MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiinopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiinopn 21510
Description: The intersection of a nonempty finite family of open sets is open. (Contributed by FL, 20-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
fiinopn (𝐽 ∈ Top → ((𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴𝐽))

Proof of Theorem fiinopn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwg 4503 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽𝐴𝐽))
2 sseq1 3943 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐽𝐴𝐽))
3 neeq1 3052 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
4 eleq1 2880 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
52, 3, 43anbi123d 1433 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)))
6 inteq 4844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐴 𝑥 = 𝐴)
76eleq1d 2877 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐴 → ( 𝑥𝐽 𝐴𝐽))
87imbi2d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐽 ∈ Top → 𝑥𝐽) ↔ (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))
95, 8imbi12d 348 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → 𝑥𝐽)) ↔ ((𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽))))
10 sp 2181 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽) → ((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽))
1110adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥(𝑥𝐽 𝑥𝐽) ∧ ∀𝑥((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽)) → ((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽))
12 istop2g 21505 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑥(𝑥𝐽 𝑥𝐽) ∧ ∀𝑥((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽))))
1312ibi 270 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ Top → (∀𝑥(𝑥𝐽 𝑥𝐽) ∧ ∀𝑥((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽)))
1411, 13syl11 33 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → 𝑥𝐽))
159, 14vtoclg 3518 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))
1615com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))
17163exp 1116 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))))
1817com3r 87 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))))
1918com4r 94 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))))
201, 19syl6bir 257 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐽 → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽))))))
2120pm2.43a 54 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐽 → (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))))
2221com4l 92 . . . 4 (𝐴𝐽 → (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))))
2322pm2.43i 52 . . 3 (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽))))
24233imp 1108 . 2 ((𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽))
2524com12 32 1 (𝐽 ∈ Top → ((𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084  wal 1536   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wss 3884  c0 4246  𝒫 cpw 4500   cuni 4803   cint 4841  Fincfn 8496  Topctop 21502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-fin 8500  df-top 21503
This theorem is referenced by:  iinopn  21511  hauscmplem  22015  1stcfb  22054  txtube  22249
  Copyright terms: Public domain W3C validator