mapdlsm  38668  mapdcnvatN  38670  hdmaprnlem3N  38854  hdmaprnlem9N  38861
  Copyright terms: Public domain W3C validator