Theorem fiinopn 22923

Description: The intersection of a nonempty finite family of open sets is open. (Contributed by FL, 20-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
fiinopn	⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))

Proof of Theorem fiinopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwg 4608	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐽))
2		sseq1 4021	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝐽 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐽))
3		neeq1 3001	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
4		eleq1 2827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
5	2, 3, 4	3anbi123d 1435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)))
6		inteq 4954	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∩ 𝑥 = ∩ 𝐴)
7	6	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∩ 𝑥 ∈ 𝐽 ↔ ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))
8	7	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐽 ∈ Top → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽) ↔ (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))
9	5, 8	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽)) ↔ ((𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))))
10		sp 2181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽))
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽)) → ((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽))
12		istop2g 22918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽))))
13	12	ibi 267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽)))
14	11, 13	syl11 33	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽))
15	9, 14	vtoclg 3554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))
16	15	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))
17	16	3exp 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))))
18	17	com3r 87	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))))
19	18	com4r 94	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))))
20	1, 19	biimtrrdi 254	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))))))
21	20	pm2.43a 54	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))))
22	21	com4l 92	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))))
23	22	pm2.43i 52	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))))
24	23	3imp 1110	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))
25	24	com12 32	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  𝒫 cpw 4605  ∪ cuni 4912  ∩ cint 4951  Fincfn 8984  Topctop 22915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-2o 8506  df-en 8985  df-fin 8988  df-top 22916

This theorem is referenced by:  iinopn  22924  hauscmplem  23430  1stcfb  23469  txtube  23664