MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fitop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fitop 22846
Description: A topology is closed under finite intersections. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Oct-2009.)
Assertion
Ref Expression
fitop (𝐽 ∈ Top → (fi‘𝐽) = 𝐽)

Proof of Theorem fitop
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inopn 22845 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽𝑦𝐽) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐽)
213expib 1119 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ((𝑥𝐽𝑦𝐽) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐽))
32ralrimivv 3188 . 2 (𝐽 ∈ Top → ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑦) ∈ 𝐽)
4 inficl 9450 . 2 (𝐽 ∈ Top → (∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑦) ∈ 𝐽 ↔ (fi‘𝐽) = 𝐽))
53, 4mpbid 231 1 (𝐽 ∈ Top → (fi‘𝐽) = 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  cin 3943  cfv 6549  ficfi 9435  Topctop 22839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-om 7872  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-fin 8968  df-fi 9436  df-top 22840
This theorem is referenced by:  tgfiss  22938  leordtval2  23160  2ndcsb  23397  alexsubALTlem1  23995  prdsxmslem2  24482
  Copyright terms: Public domain W3C validator