Theorem fiinopn 23249

Description: The intersection of a nonempty finite family of open sets is open. (Contributed by FL, 20-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
fiinopn	⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))

Proof of Theorem fiinopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwg 4563	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐽))
2		sseq1 3938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝐽 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐽))
3		neeq1 3021	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
4		eleq1 2852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
5	2, 3, 4	3anbi123d 1465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)))
6		inteq 4913	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∩ 𝑥 = ∩ 𝐴)
7	6	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∩ 𝑥 ∈ 𝐽 ↔ ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))
8	7	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐽 ∈ Top → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽) ↔ (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))
9	5, 8	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽)) ↔ ((𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))))
10		sp 2223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽))
11	10	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽)) → ((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽))
12		istop2g 23244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽))))
13	12	ibi 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽)))
14	11, 13	syl11 34	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽))
15	9, 14	vtoclg 3521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))
16	15	com12 33	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))
17	16	3exp 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))))
18	17	com3r 88	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))))
19	18	com4r 95	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))))
20	1, 19	biimtrrdi 257	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))))))
21	20	pm2.43a 55	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))))
22	21	com4l 93	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))))
23	22	pm2.43i 53	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))))
24	23	3imp 1128	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))
25	24	com12 33	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870  ∩ cint 4910  Fincfn 9001  Topctop 23241

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5107  df-opab 5171  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-om 7902  df-1o 8504  df-2o 8505  df-en 9002  df-fin 9005  df-top 23242

This theorem is used by:  iinopn  23250  hauscmplem  23754  1stcfb  23793  txtube  23989