MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiinopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiinopn 22402
Description: The intersection of a nonempty finite family of open sets is open. (Contributed by FL, 20-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
fiinopn (𝐽 ∈ Top → ((𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴𝐽))

Proof of Theorem fiinopn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwg 4605 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽𝐴𝐽))
2 sseq1 4007 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐽𝐴𝐽))
3 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
4 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
52, 3, 43anbi123d 1436 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)))
6 inteq 4953 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐴 𝑥 = 𝐴)
76eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐴 → ( 𝑥𝐽 𝐴𝐽))
87imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐽 ∈ Top → 𝑥𝐽) ↔ (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))
95, 8imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → 𝑥𝐽)) ↔ ((𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽))))
10 sp 2176 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽) → ((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽))
1110adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥(𝑥𝐽 𝑥𝐽) ∧ ∀𝑥((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽)) → ((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽))
12 istop2g 22397 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ∈ Top ↔ (∀𝑥(𝑥𝐽 𝑥𝐽) ∧ ∀𝑥((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽))))
1312ibi 266 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ Top → (∀𝑥(𝑥𝐽 𝑥𝐽) ∧ ∀𝑥((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽)))
1411, 13syl11 33 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → 𝑥𝐽))
159, 14vtoclg 3556 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))
1615com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))
17163exp 1119 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))))
1817com3r 87 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))))
1918com4r 94 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))))
201, 19syl6bir 253 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐽 → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽))))))
2120pm2.43a 54 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐽 → (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))))
2221com4l 92 . . . 4 (𝐴𝐽 → (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))))
2322pm2.43i 52 . . 3 (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽))))
24233imp 1111 . 2 ((𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽))
2524com12 32 1 (𝐽 ∈ Top → ((𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wss 3948  c0 4322  𝒫 cpw 4602   cuni 4908   cint 4950  Fincfn 8938  Topctop 22394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7855  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-fin 8942  df-top 22395
This theorem is referenced by:  iinopn  22403  hauscmplem  22909  1stcfb  22948  txtube  23143
  Copyright terms: Public domain W3C validator