Theorem fitop 23218

Description: A topology is closed under finite intersections. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Oct-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fitop	⊢ (𝐽 ∈ Top → (fi‘𝐽) = 𝐽)

Proof of Theorem fitop

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inopn 23217	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐽)
2	1	3expib 1140	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐽))
3	2	ralrimivv 3203	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐽)
4		inficl 9417	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐽 ↔ (fi‘𝐽) = 𝐽))
5	3, 4	mpbid 235	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (fi‘𝐽) = 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ∩ cin 4089  ‘cfv 6538  ficfi 9402  Topctop 23211

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7878  df-1o 8476  df-2o 8477  df-en 8974  df-fin 8977  df-fi 9403  df-top 23212

This theorem is used by:  tgfiss  23309  leordtval2  23530  2ndcsb  23767  alexsubALTlem1  24366  prdsxmslem2  24848